清華信號與系統(tǒng)卓晴chapter

1、§3.6 傅里葉變換的性質(zhì)王文淵卓晴傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的卷積特性2006-11-11§3.6.0本節(jié)內(nèi)容n 傅里葉變換的基本性質(zhì)n 傅里葉變換的卷積特性傅里葉變換的性質(zhì)：研究時域中信號進行變換相對應(yīng)它們的頻譜在頻域的變化規(guī)律。王文淵 卓晴2006-11-12§3.6.0本節(jié)內(nèi)容進行信號的傅里葉變換與逆變換的方法：1、直接使用公式：¥òw) =f (t)e- jwtdtF (傅里葉變換對-¥ 1 2p¥òF (w)e jwtdwf (t) =-¥2、直接使用公式：使用傅里葉變換的基本性質(zhì)計算過程

2、簡便，物理概念清楚王文淵 卓晴2006-11-133.6.1傅里葉變換的基本性質(zhì)n 1、對稱性n 3、奇偶虛實性n 5、時移特性n 7、微分特性2、線性（疊加性）4、尺度變換特性6、頻移特性8、特性王文淵 卓晴2006-11-14§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：對稱性n 1、對稱性(Symmetry)如果F f (t) = F (w)，則F F (t) = 2p f (-w)如果f (t)是偶函數(shù)F F (t) = 2p f (w)王文淵 卓晴2006-11-15§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：對稱性 1 2p¥òF (w)e jwtdt證明：

3、f (t) =-¥ 1 2p¥òF (w)e- jwtdtf (-t) =-¥，將變量t與w互換，可以得到：¥òpw) =F (t)e- jwtdtf (-2-¥所以： F F (t) = 2p f (-w)王文淵 卓晴2006-11-16傅里葉變換的基本性質(zhì)：對稱性§3.6.1F d (t) = 1F 1 = 2pd (w)王文淵 卓晴2006-11-17傅里葉變換的基本性質(zhì)：對稱性§3.6.1n 對稱性舉例：，王文淵 卓晴2006-11-18傅里葉變換的基本性質(zhì)：對稱性§3.6.1思考題：&

4、#233;ù = ?1，ê a + jt úëû王文淵 卓晴2006-11-19傅里葉變換的基本性質(zhì)：對稱性§3.6.1a > 1,t > 0FTf 換成tF1t 換成王文淵 卓晴102006-11-1對稱性換成F (w ) = 2pf (-w ) = 2pe+aw1F (w ) = FT é1ù = ?1ê a + jt úëûf (t) = e-atF (w ) =1a + jw§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：線性n 2、線性（疊加性）(Line

5、arity)如果F fi (t) = Fi (w),(i = 1, 2,", n),則éùnnååa F (w)F=a f (t)êúiiiië i=1ûi=1傅里葉變換是一種線性運算，它滿足疊加原理。所以信號的頻譜等于各個單獨信號的頻譜之和。王文淵 卓晴112006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：奇偶虛實性n 3、奇偶虛實性 (Odd-Even Imaginary-Real)¥()ò由FT變換：F w= Ff (t)e- jwtdtf (t) =-¥

6、結(jié)果可以分解成幅值，角度，或者實部與虛部F (w) =F (w) e jj (w )= R(w) + jX (w)F (w) =R2 (w) + X 2 (w)j(w) = arctan é X (w) ùê R (w )úëû王文淵 卓晴122006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：奇偶虛實性(1) 如果f (t)是實函數(shù)：¥òw) =f (t)e- jwtdtF (-¥¥¥= ò-¥R(w) = ò-¥f (t) cos

7、(wt)dt - jò-¥ f (t) sin(wt)dt¥f (t) cos(wt)dt偶函數(shù)奇函數(shù)¥X (w) = -ò-¥ f (t) sin(wt)dt王文淵 卓晴132006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：奇偶虛實性(2) 如果f (t)是虛函數(shù)，f (t) =¥jg(t)òw) =jg(t)e- jwtdtF (-¥¥¥= ò-¥ g(t) sin(wt)dt + jò-¥ g(t) cos(wt)dt

8、5;R(w) = ò-¥ g(t) sin(wt)dt奇函數(shù)¥òg(t) cos(wt)dt 偶函數(shù)w) =X (-¥王文淵 卓晴142006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：奇偶虛實性f (t)實函數(shù)虛函數(shù)R(w)X (w)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)F (w) 是偶函數(shù)，j(w)是奇函數(shù)實函數(shù)和虛函數(shù)的幅度譜和相位譜分別為偶、奇函數(shù)。王文淵 卓晴152006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：奇偶虛實性如果f (t)為實偶函數(shù)：f (t) =f (-t)¥X (w) = 0, F (w) =

9、R(w) = 2ò0f (t) cos(wt)dt如果f (t)為實奇函數(shù)：f (t) = - f (-t)¥F (w) = jX (w) = -2 jò0R(w) = 0,f (t) sin(wt)dt實偶函數(shù)Æ 實偶函數(shù)實奇函數(shù)Æ 虛奇函數(shù)王文淵 卓晴162006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：奇偶虛實性思考題：如果對于純虛函數(shù)的對稱性與傅里葉變換結(jié)果對稱性之間的關(guān)系如何？虛偶函數(shù)Æ 虛偶函數(shù)虛奇函數(shù)Æ 實奇函數(shù)王文淵 卓晴172006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：奇偶虛

10、實性函數(shù)與其傅里葉變換具有如下性質(zhì)：F f (-t) = F (-w)時間尺度特性* (t)ùû = F *(-w)* (-t)ùû = F *(w)éë fëé fFF王文淵 卓晴182006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：奇偶虛實性例：求下面奇函數(shù)的頻譜，其中a是正實數(shù)。(t > 0)(t < 0)ì e- atf (t) =íî-eat¥òw) =f (t)e- jwtdt解:F (-¥¥0ò&

11、#242;wt× e- jwtdt- j- at= -× edt +eate-¥0¥0e(a- jw )te-(a+ jw )t-2 jw= -a - jw+ -(a + jw)=a2+ w2-¥0王文淵 卓晴19推導(dǎo)符號函數(shù)的FT時候使用過這個公式2006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：奇偶虛實性奇對稱指數(shù)函數(shù)的波形和頻譜F (w ) = -2 jw+ w2a22 wF (w) =a2+ w2ì- p(w > 0)j(w) = ï2ípï+(w < 0)ï&

12、#238;2王文淵 卓晴20推導(dǎo)符號函數(shù)的FT時候使用過這個公式2006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì): 尺度變換特性4、尺度變換特性 (Scaling)若F f (t) = F (w),則F æ w öF f (at) = 1ç a ÷aèø特別：F f (-t) = F (-w)王文淵 卓晴提示：對于傅里葉級數(shù)分解的時候，沒有這個性質(zhì)。2006-11-121§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì): 尺度變換特性¥òf (at)e- jwtdt證明：F令f (at) =x = at-

13、¥æ w ö- jw x1a1a1a¥當(dāng)a > 0時，F(xiàn) f (at) =當(dāng)a < 0時，F(xiàn) f (at) =òa dx =f (x)eF ç÷è a ø-¥- jw xa dx-¥òf (x)e+¥æ w ö= -1- jw x-1+¥òa dx =f (x)eF ç÷aaè a ø-¥綜上所示，尺度變換特性得以證明。王文淵 卓晴222006-11-1§

14、3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì): 尺度變換特性尺度變換特性舉例時域壓縮時域擴展時域反褶頻域擴展頻域壓縮頻域反褶能量守恒波形變化快慢影響頻譜的寬窄。文淵 卓晴232006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì): 尺度變換特性信號的等效脈沖寬度與頻帶寬度假設(shè)傅里葉變換對f (t), F (w),隨著t ® ¥,w ® ¥f (t), F (w)趨于零，由傅里葉變換公式：¥F (0) = ò-¥ f (t)dtf(t)所覆蓋的面積F(.)所覆蓋的面積 1 2p¥òF (w)dwf (0) =-

15、¥設(shè)t , B分別是信號的脈沖等效寬度與頻帶寬度，f (0)t = F (0),F (0)B = 2p f (0)則有：王文淵 卓晴252006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì): 尺度變換特性信號的等效脈沖寬度與頻帶寬度B = 2p信號的等效脈沖寬度與占有的等效頻帶寬度成反比。t王文淵 卓晴262006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：時移特性5、時移特性 (Time Shifting)如果F f (t) = F (w)，則：F f (t - t0 ) = F (w)e0- jwt同時如下性質(zhì)存在F f (t + t0 ) = F (w)e

16、0jwt- j wt0æ w ö 1F f (at - t0 ) =尺度變換與時移的統(tǒng)一特性公式F ç÷ eaaè a ø- j wt0w öæ 1F f (t0 - at) =F ç -÷ eaaèa ø王文淵 卓晴272006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：時移特性5、時移特性證明：F f (t - t令：¥) =ò-¥f (t - t )e- jwtdt00x = t - t0¥那么： F f (t - t

17、) = F f (x) =ò-¥f (x)e- jw ( x+t0 ) dx0¥ò= e- jwt0= e- jwt0f (x)e- jwxdx-¥× F (w) 上面其他性質(zhì)同理可證王文淵 卓晴2006-11-128§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：時移特性5、時移特性-例題求下圖所示三脈沖信號的頻譜王文淵 卓晴292006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：時移特性解：令f0 (t)表示單個脈沖信號，它的頻譜函數(shù)為:F (w) = Et × Sa æ wt öç

18、;÷0è2øf (t) =f0 (t) + f0 (t + T ) + f0 (t - T )因為:則由傅里葉變換的時移特性以及疊加特性可知:()w) = F (w) 1+ ewT + e- jwTjF (0= Et × Sa æ wt ö1+ 2 cos(wT )ç÷è2ø王文淵 卓晴302006-11-1傅里葉變換的基本性質(zhì)：時移特性§3.6.1王文淵 卓晴312006-11-1傅里葉變換的基本性質(zhì)：時移特性§3.6.1三脈沖的頻譜王文淵 卓晴322006-11-1

19、67;3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：時移特性增多脈沖個數(shù)，頻譜的變化規(guī)律：王文淵 卓晴332006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：時移特性增多脈沖個數(shù)，頻譜的變化規(guī)律：王文淵 卓晴342006-11-1傅里葉變換的基本性質(zhì)：時移特性§3.6.1王文淵 卓晴352006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：時移特性5、時移特性-例題已知雙Sa信號f (t)，試求其頻譜：f (t) = wcéSa(w t) - Sa w (t - 2t )ùëûpcc王文淵 卓晴362006-11-1§3.6

20、.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：時移特性解：令f (t) = wc Sa(w t)p0c由于f0 (t)為Sa函數(shù)，則其頻譜F0 (w)為矩形。如下圖所示( w < wc )F f (t) = ìï1í0( w > w )0ïîc王文淵 卓晴372006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：時移特性由時移特性可知：( w < wc )ìïe- j 2wtF f0 (t - 2t ) = í( w> wc )ïî0則f (t)的頻譜等于:F (w) = F f

21、0 (t) -F f0 (t - 2t )( w < wc )= ìï1- e- j 2wtí0( w> w )ïî它的幅度譜為:c( w < wc )F (w) = ì2 sin(wt )í0( w> w )îc王文淵 卓晴382006-11-1傅里葉變換的基本性質(zhì)：時移特性§3.6.1實際中，選擇t = p，此時：wcìæ pw ö2 sin( w < w )F (w) = ïç w÷cíè&

22、#248;( w > w )cï 0cî頻譜集中在 w < wc，同時沒有直流分量。更容易進行信號的傳遞。王文淵 卓晴392006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：時移特性5、時移特性-例題求下面信號x(t)的傅里葉變換：王文淵 卓晴402006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：時移特性5、時移特性-例題解：信號可以分解成兩個信號的疊加：x(t) = 1 x (t - 2.5) + x (t - 2.5)122F x (t) = 2 sin(w / 2)w1F x (t) = 2 sin(3w / 2)2wé

23、sin(w / 2) + 2 sin(3w / 2) ùF x(t) = e- j5w / 2êëúûw王文淵 卓晴412006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：時移特性5、時移特性-例題§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：頻移特性n 6、頻移特性 (Frequency Shifting)如果：F f (t) = F (w)則：F éë f (t)e jw0t ùû = F (w - w )0F éë f (t)e- jw0t ùû

24、= F (w + w )0F f (t) cos(w t) = 1 F (w + w) + F (w - w0002F f (t) sin(w t) = j F (w + w) - F (w - w )0002王文淵 卓晴432006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：頻移特性證明：由傅里葉變換公式可得：¥òw tf (t)e jw0te- jwtdtf (t)e- j (w -w0 )dt dtéùF=jf (t)e0ëû-¥¥ò-¥F éë f (t)

25、e jw0t ùû = F (w - w )0所以：同理可得：F éë f (t)e- jw0t ùû = F (w + w )0王文淵 卓晴442006-11-1傅里葉變換的基本性質(zhì)：頻移特性§3.6.1由歐拉公式：12(w t + e- jw0t )w t) =jcos(e001(e jw0t - e- jw0t )sin(w t) =02 j可得到如下公式：F f (t) cos(w t) = 1 F (w + w ) + F (w - w)0002F f (t) sin(w t) = j F (w + w ) - F

26、 (w - w )0002王文淵 卓晴452006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：頻移特性n 6、頻移特性信號f (t)乘以e jw0tÞ 頻譜F (w)右移w0jw t頻譜F (w0 )右移w0 Þ 信號f (t)乘以e0信號f (t)乘以cos(w0t)或者sin(w0t)Þ 頻譜F (w)一分為二,左右平移各w0頻移特性Æ 頻譜搬移,應(yīng)用在通信系統(tǒng)中王文淵 卓晴462006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：頻移特性n 6、頻移特性-舉例已知矩形調(diào)幅信號f (t) = G(t) cos(w0t) 其中矩形

27、信號G(t)， 幅度為E，脈寬為t，試求它的頻譜函數(shù)。王文淵 卓晴472006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：頻移特性解: 設(shè)矩形信G(t)的頻譜函數(shù)為:G(w)G (w ) = Et × Sa æ wt öç÷è2ø+ e- jw0t )f (t) = 1 G(w) (e jw0t根據(jù):2F (w) = 1 G(w - w ) + 1 G(w + w )0022= Et Sa é(w - w ) t ù + Et Sa é(w + w) t ùê&#

28、235;2 úûêë2 úû0022王文淵 卓晴482006-11-1傅里葉變換的基本性質(zhì)：頻移特性§3.6.1頻譜一分為二，往左右各平移了w0卓晴492006§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：頻移特性已知：f (t) = cos(w0t)，利用頻移定理求余弦信號的頻譜： 解：已知直流信號的頻譜為：F 1 = 2pd (w)則：F cos(w0 ) = p d (w + w0 ) + d (w - w0 )王文淵 卓晴502006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：微分特性n 7、微分特性已知

29、：F f (t) = F (w)F é df (t) ù =jwF (w)則：êëúûdtéf (t) ù = (nd)nww)FjF (êúdt 2ëû王文淵 卓晴512006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：微分特性證明：由傅里葉逆變換公式： 1 2p¥òF (w)e jwtdtf (t) =-¥兩邊對t求導(dǎo)數(shù)，可得：df (t)dt 1 2p¥ jwF (w)e jwtdtò=-¥F &#

30、233; df (t) ù =jwF (w )所以：êëúûdt同理，進行n次求導(dǎo)，可得：é d nf (t) ùú = ( jw )nF (w)F êdtnëû王文淵 卓晴522006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：微分特性同理，由傅里葉逆變換公式：¥òw) =f (t)e- jwtdtF (-¥兩邊同時對于w求導(dǎo)數(shù),可得:w)dF (¥òf (t)e- jwtdt= (- jt)dw-¥F -1 &

31、#233; dF (w) ù = (- jt) f (t)則:êëúûdwéw)ùnd F (F-=(-1njt)f (t)êúdwnëû王文淵 卓晴532006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：微分特性例：利用微分定理求鐘形脈沖信號的頻譜（高斯信號）高斯信號特性：時域信號與頻域信號具有相同的信號æ t ö2æ wt ö2-ç t ÷-ç÷, F (w ) =p Et e形式：f (t

32、) = Eeèøèø2根據(jù)高斯信號特性及其微分定可推演出其函數(shù)形式：ìFé df (t) ù =ìdf (t) = -tf (t)dtdF (w)jwF (w )dF (w)dwifëêûúïÞ ïdtííïF tf (t) =ïthen= -wF (w)jïîïîdw王文淵 卓晴542006-11-1§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：微分特性Þ

33、 f (t)與F (w)具有相同的形式,什么形式? df (t) = -tf (t)Þ df (t) = -tdtdtf (t)- t2212Þ ln f (t) = K -Þf (t) = K et 211-w2同理: F (w) = K2e2王文淵 卓晴552006-11-1特性§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：n 8、特性如果：F f (t) = F (w)f (t )dt ù = F (w) + p F (0)d (w)étòFêë -¥úûjw如果: F (0)

34、= 0,則：f (t )dt ù = F (w)éêëtòFúûjw-¥王文淵 卓晴562006-11-1特性§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：證明：由傅里葉變換公式可得：éêëùúû¥éf (t )dt ùe- jwtdtttòòòttF=f ()d-¥ êëúû-¥-¥éf (t )u (t -t )

35、dt ù e- jwtdt¥¥òò=-¥ êëúûu(t -t )e- jwtdt ù dt-¥éê륥òòt )=f (úû-¥-¥王文淵 卓晴572006-11-1特性§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：éù 1 再根據(jù)：F u(t -t ) = pdw) +wt-j(eêjw úëûe- j

36、wtjw¥¥則，上式 = ò-¥ f (t )pd (w ) ef (t )dt + ò-¥- jwtdt= p F (0)d (w ) + F (w)jw王文淵 卓晴582006-11-1特性§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：n 8、特性-舉例已知三角脈沖信號，求其頻譜F (w) :< t öìæ tæö2tç2 ÷ïE 1-tèøç÷f (t) =èøít 

37、6;æï0>ç t÷ïîè2 ø王文淵 卓晴592006-11-1特性§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：解：將f (t)取一階與二階導(dǎo)數(shù)，得到tì 2Eæöç - 2 < t < 0 ÷ï tèøïït öædf (t)2Et= í-ïç 0 < t < 2 ÷dtèøï0> t

38、öæ tïîç2 ÷èøç t + t ö + d ç t - t ö - 2d (t)úf (t) = 2E éd æùd 2æ以及：dt 22 ÷2 ÷êtèøèøëû王文淵 卓晴602006-11-1特性§3.6.1傅里葉變換的基本性質(zhì)：王文淵 卓晴612006-11-1特性§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：記

39、F (w), F1 (w), F2 (w)分別表示f (t)及其一、二階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換,可以求出它們：2E æ- jwtjwtöé d 2f (t) ùF2 (w) = Fú =+ e- 2 ÷ç e22êt2dtëûèøwtt2E éùæöæö8Et2 cos w=- 2= -2sinç2 ÷ç÷êútèùøè4&

40、#249;øëûwt4æ 1 ö é8Eéêëæödf (t)dtF (w) = F+ p F (0)d (w)=-2sinçjw ÷ êç÷úúû1t2èøûø ëè王文淵 卓晴622006-11-1特性§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：F (w) = F f (t) 1éwt4ùæö8Etwt

41、()+ p F (0)dw=-2sinç÷ú2 ê( jw ) ë21èøûæösinç÷EtEtæ wt ö èø =4=Sa2 ç÷æ wt ö222è4øç÷è4ø以上：F2 (0) = F1(0) = 0王文淵 卓晴632006-11-1特性§3.6.1傅里葉變換的基本性質(zhì)：王文淵 卓晴642006-11-1特性

42、7;3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：n 8、特性-舉例求截平斜邊信號的頻譜：ì 0(t < 0)ï ty(t) = ï (0 £ t £ t)ít0ï0ï1(t > t)î0王文淵 卓晴652006-11-1特性§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：1解：令f (t)t 矩形信號：為幅值為 寬度為t00(t < 0)(0 < t < t )ì0f (t) = ïí1/ t00ï0(t > t )ît0ò

43、;f (t )dty(t) =則：-¥æ wt- jw t0ö則信號f (t)頻譜: F (w) = Sa ç0 ÷ e22èøF (0) = 1 ¹ 0注意：王文淵 卓晴662006-11-1特性§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：Y (w) = F y(t)1jwF (w) + p F (0)d (w)=- j wt0æ wtö1jw+ pd (w)=Sa ç0 ÷ e2è2ø當(dāng)t0 ® 0, y (t ) ® u(t),

44、 f (t) ® d (t )，則：1jwF u(t) =+ pd (w)王文淵 卓晴672006-11-1特性§3.6.1 傅里葉變換的基本性質(zhì)：頻域特性如果：F f (t) = F (w)，則：F (W)dWù = - f (t) + p f (0)d (t)wéêëò-1Fúûjt-¥此性質(zhì)仍可以通過上述方法導(dǎo)出應(yīng)用較少。王文淵 卓晴682006-11-13.6.2傅里葉變換的卷積特性n 時域卷積定理n 頻域卷積定理王文淵 卓晴692006-11-1§3.6.2 傅里葉變換的卷積

45、特性:時域卷積定理n 時域卷積定理如果給定兩個時間函數(shù)f1 (t), f2 (t)，已知：F f1 (t) = F1 (w)F f2 (t) = F2 (w)則：F f1 (t) * f2 (t) = F1 (w)F2 (w)王文淵 卓晴702006-11-1§3.6.2 傅里葉變換的卷積特性:時域卷積定理¥證明：由 f1 (t) * f2 (t) = ò-¥ f1 (t ) f2 (t -t )dtéf (t ) f (t -t )dt ù e- jwtdt¥¥F f (t) * f(t) =ò

46、2;êúûë1212-¥-¥f (t ) éf (t -t )e- jwtdt ù dt¥¥-¥ò-¥ò-¥òêúûë12¥t )F (w)ewtt- j=f (d12¥ò-¥= F (w)t )ewttw)F (w)- j= F (f (d2112王文淵 卓晴712006-11-1§3.6.2 傅里葉變換的卷積特性:時域卷積定理根據(jù)相關(guān)運算定義:

47、¥相關(guān)運算傅里葉變換性質(zhì)：ò-¥R (t ) =(t -t )dt* 2f (t) f121R (t ) =f (t ) * ft )(-* 2因此:121F Rtw)F (w)=*()F (1212同理：F Rt ) =w)F (w)F f (-t) = F (-w)F éë f *(t)ùû = F *(-w)*(F (2112F R(t ) =2w)F (F é f *(-t)ù = F *(w)ëû111王文淵 卓晴722006-11-1§3.6.2 傅里葉變換的卷積

48、特性:時域卷積定理卷積定理反映了串統(tǒng)的傳遞函數(shù)為它們各自的傳遞函數(shù)的乘積這兩個子系統(tǒng)可以相換次序。王文淵 卓晴732006-11-1§3.6.2 傅里葉變換的卷積特性:頻域卷積定理n 頻域卷積定理：如果給定兩個時間函數(shù)f1 (t), f2 (t)，已知：F f1 (t) = F1 (w)F f2 (t) = F2 (w)12p則：F f (t) × f(t) =F (w) * F (w)1212¥其中：F1 (w) * F2 (w) = ò-¥ F1 (u)F2 (w - u)du傅里葉變換的對稱性王文淵 卓晴742006-11-1§

49、3.6.2 傅里葉變換的卷積特性:舉例已知：單個半周期余弦信號，求其頻譜：ì E cos æ p t ö£ t öæ tç t ÷ç2 ÷ïèøèøf (t) = í> t öæ tï0ç2 ÷ïèøî王文淵 卓晴752006-11-1§3.6.2 傅里葉變換的卷積特性:舉例解：余弦脈沖f (t)可以看成矩形脈沖信號G(t)與無窮長余弦函數(shù)cos æ p t ö的乘積：ç t ÷èøf (t) = G(t) cosæ p t öç t ÷èøG(w) = F G(t) = Et Sa æ wt öç÷&#