求變力做功的幾種方法

1、高三物理第一輪復(fù)習(xí)教案第八章機(jī)械能-1 -高三物理第一輪復(fù)習(xí)教案第八章機(jī)械能求變力做功的幾種方法功的計(jì)算在中學(xué)物理中占有十分重要的地位，中學(xué)階段所學(xué)的功的計(jì)算公式W=FScosa只能用于恒力做功情況，對(duì)于變力做功的計(jì)算則沒(méi)有一個(gè)固定公式 可用，本文對(duì)變力做功問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié)如下： 一、等值法等值法即若某一變力的功和某一恒力的功相等，貝冋以同過(guò)計(jì)算該恒力的 功，求出該變力的功。而恒力做功又可以用 W=FScosa 計(jì)算，從而使問(wèn)題變得 簡(jiǎn)單。例1、如圖1，定滑輪至滑塊的高度為h， 已知細(xì)繩的拉力為F牛（恒定），滑塊沿水平面 由A點(diǎn)前進(jìn)s米至B點(diǎn)，滑塊在初、末位置時(shí)細(xì) 繩與水平方向夾角分別為a和B

2、。求滑塊由A點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過(guò)程中，繩的拉力對(duì)滑塊所做的功。分析：設(shè)繩對(duì)物體的拉力為 T,顯然人對(duì)繩 的拉力F等于T0 T在對(duì)物體做功的過(guò)程中大小 雖然不變，但其方向時(shí)刻在改變，因此該問(wèn)題是變力做功的問(wèn)題。但是在滑輪的質(zhì)量以及滑輪與繩間的摩擦不計(jì)的情況下，人對(duì)繩做的功就等于繩的拉力對(duì)物體做的功。而拉力F的大小和方向都不變，所以F做的功可以用公式 W=FScosa 直接計(jì)算。由圖可知，在繩與水 平面的夾角由a變到B的過(guò)程中，拉力F的作用點(diǎn)的位移大小為：h hsin a sin:.Wr=WFFtS=Fh ；sin a sin ；、微元法當(dāng)物體在變力的作用下作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，若力的方向與物體運(yùn)動(dòng)的切線方向

3、之 間的夾角不變，且力與位移的方向同步變化，可用微元法將曲線分成無(wú)限個(gè)小元 段，每一小元段可認(rèn)為恒力做功，總功即為各個(gè)小元段做功的代數(shù)和例2、如圖2所示，某力F=10牛作用于半徑R=1米的轉(zhuǎn)盤的邊緣上,力F的大小保持不變，但方向始終保持與作用點(diǎn)的切線方向 個(gè)力F做的總功應(yīng)為：A 0焦耳 B 20 n焦耳C 10焦耳 D 20焦耳分析：把圓周分成無(wú)限個(gè)小元段，每個(gè)小元段可 認(rèn)為與力在同一直線上，故厶W=F S,則轉(zhuǎn)一周中各個(gè) 小元段做功的代數(shù)和為 W=F X 2 n R=10 X 2 n J=20 n J，故B正確。三、平均力法如果力的方向不變，力的大小對(duì)位移按線性規(guī)律變化時(shí)，可用力的算術(shù)平均值

4、(恒力)代替變力，利用功的定義式求功。例3、一輛汽車質(zhì)量為10 5千克，從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，其阻力為車重的 0.05 倍。其牽引力的大小與車前進(jìn)的距離變化關(guān)系為 F=10 3x+f o，fo是車所受的阻 力。當(dāng)車前進(jìn)100米時(shí)，牽引力做的功是多少？分析：由于車的牽引力和位移的關(guān)系為 F=103x+f0，是線性關(guān)系，故前進(jìn)100米過(guò)程中的牽引力做的功可看作是平均牽引力所做的功。由題意可知f0=0.05 X 105 X 10N = 5 X 104N,所以前進(jìn)100米過(guò)程中的平均牽引力5x104+(103x100 + 5x104)：=N = 1 X 105N, W = ： S= 1 X 105 X 10

5、0J = 1 X 10 7j。四、圖象法oFtXlD5如果力F隨位移的變化關(guān)系明確，始末位置清楚，可在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫 出Fx圖象，圖象下方與坐標(biāo)軸所圍的“面積”即表示功例如：對(duì)于例3除可用平均力法計(jì)算外也可 用圖象法。由F=10 3x+f 0可知，當(dāng)x變化時(shí)，F(xiàn) 也隨著變化，故本題是屬于變力做功問(wèn)題，下面 用圖象求解。牽引力表達(dá)式為S3F=10 3x+0.5 X10 5，其函數(shù)表達(dá)圖象 如圖3。根據(jù)F-x圖象所圍的面積表示牽引力所 做 的功，故牽引力所做的功等于梯形OABD的“面 積”。所以五、能量轉(zhuǎn)化法求變力做功功是能量轉(zhuǎn)化的量度，已知外力做功情況可計(jì)算能量的轉(zhuǎn)化，同樣根據(jù)能量 的轉(zhuǎn)化也

6、可求外力所做功的多少。因此根據(jù)動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、功能關(guān) 系等可從能量改變的角度求功。1、用動(dòng)能定理求變力做功動(dòng)能定理的內(nèi)容是：外力對(duì)物體所做的功等于物體動(dòng)能的增量。它的表達(dá)式 是W #=AEk，W外可以理解成所有外力做功的代數(shù)和，如果我們所研究的多個(gè) 力中，只有一個(gè)力是變力，其余的都是恒力，而且這些恒力所做的功比較容易計(jì) 算，研究對(duì)象本身的動(dòng)能增量也比較容易計(jì)算時(shí)， 用動(dòng)能定理就可以求出這個(gè)變力所做的功。例4、如圖4所示，AB為1/4圓弧軌道，半 徑為0.8m，BC是水平軌道，長(zhǎng)3m，BC處的摩擦系數(shù)為1/15，今有質(zhì)量m=1kg的物體，自A點(diǎn)從靜止起下滑到C點(diǎn)剛好 停止。求物體在軌道

7、AB段所受的阻力對(duì)物體做的功。分析：物體在從A滑到C的過(guò)程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三個(gè)力做功，WG=mgR，fBc=umg二，由于物體在AB段受的阻力是變 力，做的功不能直接求。根據(jù)動(dòng)能定理可知：W外=0，所以 mgR-umg-W AB=01即 WAB=mgR-umg=1 X 10 X0.8-丄 X1 X10 X 3=6(J)2、用機(jī)械能守恒定律求變力做功如果物體只受重力和彈力作用，或只有重力或彈力做功時(shí)，滿足機(jī)械能守恒 定律。如果求彈力這個(gè)變力做的功，可用機(jī)械能守恒定律來(lái)求解。例5、如圖5所示，質(zhì)量m為2千克的物 體，從光滑斜面的頂端 A點(diǎn)以vo=5米/秒的初 速度滑下，在

8、D點(diǎn)與彈簧接觸并將彈簧壓縮到B 點(diǎn)時(shí)的速度為零，已知從A到B的豎直高度h=5 米，求彈簧的彈力對(duì)物體所做的功。分析：由于斜面光滑故機(jī)械能守恒，但彈 簧 的彈力是變力，彈力對(duì)物體做負(fù)功，彈簧的彈性勢(shì)能增加，且彈力做的功的數(shù)值 與彈性勢(shì)能的增加量相等。取 B所在水平面為零參考面，彈簧原長(zhǎng)處 D點(diǎn)為彈 性勢(shì)能的零參考點(diǎn)，則狀態(tài) A:Ea= mgh+mv o2/2對(duì)狀態(tài)B :Eb= -W彈簧+0由機(jī)械能守恒定律得：W彈簧=-(mgh+mv o2/2 ) = 125 (J)。3、用功能原理求變力做功功能原理的內(nèi)容是：系統(tǒng)所受的外力和內(nèi)力(不包括重力和彈力)所做的功 的代數(shù)和等于系統(tǒng)的機(jī)械能的增量， 如果

9、這些力中只有一個(gè)變力做功， 且其它力 所做的功及系統(tǒng)的機(jī)械能的變化量都比較容易求解時(shí)，就可用功能原理求解變力 所做的功。例6、質(zhì)量為2千克的均勻鏈條長(zhǎng)為2米，自然堆放在光滑的水平面上， 用力F豎直向上勻速提起此鏈條，已知提起鏈條的速度v=6米/秒，求該鏈條全 部被提起時(shí)拉力F所做的功。分析：鏈條上提過(guò)程中提起部分的重力逐漸增大，鏈條保持勻速上升，故作 用在鏈條上的拉力是變力，不能直接用功的公式求功。根據(jù)功能原理，上提過(guò)程 拉力F做的功等于機(jī)械能的增量，故可以用功能原理求。當(dāng)鏈條剛被全部提起時(shí)， 動(dòng)能沒(méi)有變化，重心升高了 L/2=1米，故機(jī)械能動(dòng)變化量為： E=mg L/2=2 X 10 X 1

10、=20(J)根據(jù)功能原理力F所做的功為：W=20J4、用公式 W=Pt求變力做功-3 -高三物理第一輪復(fù)習(xí)教案第八章機(jī)械能例7、質(zhì)量為4000千克的汽車，由靜止開(kāi)始以恒定的功率前進(jìn)，它經(jīng)100/3 秒的時(shí)間前進(jìn)425米，這時(shí)候它達(dá)到最大速度15米/秒。假設(shè)汽車在前進(jìn)中所 受阻力不變，求阻力為多大。分析：汽車在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中功率恒定，速度增加，所以牽引力不斷減小，當(dāng)減 小到與阻力相等時(shí)速度達(dá)到最大值。汽車所受的阻力不變，牽引力是變力，牽引力所做的功不能用功的公式直接計(jì)算。由于汽車的功率恒定，汽車功率可用 P=Fv求，速度最大時(shí)牽引力和阻力相等，故 P=Fv m =fv m，所以汽車的牽引力 做的功為

11、W汽車=Pt=fv mt根據(jù)動(dòng)能定理有：W 汽車一fs=mv m2/2，即 fvmt fs= mv m 2/2代入數(shù)值解得：f=6000N。變力做功的問(wèn)題是一教學(xué)難點(diǎn)，在上述實(shí)例中，從不同的角度、用不同的方 法闡述了求解變力做功的問(wèn)題.在教學(xué)中，通過(guò)對(duì)變力做功問(wèn)題的歸類討論，有 利于提高學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性 思維，開(kāi)闊學(xué)生解題的思路.課后訓(xùn)練題1、如圖所示，質(zhì)量為2kg的物體從A點(diǎn)沿半徑為R的粗糙 半球內(nèi)表面以10m/s的速度開(kāi)始下滑，到達(dá)E點(diǎn)時(shí)的速度 變?yōu)?m/s，求物體從A運(yùn)動(dòng)到E的過(guò)程中，摩擦力所做的 功是多少？2、一條長(zhǎng)鏈的長(zhǎng)度為a,置于足夠高

12、的光滑桌面上，如 圖所示鏈的下垂部分長(zhǎng)度為b,并由靜止開(kāi)始從桌上 滑下，問(wèn)：當(dāng)鏈的最后一節(jié)離開(kāi)桌面時(shí)，鏈的速度及在 這一過(guò)程中重力所做的功為多少？-# -高三物理第一輪復(fù)習(xí)教案第八章機(jī)械能-# -高三物理第一輪復(fù)習(xí)教案第八章機(jī)械能3、如圖所示，一人用定滑輪吊起一個(gè)質(zhì)量為M的物體，繩子 每單位長(zhǎng)的質(zhì)量為p,試求人將物體從地面吊起高度為L(zhǎng)的 過(guò)程中所做的最小功.4、質(zhì)量為5X105kg的機(jī)車，以恒定功率從靜止開(kāi)始起動(dòng)，所受阻力是車重的0. 06倍，機(jī)車經(jīng)過(guò)5mi n速度達(dá)到最大值 108km/h，求機(jī)車的功率和機(jī) 車在這段時(shí)間內(nèi)所做的功.5、用錘子把鐵釘打入木塊中，設(shè)每次打擊錘子時(shí)給鐵釘?shù)膭?dòng)能相同

13、，鐵釘進(jìn)入 木塊所受的阻力跟打入的深度成正比. 如果釘子第一次被打入木塊的深度為 2c m,求第二次打入的深度和需要幾次打擊才能將鐵釘打入4cm深處.6將一根水平放置在地面上的長(zhǎng)為 6m、質(zhì)量為200 kg的粗細(xì)均勻的金屬棒豎 立起來(lái)，至少要做多少功(設(shè)所施加的力始終垂直于棒)？課后訓(xùn)練題解答1、分析 物體由A滑到E的過(guò)程中，受重力G、彈力N和摩擦力f三個(gè)力的作 用，因而有f= (iN,2N mgcos B=mv /R,即 N=m(v 2/R)+mgcos 0.式中卩為動(dòng)摩擦因素，v為物體在某點(diǎn)的速度.分析上式可知，在物體由A到C 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，0由大到變小，cos 0變大，因而N變大，f也變

14、大.在物體由C到E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，0由小到變大，cos 0變小，因而N變小， f也變小.由以上可知，物體由A運(yùn)動(dòng)到E的過(guò)程中，摩擦力f是變力，是變力做功問(wèn) 題.解根據(jù)動(dòng)能定理有可外=AE k .在物體由A運(yùn)動(dòng)到E的過(guò)程中，彈力N不做功；重力在物體由A運(yùn)動(dòng)到C的 過(guò)程中對(duì)物體所做的正功與物體從C運(yùn)動(dòng)到E的過(guò)程中對(duì)物體所做的負(fù)功相等， 其代數(shù)和為零.因此，物體所受的三個(gè)力中摩擦力在物體由A運(yùn)動(dòng)到E的過(guò)程中 對(duì)物體所做的功，就等于物體動(dòng)能的變化量.則有可外=W f = AE k，即Wf = (1/2) mv b2 (1/2) mv a2= (1/2) >2總(1/2) >2X102)=96

15、 J.式中負(fù)號(hào)表示摩擦力對(duì)物體做負(fù)功. 可見(jiàn)，如果所研究的物體同時(shí)受幾個(gè)力的作 用，而這幾個(gè)力中只有一個(gè)力是變力， 其余均為恒力，且這些恒力所做的功和物 體動(dòng)能的變化量容易計(jì)算時(shí)，此類方法解決問(wèn)題是行之有效的.2、分析 長(zhǎng)鏈在下落過(guò)程中，下垂部分不斷增長(zhǎng)，因此，該部分的質(zhì)量也在不 斷增大，即這部分所受的重力是變力，整個(gè)長(zhǎng)鏈的運(yùn)動(dòng)也是在該變力作用下的運(yùn) 動(dòng)，是變力做功問(wèn)題.圖2解取桌面為零勢(shì)能面，設(shè)整個(gè)鏈條質(zhì)量為m，桌面高度為h，下垂部分質(zhì) 量為m o .則有m°/m=b/a，m o=(b/a)m，開(kāi)始下滑時(shí)鏈條的初動(dòng)能E k 1 = 0,初勢(shì)能 E Pi = m°g (b/

16、2)= mg - (b 2 / 2a), 機(jī)械能E i=E ki+Epi = (b 2/2a)mg.設(shè)鏈條全部離開(kāi)桌面的瞬時(shí)速度為v,此時(shí)鏈條的勢(shì)能Ep2=(a / 2)mg, 動(dòng)能Ek2 =( 1/2)mv 2, 機(jī)械能 E 2=( 1/2)mv 2(a/ 2)mg, 根據(jù)機(jī)械能守恒定律有E i = E 2，即 (b 2/2 a)mg=( 1/2)mv 2 (a/ 2)mg,解得v = f 因此，在這一過(guò)程中重力所做的功為Wg = AE k =( 1/2)mv 2 0=(mg/ 2a) (a 2 b 2).3、分析 假定物體被勻速吊起，人將物體從地面吊起的過(guò)程中，人的拉力可表 示為T = M

17、g+ pxg,式中x為豎直方向繩的余長(zhǎng).當(dāng)物體上升時(shí)，繩的余長(zhǎng)x減小，T減小，因而T 為變力，故本題屬變力做功問(wèn)題.解 設(shè)繩的重量全面集中在它的重心上，物體升高高度為L(zhǎng)時(shí)，繩的重心上升L/ 2,則系統(tǒng)機(jī)械能的增量為AE= AE 1 + AE2=A E p 1 + A E k 1 + AE p 2 + AEk 2,式中Ae 1、Ae2分別為物體和繩的機(jī)械能增量.由功能原理知，人的拉力所做的功為W= AE= AE p 1 + AE k1 + AE p2+ AE k2 ,當(dāng)AEk 1 = AE k2= 0時(shí)，即緩慢提升物體時(shí)W最小，即Wmin = AE p 1 + AE p 2= MgL+(L/ 2

18、) pLg=M+( 1/2) pLgL.可見(jiàn)，在涉及重力、彈力之外的變力做功問(wèn)題時(shí)，只要系統(tǒng)的機(jī)械能的變化容易求得，用功能原理求解該變力所做的功比較方便.4、分析 因機(jī)車的功率恒定，當(dāng)機(jī)車從靜止開(kāi)始達(dá)到最大速度的過(guò)程中，牽引 力不斷減小，當(dāng)速度達(dá)到最大值時(shí)，機(jī)車所受牽引力達(dá)到最小值，與阻力相等.在 這段時(shí)間內(nèi)機(jī)車所受阻力可認(rèn)為是恒力， 牽引力是變力，因此，機(jī)車做功不能直 接用W=Fscosa來(lái)求解，但可用公式W=Pt來(lái)計(jì)算.解 根據(jù)題意，機(jī)車所受阻力f = kmg，當(dāng)機(jī)車速度達(dá)到最大值時(shí)，機(jī)車 功率為P = Fv max =fv max=kmgv max53=0. 06X5X105X10X (

19、108X103/3600)=9X106W.根據(jù)P=Wt，該時(shí)間內(nèi)阻力做功為Wf = P/t = 9X106/ 300= 3X104j.根據(jù)動(dòng)能定理W外=AE k得牽引力做功Wf= AE k+Wf=(1 /2)mv max 2 + W f=(1/2) >5X1O5X3O2 + 3X104=2. 25X108 J.5、分析 鐵釘進(jìn)入木塊所受的阻力f跟鐵釘進(jìn)入木塊的深度x之間的關(guān)系為f =kx,由此可知，阻力是一個(gè)變力.鐵釘?shù)玫藉N子給予的動(dòng)能后， 克服木塊對(duì) 它的阻力做功的問(wèn)題，是一個(gè)變力做功的問(wèn)題.解 (1 )依據(jù)題意做出f x關(guān)系圖線如圖 4所示.-7 -高三物理第一輪復(fù)習(xí)教案第八章機(jī)械能1等于圖4中三角形AOC的面積的 o，第二次打擊時(shí)鐵釘克服阻力所做第一次打擊時(shí)鐵釘克服阻力所做的功W 值.設(shè)第二次打擊時(shí)鐵釘被打入的深度為x 的功W 2等于圖4中梯形ABDC的面積的值.因f = kx，由圖可得= 2k，二=(2+x 0)k，則 Wi =( 1/2) ' '1/2) >2k>2 = 2k，W 2= (+- )/ 2) > « = (2k+(