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文檔簡(jiǎn)介
1、重慶科創(chuàng)職業(yè)學(xué)院授課教案 課名:高等數(shù)學(xué)(下) 教研窒: 高等數(shù)學(xué)教研室 班級(jí): 編寫(xiě)時(shí)間: 2008-8 課題: 冪級(jí)數(shù)教學(xué)目的及要求:了解冪級(jí)數(shù)的收斂域的構(gòu)造及求法,理解冪級(jí)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn): 冪級(jí)數(shù)收斂域的求法,冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算。教學(xué)難點(diǎn): 冪級(jí)數(shù)收斂半徑和收斂區(qū)間的求法,利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求和函數(shù)。教學(xué)步驟及內(nèi)容 : 一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念(1)如果級(jí)數(shù)的各項(xiàng)都是定義在某區(qū)間中的函數(shù),就叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)當(dāng)自變量取特定值,如時(shí),級(jí)數(shù)變成一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)如果這個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),如發(fā)散,稱(chēng)為發(fā)散點(diǎn),一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)的全體構(gòu)成它的收斂域(2)和函數(shù)函
2、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)收斂域內(nèi)的任意一個(gè)數(shù),函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)成為一個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),故有一個(gè)和.于是,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是的函數(shù),通常稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù).其定義域是級(jí)數(shù)的收斂域.寫(xiě)為.在收斂域內(nèi)有.是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng)(收斂時(shí)才有意義).例1判斷的收斂性,并求其收斂域與和函數(shù).解此級(jí)數(shù)為幾何級(jí)數(shù)(即等比級(jí)數(shù)),由第一節(jié)例1知|x|<1時(shí),級(jí)數(shù)收斂,|x|1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.故其收斂域?yàn)?和函數(shù)為:旁批欄:二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1.定義:形如的級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù),其中常數(shù)叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù).例如,2.冪級(jí)數(shù)的收斂定理考察冪級(jí)數(shù).公比為的等比級(jí)數(shù),當(dāng)時(shí)收斂;當(dāng)時(shí)發(fā)散出發(fā),因?yàn)樗氖諗坑蚴且?為中心,半徑為1的對(duì)稱(chēng)區(qū)間,此例推廣到
3、一般情形,則有關(guān)于收斂域的阿貝爾定理:定理1(阿貝爾定理)如果級(jí)數(shù)當(dāng)()時(shí)(使)收斂,則當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;反之,如果當(dāng)發(fā)散,則當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)發(fā)散證先設(shè)是冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件,有,于是存在一個(gè)常數(shù),使得(=0,1,2,)這樣級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)的絕對(duì)值.因?yàn)楫?dāng)|x|<|x0|時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂(公比),所以級(jí)數(shù)收斂,也就是級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.定理第二部分可用反正法證明,若冪級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)散而有一點(diǎn)適合使級(jí)數(shù)收斂,則根據(jù)本定理第一部分,級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)應(yīng)收斂,這與所設(shè)矛盾.定理得證.推論:如果冪級(jí)數(shù)不是僅在一點(diǎn)收斂,也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂,則必有一個(gè)確定的數(shù)R存在,使得當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng)時(shí),
4、冪級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)與時(shí),冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散旁批欄:正數(shù)通常叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,開(kāi)區(qū)間叫做冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間3.收斂區(qū)間和收斂半徑的求法定理2如果冪級(jí)數(shù)當(dāng)充分大以后都有,且,則當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.證考察冪級(jí)數(shù)的各項(xiàng)取絕對(duì)值所成的級(jí)數(shù) 這級(jí)數(shù)相鄰兩項(xiàng)之比為(1)如果存在,根據(jù)比值審斂法,則當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂,從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散并且從某一個(gè)開(kāi)始,因此一般項(xiàng)不能趨于零,所以也不能趨于零,從而級(jí)數(shù)發(fā)散,于是收斂半徑R=.(2)如果r =0,則任何,有,所以級(jí)數(shù)收斂,從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂于是.(3)如果,則對(duì)于除外的其他一切值,級(jí)數(shù)必發(fā)散,否則由定理1知道將有點(diǎn)使得級(jí)數(shù)收斂,于是.課內(nèi)練習(xí)例2求下
5、列各冪級(jí)數(shù)的收斂域解 旁批欄:當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)成為(發(fā)散)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)成為(收斂)收斂域?yàn)榻饧?jí)數(shù)中只出現(xiàn)的偶次冪,不能直接用定理來(lái)求可設(shè),由比值法可知當(dāng),即,冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂當(dāng),即,冪級(jí)數(shù)發(fā)散,故當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)成為,它是發(fā)散的,因此該冪級(jí)數(shù)的收斂域是冪級(jí)數(shù)一般形式的討論,可用變換,使之成為進(jìn)行三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算1.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算設(shè)冪級(jí)數(shù)及分別在區(qū)間(-R,R)及(-R,R)內(nèi)收斂,對(duì)于這兩個(gè)冪級(jí)數(shù),有下列四則運(yùn)算:加減法:()±()乘法:()×()可以證明上2式在()與()中較小的區(qū)間內(nèi)成立.除法:待定系數(shù)法.2.冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì):旁批欄:性質(zhì)1冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域I上連續(xù).性質(zhì)2冪
6、級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域I上可積,并有逐項(xiàng)積分公式逐項(xiàng)積分后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.性質(zhì)3冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間()內(nèi)可導(dǎo),且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.例3求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解先求收斂域.由得收斂半徑.在端點(diǎn)處,冪級(jí)數(shù)成為,是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù);在端點(diǎn)處,冪級(jí)數(shù)成為,是發(fā)散的.因此收斂域?yàn)?設(shè)和函數(shù)為,即于是利用性質(zhì)3,逐項(xiàng)求導(dǎo),并由得對(duì)上式從0到x積分,得于是,當(dāng)時(shí),有而可由得出,故小結(jié)與思考:小結(jié):冪級(jí)數(shù)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中最基本的一類(lèi)它的特點(diǎn)是在其收斂區(qū)間絕對(duì)收斂,且冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)微分和積分由此第一次得到了一種函數(shù)的無(wú)限形式的表達(dá)式(即冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式),將函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)無(wú)論在理論研究方面還是在應(yīng)用方面都有著重大的意義本次課主要學(xué)習(xí)了冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域的求法以及如何求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的方法在求缺奇數(shù)次項(xiàng)(或缺偶數(shù)次項(xiàng))等冪級(jí)數(shù)的收斂半徑時(shí)不能使用定理中的方法;在求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)時(shí)要注意確定其定義域,旁批欄:是求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)時(shí)最常用的重要結(jié)論作業(yè)時(shí)還應(yīng)注意阿貝爾定理的使用思考:函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一定有收斂域嗎?如果有,一定是一個(gè)區(qū)間嗎?考察和的收斂域.在求冪級(jí)
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