小學奧數(shù)-幾何五大模型(燕尾模型)

1、燕尾定理page 10 of 18日如蚱 例題精講燕尾定理:在三角形 ABC中，AD , BE, CF相交于同一點 O, 那么，S ABO : S ACO = BD :DC上述定理給出了一個新的轉化面積比與線段比的手段，因為AABO和AACO的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用，它的特殊性在于，它可以存在于 任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑通過一道例題 證明燕尾定理:如右圖，D是BC上任意一點，請你說明：S : S4 = & : S3 = BD : DC【解析】三角形BED與三角形CED同高，分

2、別以BD、DC為底，所以有S1 : S4 = BD :DC ；三角形ABE與三角形EBD同高，S1：S2=ED:EA；三角形 ACE與三角形CED同高，S4 : S3 =ED : EA ,所以§ : S4 =& :6；綜上可得，S ： S4 =& ： S3 =BD : DC .【例1】（2009年第七屆希望杯五年級一試試題）如圖，三角形 ABC的面積是1, E是AC的中點，點BC上，且BD:DC=1:2, AD與BE交于點F .則四邊形 DFEC的面積等于 .方法一：連接CF ,根據(jù)燕尾定理，S*=BD=1, 皂巴=些=1,SA acfDC 2& cbf EC

3、設 Sz BDF =1 份，則 Sz DCF = _ 所以 Sa abe Sa abc =10, Sa abd 份,S/XABF = 份，SaaEF = S EFC = 3 份，如圖所標所以Sdcef =5sSa ABC1212方法二：連接DE ,由題目條件可得到SA ABD112Sa ade = Sa adc = Sa abc223=3,所以黑Saabd1=?Saade1111111c 1一Sa deb = M-父 Sa bec = M - M M Sa abc =，22 32 3 212而Sa CDESa abc = .所以則四邊形3 23DFEC的面積等于512【鞏固】如圖，已知BD=D

4、C, EC=2AE,三角形ABC的面積是30,求陰影部分面積題中條件只有三角形面積給出具體數(shù)值，其他條件給出的實際上是比例的關系，由此我們可以初步.又因為陰影部分是一個不規(guī)則四邊形，所以我們需要對它判斷這道題不應該通過面積公式求面積 進行改造，那么我們需要連一條輔助線,（法一）連接CF,因為BD=DC,EC=2AE,三角形 ABC的面積是30,-1e& ABC -15 2根據(jù)燕尾定理,Sa abfAESa abfSa CBFEC& ACFBD=1 CDSA BFD= 157.5 =7.5 ,1所以 Saabf Saabc 7.5，4所以陰影部分面積是30107.5=12.5 .

5、（法二）連接DE ,由題目條件可得到-1eSa abe Sa abc 10，3Sa bde = - Sa bec21 2二Sa abc2 3=10 ，一 AF所以AFFDSA ABESA BDE1Sa def - - Sa dea21 1Sa adc2 3111一 x- x- xsAabc =2.5，23 2而$4CDE =2x1xSAABC =10.所以陰影部分的面積為 12.5. CDEABC3 2【鞏固】如圖，三角形 ABC的面積是200 cm2, E在AC上，點D在BC上，且AE: EC =3:5 , BD:DC = 2:3 , AD與BE交于點F .則四邊形 DFEC的面積等于 .【

6、解析】連接CF ,根據(jù)燕尾定理,SA ABFSA ACFBDDCSA ABF AESA CBFEC365 一而設 S ABF 6 份,則 SAACF 9 份,SA BCF5=10 份，SAEFC =9 3 5458份,_3SACDF =10 =6 修，2 3456) =8 ( 6) =93 (cm ) 845所以 Sdcfe =200，(6 9 10)(-【鞏固】如圖，已知BD=3DC, EC =2AE, BE與CD相交于點O,則4ABC被分成的4部分面積各占 4ABC 面積的幾分之幾？【解析】連接CO,設Saaeo=1份，則其他部分的面積如圖所示，所以SAabc =1+2+9+18=30份，

7、所以四部分按從小到大各占MBC面積的工,3=二2一,生=9303060 30 10 3020（2007年香港圣公會數(shù)學競賽）如圖所示，在 4ABC中，CP=1CB, CQ =CA , BQ與AP相交于 23點X ,若4ABC的面積為6 ,則4ABX的面積等于 .C【解析】11S BPQ = - S BCQ = S2 -6 一ABC 1 一一 1 一一一，一 2 一由于 CP = CB , CQ =CA ,所以 SJABQ =- S ABC , 233 _21由蝴蝶7E理知，AX : XP SLIABQ : SIJBPQ =-S ABC : S ABC =4:1 ,3 -6 -所以 SLABX

8、= S_ABP =父S ABC = S ABC = 一 黑 6 = 2.4 .5 -5 25 -5方法二：連接CX設SAcpx =1份，根據(jù)燕尾定理標出其他部分面積,所以 SABX =6，（1 1 4 4） 4=2.4BD=2DC, CE=2AE, AD與BE相交于點F ,請寫出這4部分【鞏固】如圖，三角形 ABC的面積是1, 的面積各是多少？【解析】連接CF ,設SAAEF =1份，則其他幾部分面積可以有燕尾定理標出如圖所示，所以Q 1 Q 62.8q 2 42SA AEF =一，SA ABF =一 二一，SA BDF =一，SFDCE = =一2121 721217連接CF ,根據(jù)燕尾定理

9、,& ABFBD1Sx ABFSA ACFDC2S*A CBFAE 2EC - 3【鞏固】如圖，E在AC上，D在BC上，且AE:EC =2:3 , BD: DC =1:2, AD與BE交于點F .四邊形DFEC 的面積等于22 cm2,則三角形 ABC的面積./八3份,SA EFC =4=2.42 3【鞏固】三角形 ABC中，C是直角，已知 部分）的面積為多少？設SA BDF =1 份,則 S»AD C F2 份,SA ABF =2 份，SA AFC =4份，SA AEF = 4=1.62 3份，如圖所標,所以 SEFDC =2+2.4 =4.4 份,SA ABC =2+3+

10、4 =9 份所以 SABC =22-： 4.4 9 =45 （cm2）AC =2, CD =2, CB=3, AM=BM,那么三角形 AMN （陰影【解析】連接BN . ABC的面積為3父2+2=3根據(jù)燕尾定理， ACN:ABN =CD: BD=2:1 ;同理CBNiACAN =BM : AM =1:1設 AMN面積為1份，則AHNB的面積也是1份，所以4ANB的面積是1+1 = 2份，而4ACN的 面積就是2 M2 =4份，4CBN也是4份，這樣 ABC的面積為4+4+1+1=10份，所以4AMN的 面積為3-10父1 =0.3.【鞏固】如圖，長方形 ABCD的面積是2平方厘米，EC = 2

11、DE , F是DG的中點.陰影部分的面積是多少平方厘米？【解析】設Sa def =1份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示影=& Sa bcd12512平方厘米.例2如圖所示，在四邊形 ABCD中, 形BODC的面積為.AB=3BE, AD=3AF,四邊形 AEOF的面積是12,那么平行四邊連接AO,BD ,根據(jù)燕尾定理SA ABO : SA BDO = AF : FD= 1:2, SA aod : SA bod = AE : BE = 2:1，設Sabeo =1 ,則其他圖形面積，如圖所標，所以Sbodc =2Saeof =2x12=24.例3 ABCD是邊長為12厘米的正方形，E、F分

12、別是AB、BC邊的中點，AF與CE交于G ,則四邊形 AGCD的面積是 平方厘米.【解析】連接八。、68,設$4 1c=1份，根據(jù)燕尾定理得S/agb =1份，SA BGC =1份，貝U S正方形=（1+1+1）乂2=6份，Sadcg =3+1 =4份，所以 Sadcg =122 +6M4 =96 (cm2)例4如圖，正方形 ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，四邊形 BGHF的 面積是 平方厘米.連接BH,根據(jù)沙漏模型得 86:6口=1:2,設$4 bhc=1份，根據(jù)燕尾定理Sa CHD =2份,SabhD=2份,12 77因此正方形=（一+2）-1。份，-=/3

13、=6,所以SBFHG=120嗔=14（平萬厘米）.【例5】如圖所示，在 4ABC中，BE: EC =3:1 , D是AE的中點，那么 AF :FC =【解析】連接CD .由于 SA ABD : SA BED =1：1 ,SA BED : SA BCD =3: 4 ,所以 SA ABD : SA BCD =3: 4 ,根據(jù)燕尾定理，AF : FC =SABD : SABCD =3: 4 .AE: EC =3:1 ,求 OB:OE=?【鞏固】在 MBC中，BD : DC =3: 2 ,連接OC .因為BD: DC =3: 2 ,根據(jù)燕尾定理,3 _saOB : S逸OC = BD : BC =3:

14、 2 ,即 S占OB =2 S為OC ；4又 AE : EC =3:1 ,所以 S幽oc =Soe所以 OB:OE =S.aob:S.aoe =2:1 .3八34八八. 則 S&OB =3$店0© MgS由OE 2 SOE ,【鞏固】在 MBC 中，BD:DC=2:1, AE: EC =1:3 ,求 OB:OE =?【解析】 題目求的是邊的比值，一般來說可以通過分別求出每條邊的值再作比值，也可以通過三角形的面積 比來做橋梁，但題目沒告訴我們邊的長度，所以應該通過面積比而得到邊長的比.本題的圖形一看 就聯(lián)想到燕尾定理，但兩個燕尾似乎少了一個，因此應該補全，所以第一步要連接OC

15、.連接OC .因為 BD:DC =2:1 ,根據(jù)燕尾定理，Saob : Saoc =BD :BC =2:1 ,即 SAob =2S公°c ；又 AE: EC 1:3 ,所以 Soc =4S&oe .則 Saob =2S&oc =2M4Soe =8S&oe , 所以 OB : OE =Saob : S盤oe =8:1 .例6 （2009年清華附中入學測試題）如圖，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、BC上的點，且【解析】AE = AB , CF =BC ,3面積之和為（法1）如圖，過 所以AEEB2所以 S，AEG =；L2且 EG = HF3AF與CE相交

16、于G ,若矩形ABCD的面積為120,則AAEG與ACGF的F做CE的平行線交 AB于H ,則EH : HB=CF : FB=1:3 ,2 S- S ABF2 3女=EC所以兩三角形面積之和為AG:GF =AE: EH =2 ,即 AG =2GF ,2 3 1c= 一"£ 一黑SJ ABCD =10 .9 4 21=EC ,故 CG =GE ,則 S盤10+5=15.BG .=BF :CF =3:1,S解G : S&CG = BE : AE = 2 :1 ,（法2）如上右圖，連接 AC、根據(jù)燕尾定理，S ABG : S ACG1 一 一而SaBC=2S ABCD =

17、60 ,所以S ABG3 2 1,1S淺bc =父 60 = 30 ,S BCG,S/ABC3 2 11=_父60=20, 31 _1 _人SaEG SBG 10 , S&FG = S幽CG =5 ,所以兩個三角形的面積之和為15.【例7】如右圖，三角形 ABC中，BD: DC =4:9 ,CE:EA=4:3 ,求 AF:FB.根據(jù)燕尾定理得SA AOB : SAAOC Sa aob : Sa boc根據(jù)燕尾定理得SA AOB : SAAOCAAOD/AOC=BD ：CD =4:9 =12: 27 = AE：CE =3: 4 =12:16（都有 AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所

18、以 SA AOC : SA BOC =27：16 = AF : FB本題關鍵是把 4AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果 能掌握它的轉化本質，我們就能達到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！ 如右圖，三角形 ABC 中，BD:DC=3:4, AE:CE =5:6 ,求 AF : FB .二BD :CD =3: 4 =15: 20SA AOB : SA BOC=AE :CE =5: 6 =15:18（都有4AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以 SAOC : Saboc =20:18 =10:9 =AF：FB【鞏固】如圖， BD: DC =2:3 , AE:C

19、E =5:3，則 AF : BF =19 5 19page 11 of 18【解析】 根據(jù)燕尾定理有 Saabg : SAACG =2:3=10:15, Saabg : Sabcg =5:3 =10:6，所以SA ACG : SABCG= 15: 6 =5: 2 =AF : BF【鞏固】如右圖，三角形 ABC中，BD:DC=2:3, EA:CE =5: 4 ,求AF :FB .【解析】根據(jù)燕尾定理得SaAOB : Saaoc =BD : CD =2:3=10:15SA AOB : SABOC=AE :CE =5: 4 =10:8（都有 AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以 SA AOC

20、: SA BOC 15:8 AF : FB【點評】本題關鍵是把 4AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果 能掌握它的轉化本質，我們就能達到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！例8（2008年“學而思杯”六年級數(shù)學試題）如右圖，三角形ABC中，AF:FB = BD: DC=CE: AE = 3: 2,且三角形ABC的面積是1,則三角形 ABE的面積為 形GHI的面積為.,三角形AGE的面積為連接 AH、BI、CG .22 c 2AC ,故 S&BE SABC ；555由于CE: AE=3: 2 ,所以AE根據(jù)燕尾定理，S ACG : S abgSCG : S

21、aBG : S占CG =4 : 6: 9 ,=CD : BD =2 :3 , S$cg : SAbg =CE : EA = 3: 2 ,所以4-9貝 U Scg , S占CG ；19192 一那 A S age - - S aGC5 19 95同樣分析可得Sch =-，則 EG : EH =務CG : Sach= 4 : 9,19EG : EB = S&cg : S&cb =4:19 ,所以EG:GH : HB =4:5:10 ,同樣分析可得 AG:GI :ID =10:5: 4,所以Sbie10S.bae5 21=一10 5 5S.Ghi19S.Bie5 11.一=【鞏固】

22、如右圖，三角形 ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且三角形GHI的面積是1,求三角形 ABC的面積.page 26 of 18連接 BG, S agc =6 份根據(jù)燕尾定理，SAAGC : SABGC =AF ： FB =3: 2 =6: 4 , SAABG : SAAGC = BD : DC =3: 2 =9:6得 Sa bgc =4（份），S.bg =9（份），則 S abc =19 （份），因此SA AGCS ABC619同理連接 AI、CH得SBH =9,包吧=9, S ABC 19 SAABC 19所以 &ghi _19 - 6 -6 -6 0 1Sa A

23、BC _19-19）如圖，MBC 中 BD=2DA, 倍.CE=2EB,三角形GHI的面積是1,所以三角形 ABC的面積是19 (2009年第七屆“走進美妙的數(shù)學花園”初賽六年級AF =2FC ,那么，ABC的面積是陰影三角形面積的如圖，連接AI .= 2:1 , S&ci : S小bi =CF : AF =1: 2,根據(jù)燕尾定理，Sbci :S.aci =BD :AD所以,S小CI : S咨CI : S凄BI =1: 2 : 4 ,22刃Ba,S春ci =S Abc =_ Sabc 1 2 47ABC面積同理可知 MCG和MBH的面積也都等于 AABC面積的2 ,所以陰影三角形的面積

24、等于7,21的1 2父3 =1 ,所以 MBC的面積是陰影三角形面積的 7倍.如圖在MBC中，DC二區(qū)二里二;求GHI?!?的值.DB EC FA 2 ABC 的面積【解析】連接 BG,設 Sbgc=1 份，根據(jù)燕尾定理 SA agc Sbgc=AF ：FB=2：1, SA abg ： SA agc = BD ： DC =2:1 ,S 2 一得SA agc =2（份），SAabg =4（份），則Sbc = 7（份），因此GC =,同理連接AI、CH得Sa abc 7S abh2 S bic2=, SA ABC7 SA ABC 7所以 &GHI .7 -2 -2 -2 =1SA ABC7

25、7【點評】如果任意一個三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖然形狀千變萬化， 但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理得到”的，即再重復一次解題思路，因此我 們有對稱法作輔助線.【鞏固】如圖在 ABC中,的值.DC EA FB 1 一 4GHI 的面積二二=一,求-DB EC FA 3 ABC 的面積【解析】連接 BG,設 SAbgc =1 份，根據(jù)燕尾定理 Saagc : Sabgc = AF : FB =3:1 , Saabg ：Saagc=BD ： DC =3:1S 3 一得 Sa Agc =3（份），SaABG =9（份），則 2 abc=13（份），因此

26、S*,同理連接 AI、CH 得313Sa abc13Sa abh“cSa bic二13,SA ABCSA ABC所以SAGHI13 - 3 - 3 - 3 _ 4Sa abc _13- 13如右圖,三角形ABC 中，AF :FB = BD :DC =CE: AE =4:3 ,且三角形ABC的面積是74,求角形GHI的面積.連接 BG, Sa agc = 12 份根據(jù)燕尾定理,Sa agc : Sa bgc=AF :FB =4:3= 12：9 , Sa abg : Saagc二 BD : DC =4:3 =16:12得Sa BGC =9 （份），SAABG =16（份）,則 Sabc=9+12+

27、16=37（份）,因此匡改CSa abc1237同理連接AI、CH得S3SA abc12Sa bic1237Sa abc37所以包包Sa abc37 -12 -12 -123737三角形ABC的面積是74,所以三角形 GHI的面積是74 X=237如圖所示,三個三角形的面積分別是3,7,7,【例9】兩條線段把三角形分為三個三角形和一個四邊形, 則陰影四邊形的面積是多少？【解析】方法一：遇到?jīng)]有標注字母的圖形，我們第一步要做的就是給圖形各點標注字母，方便后面的計算再看這道題，出現(xiàn)兩個面積相等且共底的三角形.設三角形為 ABC , BE和CD交于F ,則BF = FE ,再連結DE .所以三角形D

28、EF的面積為3.設三角形ADE的面積為x ,則 x: (3+3)=AD :DB =(x+10):10 ,所以 x=15,四邊形的面積為 18.方法二：設Saadf =x,根據(jù)燕尾定理SAabf ：Sabfc =Saafe ：Saefc ,得到Saaef =x + 3,再根據(jù)向右下飛的燕子，有(x+3+7):7=x:3 ,解得x=7.5四邊形的面積為7.5 + 7.5 + 3=18【鞏固】右圖的大三角形被分成5個小三角形，其中 4個的面積已經(jīng)標在圖中，那么，陰影三角形的面積是.【解析】方法一：整個題目讀完，我們沒有發(fā)現(xiàn)任何與邊長相關的條件，也沒有任何與高或者垂直有關系的 字眼，由此，我們可以推斷

29、，這道題不能依靠三角形面積公式求解.我們發(fā)現(xiàn)右圖三角形中存在一個比例關系：2 0影=(1+3 ):4,解得 與影=2.方法二：回顧下燕尾定理，有2:(即影+4) =1:3,解得S =2.【例10 如圖，三角形ABC被分成6個三角形，已知其中4個三角形的面積，問三角形ABC的面積是多設SABOF =x ,由題意知BD: DC =4:3根據(jù)燕尾定理，得33Sa abo : Sa aco = S bdo : Sa cdo = 4:3 ,所以 Sa aco - M(84+x) =63 +x ,443再根據(jù) Saabo : Sabco =Saaoe : Sacoe ,列萬程(84 +x) :(40 +3

30、0) =(63 + x -35) :35 解得 x =564SAAOE : 35 =(56 +84) :(40 +30),所以 SAAOE =70所以三角形ABC的面積是84十40十30十35十56+70=315【例11】 三角形ABC的面積為15平方厘米，D為AB中點，E為AC中點，F(xiàn)為BC中點，求陰影部分 的面積.AA【解析】 令BE與CD的交點為 M, CD與EF的交點為N,連接AM, BN.在 ABC中，根據(jù)燕尾定理,SA ABM : SA BCM = AE : CE = 1:1 , S ACM : SABCM = AD : BD =1:1 ,所以Sa abm=Sa acm = Sa

31、bcn二% ABC3由于Sa AEMSaamcSaabmS,所以 BM :ME =2:1在4EBC中，根據(jù)燕尾定理,SA BEN : SACEN=BF ：CF=1:1 &cen : SAcbn -ME : MB=1:2設SA CEN =1（份），則$4BEN 二1（份） ，Sa BCN=2（份），SA bce =4（份），所以11Sa bcn = Sa bce = S241> abc , Sa bne = Sa bce4=Saabc，8因為BM : ME =2:1 , F為BC中點,所以所以2SabmnSabne3C11S謬:一, _Sw128)ABC【例12】如右圖， ABC中

32、,1一 Saabc81=一 S122s24 SA ABC1 ABC , SabFN = Sz BNC21=Saabc , 85X15 =3.125 (平萬厘米)24G是AC的中點，D、E、F是BC邊上的四等分點,AD與BG交于M ,AF與BG交于N ,已知ABM的面積比四邊形 FCGN的面積大7.2平方厘米，則AABC的面積是 多少平方厘米？根據(jù)燕尾定理,【解析】Sa abm:Sa cbm =AG：GC =1:1 , Sa abm : Sa acm再根據(jù)燕尾定理,SA ABN : SACBN AG : GC =1:1 ,所以 SA ABN1=BD : CD 1:3，所以 Sa abm =_ S

33、a abc ；5:SA FBN SACBN : SA FBN =4：3 ,所以AN: NF =4:3 ,那么Sa angSA AFC所以SFCGNq _ 5- 1 qSA AFCSA ABCSA ABC 7 4281根據(jù)題意，有1SA ABC5Sa ABC28= 7.2 ，可得SA ABC =336（平方厘米）【鞏固】（2007年四中分班考試題）如圖， 若MBC的面積為1,那么四邊形ABC中，點D是邊AC的中點，點E、 CDMF的面積是.F是邊BC的三等分點,【解析】由于點D是邊AC的中點，點E、F是邊BC的三等分點，如果能求出 BN、NM、MD三段的比,CDMF的面積.那么所分成的六小塊的面

34、積都可以求出來，其中當然也包括四邊形連接CM、CN .,所以SaBM =2S ACM =4S ADM , 那根據(jù)燕尾定理，S淺bm : S©cm =BF : CF =2:1 ,而 S ACM = 2S ADM么 BM =4DM ，即 BM =4BD .5那么s BMFBM BFxBD BCS BCD4 2 1-x x-5 3 2-,場邊形CDMF二：1152另解：得出S ABM = 2 s ACM=4S©dm后，可得S淺dm一5151 1-x 5 23010則 &g邊形 CDMF = S ACF -'S ADM1-31030BD=DE=EC, CF=FG=G

35、A,三角形 ABC被分成9部分,【例13 如圖，三角形 ABC的面積是1, 請寫出這9部分的面積各是多少？設BG與AD交于點P, BG與AE交于點Q, BF與AD交于點 M, BF與AE交于點N.連接CP,CQ, CM , CN.根據(jù)燕尾定理，Sa abp : Sacbp =AG :GC =1: 2,SA ABP:Sa acp =BD : CD =1: 2 ,設SL abp =1（份），則同理可得,Sa ABQ_1 H _Sa abn ，Sa abg23, Sa aqg357 21向理，Sa bpmSH邊形 MNED353S»A BDM工，所以 2135 70 42-,酶邊形NFCE

36、s四邊形PQMN 二一2113 21 4235 701 - ，S四邊形GFNQ63 21 642如圖，MBC的面積為1,點邊形JKIH的面積是多少？D、E是BC邊的三等分點，點 FG是AC邊的三等分點，那么四連接 CK、CI、CJ .根據(jù)燕尾定理，S&ck：S&bk=CD：BD=1：2, S&bk：S&bk=AG：CG=1：2 ,所以 S&CK : S&BK : SBK =1: 2 : 4 ,那么 Sack 12 41c 1c=一 ,S&GK=_S&CK7321類似分析可得S.Agi15又 S型j :S式bj =AF :CF =2

37、:1 , Sbj 6呼=BD :CD =2:1 ,可得 S/j1117那 4 Scgkj =- - =4 2184根據(jù)對稱性，可知四邊形CEHJ的面積也為17,那么四邊形 JKIH周圍的圖形的面積之和為84Scgkj2 S AGI S ABE1721612 -二8415 3 70一 .619,所以四邊形JKIH的面積為1_一= 一70 70【例 14】如右圖，面積為 1 的 4ABC 中，BD :DE : EC =1:2:1 , CF : FG:GA = 1:2:1 , AH : HI : IB =1:2:1 ,求陰影部分面積.【解析】設IFIG交HF于M, IG交HD于N, DF交EI于P

38、.連接 AM ,AI : AB=3:4, AF:AC=3:4,SAAIF,SA FIM : SAAMF = IH : HA =2，SAFIM: SA AIM_2e一Sa ABC16i 二 FG : GA = 2 ' Sa aim = - Sa aif49SA ABC- AH64：AI =1:31 SaahmSA abc， 64AH : AB =1:4AF : AC =3: 4一SaAHF3 Sa ABC同理SA cfd =Sa bdh = SA abc16 AI : AB =3: 4,AF : AC =3: 4 , IF II BC ,又 IF : BC =3: 4,DE : BC =

39、1: 2 ,16Sa fdh - - Sa abc163 3HM :HF = :=1:4 ,64 16DE : IF =2:3, DP : PF =2:3同理 HN : ND =2:3，= HM : HFSa hmn = - Sahdf =Saabc10160=1:4,，HN :HD7= 2:5同理6個小陰影三角形的面積均為1607160陰影部分面積工6 = 2180160【例15如圖，面積為影部分面積.AB、BC、CA的三等分點，求陰中，D、的三角形ABCI分別是E、F、G、H、【解析】三角形在開會，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI與CD的交點為 M, AF與CD的交點

40、為 N, BI與AF的交點為P,BI與CE的交點為 Q,連接AM、BN、CP求7邊ADMI ：在ABC中，根據(jù)燕尾定理,Sa abm : Sa cbm = AI : CI =1:2 Saacm : Sa cbm = AD : BD =1:2設SA ABM=1（份），則Sacbm= 2 （彳 ）,SAACM 二 1（彳），SA ABC 二 4（彳 ,所以 Saabm =Saacm =_ Saabc , 所以 Saadm4=Sa abm3=Sa abc , Sa aim12= SA ABC ,12=（ ） S ABC12 12=-Sa abc ,6同理可得另外兩個頂點的四邊形面積也分別是1 ABC

41、面積的-6求金邊形DNPQE ：在4ABC中，根據(jù)燕尾定理1 一Sa abc , 向理 Sa beq21"ABC21Sa ABN :SA acn =BF :CF =1:2 SA acn :$ bcn =AD :BD =1:2,所以SaADN = _ Sa ABN = Sa ABC33 7在 4ABC 中，根據(jù)燕尾定理 SAABP : SAACP =BF :CF =1:2, SAABP : SACBP = AI :CI =1:2所以 Sa abp = _ Sa abc5所以Se邊形 dnpqe - Sa abp - Sa adn - Sa bep5 21 21Sa abc11SSa abc105同理另外兩個五邊形面積是ABC面積的1051131051370【例16如圖，面積為 心六邊形面積.的三角形ABC 中,D、E、F、 G、 H、I分別是AB、BC、CA的三等分點，求中P、S、M、Q,連接 CR【解析】設深黑色六個三角形的頂點分別為N、R、在 ABC中根據(jù)燕尾定理,SA ABR : SA ACR = BG : CG . = 2 ：1 ,SA ABR : SACBR = AI : CI=1:2所以Sa ABR= 2Sx7