高等數(shù)學(xué)專題講座曲線積分與曲面積分

1、第十一講：曲線積分與曲面積分第十一講：曲線積分與曲面積分高等數(shù)學(xué)專題講座 主講： 曲線積分與曲面積分是高等數(shù)學(xué)中比較難掌握的部分，曲線積分與曲面積分是多元函數(shù)積分學(xué)的又一組成部分。 它們與重積分的區(qū)別在于二重與三重積分的積分區(qū)域分別為平面和空間中的區(qū)域，而曲線積分的積分域則是平面或空間中的一條曲線，曲面積分的積分域則市空間中的一個(gè)曲面。 在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)弄清四種積分的概念、物理意義，從而把握各種積分計(jì)算方法的原理及本質(zhì)。學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)積分學(xué) 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū) 間 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線弧曲線弧曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對(duì)弧長的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積

2、分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲面積分一、對(duì)弧長的曲線積分一、對(duì)弧長的曲線積分1. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(),()2(szyxfszyxfszyxfd),(21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長度)szyxfd),(),(為常數(shù)szyxgd),(3. 計(jì)算計(jì)算 對(duì)光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對(duì)光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(:

3、 rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對(duì)光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf基本思路基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化求曲線積分二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 1. 定義kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性質(zhì)(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向積分弧段的方向!3. 計(jì)算

4、,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對(duì)有向光滑弧 對(duì)有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(基本思路基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化求曲線積分zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 兩類曲線積分的聯(lián)系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 對(duì)空間有向光滑弧 :三、

5、格林公式及其應(yīng)用 LD區(qū)域 D 分類單連通區(qū)域 ( 無“洞”區(qū)域 )多連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 )域 D 邊界L 的正向正向: 域的內(nèi)部靠左域的內(nèi)部靠左定理定理1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),LDyxyQxPyxQPdddd或1、 格林公式格林公式2、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件定理定理2. 設(shè)D 是單連通域 ,),(),(yxQyxP在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有.0dd

6、LyQxP(2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有.xQyPLyQxPdd與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在 D 內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即 四、對(duì)面積的曲面積分 1. 定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim,),( , ),(:yxDyxyxzz則Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd 注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性、質(zhì)心公式簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧. 2. 計(jì)算: 設(shè)基本思路基本思路:計(jì)算二重積分轉(zhuǎn) 化求曲線積分說明說明:zyD

7、zyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有類似的公式.1) 如果曲面方程為2) 若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下dS 的表達(dá)式 , 也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的二重積分. 五、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 1、定義、定義:yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(xziiiiSQ),(若記 正側(cè)正側(cè)的單位法向量為令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 則對(duì)坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式y(tǒng)xRxzQzyPddddddSnAdSA d2.

8、 性質(zhì)性質(zhì)(1) 若,1kiiki 1之間無公共內(nèi)點(diǎn), 則i且(2) 用 表示 的反向曲面, 則SA dSASAddiSAd3. 計(jì)算: 基本思路基本思路:計(jì)算二重積分轉(zhuǎn) 化求曲線積分yxDyxyxzz),( , ),(:yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上側(cè)取“+”, 下側(cè)取“”) 若則有 若,),( , ),(:zyDzyzyxx則有zyzyxPdd),(), (zy,PzyDzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy則有xzzyxQdd),() , zxQxzD,(xzdd(前正后負(fù))(右正左負(fù)),(zyx),(xzy令yxRxzQzyPddddddS

9、RQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnSSA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)4、聯(lián)系、聯(lián)系:Green 公式Gauss 公式推廣推廣六、高斯公式定理定理1. 設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd 函數(shù) P, Q, R 在面 所圍成, 則有 (Gauss 公式公式) 的方向取外側(cè), Gauss公式的應(yīng)用:(1) 計(jì)算曲面積分 (非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧)(2) 推出閉曲面積分為零的充要條件: 0ddddddyxRxz

10、QzyP0zRyQxP七、斯托克斯公式 定理定理1. 設(shè)光滑曲面 的邊界 是分段光滑曲線, yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd (斯托克斯公式斯托克斯公式)個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),側(cè)與 的正向符合右手法則, RQP,在包含 在內(nèi)的一則有1、 斯托克斯公式斯托克斯公式 為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作:RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或用第一類曲面積分表示:SRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd zRyQxPudddd2、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理定理2. 設(shè) G 是空間一維單連通域

11、, 內(nèi)在函數(shù)GRQP,具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則下列四個(gè)條件相互等價(jià): (1) 對(duì)G內(nèi)任一分段光滑閉曲線 , 有0dddzRyQxP(2) 對(duì)G內(nèi)任一分段光滑曲線 , zRyQxPddd與路徑無關(guān)(3) 在G內(nèi)存在某一函數(shù) u, 使(4) 在G內(nèi)處處有zPxRyRzQxQyP,曲線積分的計(jì)算法曲線積分的計(jì)算法1. 基本方法曲線積分第一類 ( 對(duì)弧長 )第二類 ( 對(duì)坐標(biāo) )(1) 選擇積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2) 確定積分上下限第一類: 下小上大第二類: 下始上終(1) 利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算 ;(2) 利用積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件;(3) 利用格林公式 (注

12、意加輔助線的技巧加輔助線的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式 .2. 基本技巧基本技巧例例1： 計(jì)算,d22syxL其中L為圓周.22xayx提示提示: 利用極坐標(biāo) ,)22(cos:arLdd22rrs原式 =sxaLd22dcos22aa22a說明說明: 若用參數(shù)方程計(jì)算,:L)20( tOxayrda)cos1 (2txatyasin2t則tyxsdd22 tad2例例2. 計(jì)算,dsxIL其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為)40(2cos:1arL利用對(duì)稱性 , 得sxILd414022d)

13、()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLOyx44d d s例例3. 計(jì)算,d)(222szyxI其中 為球面解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交線與平面 zx29222zyx化為參數(shù)方程 21cos2x sin2y則例例4. 計(jì)算,d)(22szyxI其中 為曲線02222zyxazyx解解: 利用輪換對(duì)稱性 , 有szsysxddd222利用重心公式知sysydd0szyxId)(32222sad322334azyxO( 的重心在原點(diǎn)) 例例5. 求,d)(d

14、)(d)(zyxyzxxyzI其中,21:22zyxyx從 z 軸正向看為順時(shí)針方向.解解: 取 的參數(shù)方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2zyxO二者夾角為 例例6. 設(shè),max22QPM曲線段 L 的長度為s, 證明),(, ),(yxQyxP續(xù),sMyQxPLdd證證:LyQxPddsQPLdcoscos設(shè)sMsQPLdcoscos說明說明: 上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連 )cos,(cos, ),(tQ

15、PAstALdsALdcos例例7. .將積分yyxQxyxPLd),(d),(化為對(duì)弧長的積分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到從解：解：OyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圓周思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè),4:, 1:222412yxlyxL且都取正向, 問下列計(jì)算是否正確 ?Lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Dd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyy

16、x22ddlxyyxdd41Dd2412提示提示:時(shí)022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(LO2y1x2lDCCCDOyxaaC 例例8. 設(shè) C 為沿yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222222ayx從點(diǎn)), 0(a依逆時(shí)針), 0(a的半圓, 計(jì)算解解: 添加輔助線如圖 ,利用格林公式 .原式 =321aaayayd)ln2(D222xaya222xayyxddC到點(diǎn)D例例9. 質(zhì)點(diǎn)M 沿著以AB為直徑的半圓, 從 A(1,2) 運(yùn)動(dòng)到Dyxdd2點(diǎn)B(3, 4),到原點(diǎn)的距離,解解: 由圖知 故所求功為AByxxyddABBAABxxxd) 1(3122 銳角,其方向垂直于

17、OM, 且與y 軸正向夾角為AB)dd(yxxy) 1(21334xyAB的方程F求變力 F 對(duì)質(zhì)點(diǎn)M 所作的功. ( 1990 考研 ) , ),(xyFF 的大小等于點(diǎn) M 在此過程中受力 F 作用,sFWdO),(yxMBAyx,0) 1 ,0(,1FCF例例10. 已知曲線積分與路徑無關(guān), 其中求由確定的隱函數(shù)解解: 因積分與路徑無關(guān) , 故有xFxFxsincosxFxyFysinsin即因此有dcosdsin),(yxxxyyxFL0),(yxFxyFFyxtanxyytan10 xyxycos1xsecsin),(cos),(xyyxFyxyxFxyDxzyO例例11.zyxyx

18、zxzyILd)3(d)2(d)(222222設(shè)L 是平面與柱面1 yx的交線從 z 軸正向看去, L 為逆時(shí)針方向, 計(jì)算 解解: 記 為平面2zyx上 L 所圍部分的上側(cè), D為 在 xOy 面上的投影.I3131312zyx223yx 22zy 222xz SzyxdL由斯托克斯公式公式 Szyxd)324(32Dyxyxdd)6(2D 的形心0 yxDyxdd1224SzyxId)324(32Dyxzyx),(, 2:1: yxDDxy11O例12. 已知平面區(qū)域L為D 的邊界的正向, 試證,0, 0),(yxyxDxyyxxyyxxyLxyLdededede) 1 (sinsinsi

19、nsin2sinsin2dede)2(xyyxxyL證證: (1) 根據(jù)格林公式d)ee(dedesinsinsinsinxyDxyLxyyxd)ee(dedesinsinsinsinxyDxyLxyyx所以相等, 從而左端相等, 即(1)成立.(2003 考研)OyxD因、兩式右端積分具有輪換對(duì)稱性,(2) 由式d)ee(dedesinsinsinsinxyDxyLxyyxdedesinsinxDyDd2D22d)ee(sinsinxxD由輪換對(duì)稱性O(shè)yxD)2ee(tt易證曲面積分的計(jì)算法曲面積分的計(jì)算法1. 基本方法曲面積分第一類( 對(duì)面積 )第二類( 對(duì)坐標(biāo) )轉(zhuǎn)化二重積分(1) 選擇

20、積分變量 代入曲面方程(2) 積分元素投影第一類: 始終非負(fù)第二類: 有向投影(3) 確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面2. 基本技巧基本技巧(1) 利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算(2) 利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化例例13. 求半徑為R 的均勻半球殼 的重心.解解: 設(shè) 的方程為yxDyxyxRz),( ,222利用對(duì)稱性可知重心的坐標(biāo),0 yx而 z 2223RRR用球面坐標(biāo)cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR例例14. 計(jì)算,d)(22SyxI其中 是球

21、面22yx 利用對(duì)稱性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 顯然球心為, ) 1 , 1 , 1 (半徑為3x利用重心公式SxdSd).(22zyxzzzd例例15. 計(jì)算,d222zyxSI其中 是介于平面之間的圓柱面.222Ryx分析分析: 若將曲面分為前后(或左右)zRSd2d則HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0Hxyz解解: 取曲面面積元素兩片, 則計(jì)算較繁. OyxzLO例例16. 求橢圓柱面19522yx位于 xOy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的側(cè)面積 S

22、. 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd例例17. 計(jì)算曲面積分其,d2)(22SzyzyxI中 是球面.22222zxzyx解解: Szxd)22(32SzyxId )(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用對(duì)稱性用重心公式y(tǒng)xz111例例18. 設(shè),1:22yxz是其外法線與 z 軸正向夾成的銳角, 計(jì)算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n221cosyxx例例19.

23、 計(jì)算曲面積分其中 解解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosOyxz2 原式 =)( x)(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋轉(zhuǎn)拋物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之間部分的下側(cè). )(2xz2211cosyx 原式 =)( x)(2xzyxzddOyxz2)( xxyxD22241)(yx 原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入將,)(2221yxzx3z1y例例20. 用Gauss 公式計(jì)算zyxzyyxyxdd)(dd)

24、(其中 為柱面122 yx閉域 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè). 解解: 這里利用Gauss 公式, 得原式 =zyxzyddd)(29,)(xzyP, 0QyxR及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間思考思考: 若 改為內(nèi)側(cè), 結(jié)果有何變化? zyxddd)230(利用質(zhì)心公式, 注意23, 0zyOhzyxO例例21. 利用Gauss 公式計(jì)算積分SzyxId)coscoscos(222其中 為錐面222zyx解解: 作輔助面,:1hz ,:),(222hyxDyxyx取上側(cè)1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于z = 0及 z = h 之間部分的下側(cè), , , 為法向量的方向角.1,記所圍區(qū)域?yàn)?,則 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2h1yxz2yxz2OzyxzyxIddd)(2利用質(zhì)心公式, 注意0 yxzyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4h思考思考: 計(jì)算曲面積分提示提示: 作取上側(cè)的輔助面,dddd)(2yxzzyxz)(:2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2之間部分的下側(cè). , 2:1z4:),(22yxDyxyx2hzyxOh1先二后一rncosrn