基本積分表培訓(xùn)資料

1、基本積分表kdxxadx-dx x11 x2基本積分表kx cIn xdx11x2cosxdxsin xdxdx-dx cos x7-dx sin xarcta nx carcs in xsin x ccosx csec2 xdxcsc2 xdxsecxta nxdx secxcscxcot xdxexdxaxdxshxdxchxdxln achxshxtanx ccotxcscx c其中shxxe為雙曲正弦函數(shù)2其中chxxxe e為雙曲余弦函數(shù)精品資料1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、基本積分表的擴(kuò)充16、tan xdxlncosxc17、cot xd

2、xlnsin xc18、secxdxlnsecxtanxc19、cscxdxlncscxcot xc lntan2c20、21、22、dx xdx aarctana12 a丄2a23、dxx arcs in ca24、dxIn x x2 a225、sin a sin B= - cos(dxIn x x2 a2a + B) - cos( a - B )/2【注意右式前的負(fù)號(hào)】cos a cos B =cos( a +B )+COS( a sin a cos B =sin( a +B )+sin( a cos a sin B =sin( a + B) - sin(-B )/2-B )/2a - B

3、 )/2sin a +sin B =2sin(a + B )/2 cos( a - B )/2sina -sinB =2cos(a + B )/2 sin(a - B )/2COSa +cosB =2cos(a + B )/2 cos(a - B )/2cos a -cos B =-2sin( a + B )/2 sin( a - B )/2【注意右式前的負(fù)號(hào)】三角函數(shù)公式大全同角三角函數(shù)的基本關(guān)系倒數(shù)關(guān)系：tan a =cot sin a 韋sc aos a sec a商的關(guān)系：Sin a /cos=atan a sec a /csc a cos a 拓icot oa= csc a /sec

4、 a平方關(guān)系： sE2( a-H)cosA2( aa 1 1 + ta nT( aa secA2( a ) 1 cotA2( acscA2( a) 平常針對(duì)不同條件的常用的兩個(gè)公式sin2 a +cos2 a =1 tan a *cot a =1一個(gè)特殊公式(sina+sin ) * (sina+sin ) =sin (a+ 0) *sin (a- 0) 證明：(sina+sin ) (sina+sin 0 =2 sin( 0 +a)/2 cos(a9 )/2 *2 cos( 0 +a)/2 s-n0()/2 =sin (a+ 0) *sin (a- 0)銳角三角函數(shù)公式正弦：sin a

5、63; a的對(duì)邊/ / a的斜邊 余弦：cos a= a的鄰邊/ / a的斜邊 正切：tan aa的對(duì)邊/ / a的鄰邊 余切：cot aN a的鄰邊/Z a的對(duì)邊二倍角公式正弦 sin2A=2sinA cosA 余弦 1.Cos2a=CosA2(a)-SinA2(a) =2CosA2(a)-1=1-2Si nA2(a) 2.Cos2a=1-2Si nA2(a) 3.Cos2a=2CosA2(a)-1 正切 tan 2A=(2tanA ) / (1-tanA2(A)三倍角公式sin3 a =4sin a sin( n /3+ /3)On( cos3 a =4cos a cos( n /3+ a

6、-)ac)s( n /3 tan3a = tan a tan( n /3+a) -aa n(半角公式ta n( A/2)=(1-cosA)/si nA=si nA/(1+cosA); cot(A/2)=si nA/(1- cosA)=(1+cosA)/sinA. sinA2(a/2)=(1-cos(a)/2 cosA2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan (a/2)=(1-cos(a)/si n(a)=s in (a)/(1+cos(a)和差化積sin 0 +sin © = 2 sin( 0 +© )/2(co/20sin 0sin © = 2 cos( 0

7、 + © )/2 si<n(/2 c0s0 +cos © = 2 cos( 0 + © -/2 cos( 0© )/2 cos -co0 © =-2 sin( 0 + © )/2 sin© )/2 0tan A+ta nB=si n(A+B)/cosAcosB=ta n(A+B)(1-ta nAta nB) ta nA-ta nB=si n(A- B)/cosAcosB=ta n(A-B)(1+ta nAta nB)兩角和公式cos( a + B )=cos a Cosi0 a Sin B cos( aB )=cos

8、a cos B +sin a sin B sin( a + B )=sin a cos B +co-B)=isin Besics B cos a sin B積化和差sin a sin B = cos© -cos( a + B ) /2 cos a cos B = cos(a-+ B/2-cos( asin a cos B = sin( a + B -+s)W2 cos a sin B = sinsin(同/2雙曲函數(shù)sinh(a) = eAa-eA(-a)/2 cosh(a) = eAa+eA(-a)/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：設(shè)a為任意角，終

9、邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin(2kn+a) = sin a cos(2kn+a) = cos a tan (2kn+a) = tan a cot(2kn+ a) = cot a公式二：設(shè)a為任意角，n + a的三角函數(shù)值與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin ( n+ a) = - sin a cos( n+ a) = -cos a tan (n+a)=tan a cot( n+ a) = cot a公式三：任意角a與-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin (-a) = -si n a cos (- a) = cos a tan ( -a) = -ta n a cot (- a)=-c

10、ot a公式四：利用公式二和公式三可以得到n- a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin ( n- a) = sin a os ( n- a) = - cos a tan (n-a) = -tan a cot ( n-a) = -COt a公式五：利用公式-和公式二可以得到2 n- a與a的二角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin (2n- a)= -sin acos(2n- a) = cos a tan(2n- a)= -tan acot (2 n- a) = - COta公式六：n /2 土及3 n /2 土與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin (n /2+ a= cos acos ( n /2+ a=

11、 - sinatan( n /2+ a = - cot acot(n /2+ a = -tan asin (n /2a) = cos acos ( n/2- a) = sin a tan( n /2- a)=cot a cot( n /2 a)= tan asi(3 n /2+ a= -cosacos (3 n /2+ a = sin atan(3n /2+ a = - cot a cot(3n /2+ a = -tan a sin(3n /2- a) = -cos a cos(3n /2- a) = -sin a tan(3n /2- a) = cot a cot(3n /- a) = ta

12、n a 以上 k Z)A sin( 3 t+ 0 )+ B sin( 3 t+ © ) = V(A2 +B2|)+2ABcos(n 0 3 t +arcsin (A sin 0 +B - sin © ) / VAA2 +BA2; +-2AB(ds表示根號(hào)，包括中的內(nèi)容誘導(dǎo)公式sin(- a ) =-sin acos- a ) = cos a tan a )=tan a sin( -a/2 = cos acos( n /2- a ) = sin a sin( n /2+ a ) = cos a cos( -sin /2+ sin (= - a"= sin a cos

13、( - n) =-cos a sin( n + a-i= a cos( n + a-()os a tanA=sinA/cosA tan ( n /2+ a) = cot a tan (n /2 a) = cot a tan (n a)=一 tan a tan (n+a) = tan a誘導(dǎo)公式記背訣竅：奇變偶不變，符號(hào)看象限萬(wàn)能公式sin a =2tan( a /2)/1+(tan( a /2)2 cotan( /=)2/1+(tan(a /2)2tan a =2tan( a /2yflan( a /2)2其它公式(1) (sin a )2+(cos a )2=1 (2)1+(tana )2=

14、(sec a )2 (3)1+(cot 證明下面=(csc a )2兩式，只需將一式，左右同除(sin a )2第二個(gè)除(cos a )1即可(4)對(duì)于任意非直角三角形，總有 ta nA+ta nB+ta nC=ta nAta nBta nC證：A+B= nCtan (A+B)=ta n( -C) (ta nA+ta nB)/(1- tan Ata nB)=(ta n 城a nC)/(1+ta nn tanC)整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得證同樣可以得證，當(dāng) x+y+z=nn (n Z)時(shí)，該關(guān)系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtan

15、C可得出以下結(jié)論 cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA )2+(cosB) 2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC (8)( si nA)2 ( sinB)2+ ( sinC)2=2+2cosAcosBcosC其他非重點(diǎn)三角函數(shù)csc(a) = 1/si n(a) sec(a)=1/cos(a)編輯本段內(nèi)容規(guī)律三角函數(shù)看似很多，很復(fù)雜，但只要掌握了三角函數(shù)的本質(zhì)及內(nèi)部規(guī)律就會(huì)發(fā) 現(xiàn)三角函數(shù)各個(gè)公式之間有強(qiáng)大的聯(lián)系。而掌握三角函數(shù)的內(nèi)部規(guī)律

16、及本質(zhì)也 是學(xué)好三角函數(shù)的關(guān)鍵所在 1、三角函數(shù)本質(zhì)：1根據(jù)右圖，有 sin 0 =y/ r; cos 0 =x/r; tan 0 =y/x; Got 深刻理解了這一 點(diǎn)，下面所有的三角公式都可以從這里出發(fā)推導(dǎo)出來(lái)，比如以推導(dǎo)si n(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 為例： 推導(dǎo)： 首先畫(huà)單位圓交 X軸于C，D，在單位 圓上有任意 A，B點(diǎn)。角AOD為a, BOD為B,旋轉(zhuǎn)AOB使0B與0D重 合，形成新 A'OD。 A(cos a ,sin a ),B(cos B ,sin B ),A'(co(si門(mén)幺-血)OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)/

17、cos( aB-1A2+sin( - a )A2=(cos - acos B )A2+(sin -sin B )八2和差化積及積化和差用還原法結(jié)合上面公式可推出(換(a+b)/2與(a-b)/2 ) 單位圓定義 單位圓 六個(gè)三角函數(shù)也可以依據(jù)半徑 為一中心為原點(diǎn)的單位圓來(lái)定義。單位圓定義在實(shí)際計(jì)算上沒(méi)有大的價(jià)值；實(shí) 際上對(duì)多數(shù)角它都依賴于直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函數(shù)對(duì)所 有正數(shù)和負(fù)數(shù)輻角都有定義，而不只是對(duì)于在0和n /2弧度之間的角。它也提供了一個(gè)圖象，把所有重要的三角函數(shù)都包含了。根據(jù)勾股定理，單位圓的等 式是：圖象中給出了用弧度度量的一些常見(jiàn)的角。逆時(shí)針?lè)较虻亩攘渴钦牵槙r(shí)針的度量是負(fù)角。設(shè)一個(gè)過(guò)原點(diǎn)的線，同x軸正半部分得到一個(gè)角0,并與單位圓相交。這個(gè)交點(diǎn)的x和y坐標(biāo)分別等于cos 0和 sin M圖象中的三角形確保了這個(gè)公式；半徑等于斜邊且長(zhǎng)度為1，所以有sin 0 = y/和cos 0 = x/1單位圓可以被視為是通過(guò)改變鄰邊和對(duì)邊的長(zhǎng)度，但保持斜邊等 于1的一種查看無(wú)限個(gè)三角形的方式。兩角和