第3章微積分學(xué)

1、精品文檔第3章Matlab在微積分學(xué)中的應(yīng)用在這一章里，我們將利用MATLAB解決高等數(shù)學(xué)中的許多計算問題。我們還將學(xué)會建立一般的函數(shù)在一定程度上解決理論上的計算問題。3.1極限數(shù)學(xué)中的極限問題類型大概有:數(shù)列的極限：limann左極限：limf(x)極限1元函數(shù)白限：鰻0f(叫右極限：xmf(x)x-xt二元(多元)函數(shù)的極限：limf(x,y)xX3、iy。數(shù)學(xué)形式的例子：,116n2 - n 1lim -32;n，二 n n 2，2+51+數(shù)列的極限有：lim-,lim,lim22-nn，二annj二二11ne1-44n元函數(shù)的極限有:.1x-2.(1mx)n-(1nx)m/lim,li

2、m-(n,mN),n)3'x-3x*xx2x(1x2x)n-(.1x2-x)nlim,limxj二x2J0x二元函數(shù)的極限有:limx_0x2 y2lxl + |ylimx 1y 0ln(x ey)22_(x y)x y )e精品文檔以上是數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的不同形式的極限。但求極限的命令在MATLAB中是相同的，者B由命令limit來完成。其常用形式有:limit(F,x,a)計算 lim F (x)xalimit(F,a)符號表達(dá)式F中由命令Rndsym(F)返回獨立的變量v,計算limF(v)v-.alimit(F)符號確定同上，設(shè)為v,計算limF(v)limit(F,x,a,'

3、;right')計算limF(x)x-a.limit(F,x,a,'left')計算limF(x)x：a一注意：求一極限的基本步驟為：1 .把數(shù)學(xué)形式的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為Matlab的表達(dá)式。當(dāng)然表達(dá)式由多個符號組成，并且符號都不是代表某一具體的數(shù)值，其值是一個變動的量，即所謂的符號變量。為此，我們要建立一些必要的符號對象，如：符號變量，符號表達(dá)式等。2 .使用求極限的命令limit來對符號表達(dá)式進(jìn)行計算，其中要指明是對哪一個符號變量做極限運(yùn)算；若不指定，則符號變量由命令findsym(F)來指定。3 .要指定符號變量的“極限點”以及趨于“極限點”的方向；若不指定“極限點”的

4、值，則缺省地認(rèn)為是0點。4 .總之一點，極限作的都是符號運(yùn)算！C24例3-1求lim3-2,limn-,n3n22xw(1mx)n(1-nx)m2X,1x-2(n,mN),limTx-3解：>>symsnmxf=(6*nA2-n+1)/(nA3-nA2+2)g=(1+m*x)An-(1+n*x)Am)/xA2h=(sqrt(1+x)-2)/(x-3)>>lim_f=limit(f,n,inf)>>lim_g=limit(g,x,0)>>lim_h=limit(h,x,3,'right')運(yùn)算結(jié)果是：lim_f=0lim_g=-1/

5、2*mA2*n+1/2*nA2*mlim_h=1/4%或lim_g=limit(g)例3-2求lim華上立x122yQ,xy由于求二重極限在數(shù)學(xué)上沒有方法可循，因此在Matlab中還沒有一個統(tǒng)一的命令能求一個一般的二重極限，只能求在理論上已經(jīng)證明與路徑無關(guān)的函數(shù)，即把二重極限化成二次極限來計算：limx1yQln(xey)x2-y2ln(xey)=lim(limy0x1x2,y2解：>>symsxy>>f_xy='log(x+exp(y)/sqrt(xA2+yA2)'>>lim_f_xy=limit(limit(f_xy,x,1),y,0)運(yùn)

6、行的結(jié)果是：lim_f_xy=log(2)3.2微積分高等數(shù)學(xué)中的微積分是大學(xué)數(shù)學(xué)中的重要部分，內(nèi)容龐雜，應(yīng)用廣泛，歸納起來有：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的積分，泰勒展式，-函數(shù)，歐拉函數(shù)等。下面先講函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3.2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)類型大概有：導(dǎo)數(shù)元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)：f'(x)一階偏導(dǎo)數(shù):(n)(n)/f(x)刃f(x).：f；f多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4高階偏導(dǎo)數(shù),jx；y.n二f二Fnf混合偏導(dǎo)數(shù):jxn?f.:x；:ynJ:x二xff筆=()=()等二x二y二y二x復(fù)合函數(shù)(參數(shù)函數(shù))的導(dǎo)數(shù)：y=f(u),u=g(x)，則曳=電.四dxdudx例如:隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：F(x, y,z)二0

7、,求家,fy元函數(shù)的導(dǎo)數(shù):y=e x sinx-7cosx+5x 2dydx二？七 , . 2dxx cosx r 2,y=-7x ,y =x 7?,ddxx=0 -二元函數(shù)的導(dǎo)數(shù):z=arctanY,求豆，|x=2=x：:x：:yy=0復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù):z=ln(Vx+4y),證明：xfzfz1y二fx：:yy=f(x)=a+bx+cx=?，求業(yè)=?x'tdt1.、df(x)=-，求ff(x)=?1-xdx-2yzzzarctg=ln(x+y+z),求一=?,=x：:x：:x：:y-2:zcz:zF(x,x+y,x+y+z)=0,求H7T7T二x二y二x二y等。數(shù)學(xué)上雖然

8、有導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)之分，但它們在Matlab中有統(tǒng)一的命令diff。其常使用形式為：、df7開diff(f,v)計算一或dv二vdnf.nrfdiff(f,v,n)計算或_ndv-vdiff(f)用命令findsym找出表達(dá)式dff或dvvf中的獨立變量，設(shè)為v,即v=findsym(F),計算df,、：fdiff(f,n)獨立變重確te同上，設(shè)為v,計算n-或ndv；:vxcosx2dyd3y例3-3已知y=-7x,計算和一x-1dxdx解：>>x=sym('x')>>y=(sqrt(x)+cos(x)/(x-1)-7*xA2;>>Dy=dif

9、f(y)>>D3y=diff(y,3)運(yùn)行結(jié)果為：Dy=(1/2/xA(1/2)-sin(x)/(x-1)-(xA(1/2)+cos(x)/(x-1)A2-14*xD3y=(3/8/xA(5/2)+sin(x)/(x-1)-3*(-1/4/xA(3/2)-cos(x)/(x-1)A2+6*(1/2/xA(1/2)-sin(x)/(x-1)A3-6*(xA(1/2)+cos(x)/(x-1)A4例3-4已知z=ln(Jx+Jy),證明：x+y=loexcy2解：>>x=sym('x');y=sym('y');z=log(sqrt(x)+sq

10、rt(y);result=x*diff(z,x)+y*diff(z,y);simple(result)計算的結(jié)果為：result=1/2例3-5已知y=ln(x3),x=t2sin(t),求,9ydtdt2解：在復(fù)合函數(shù)的計算中，一定要注意變量賦值的先后順序>>symstx>>x=tA2*sin(t);>>y=log(xA3);>>dydt=diff(y,t)>>d2yd2t=diff(dydt,t)/diff(x,t)計算結(jié)果為：dydt=(6*tA5*sin(t)A3+3*tA6*sin(t)A2*cos(t)/tA6/sin(t

11、)A3d2yd2t=(30*tA4*sin(t)A3+36*tA5*sin(t)A2*cos(t)+6*tA6*sin(t)*cos(t)A2-3*tA6*sin(t)A3)/tA6/sin(t)A3-6*(6*tA5*sin(t)A3+3*tA6*sin(t)A2*cos(t)/tA7/sin(t)A3-3*(6*tA5*sin(t)A3+3*tA6*sin(t)A2*cos(t)/tA6/sin(t)A4*cos(t)/(2*t*sin(t)+tA2*cos(t)例3-6已知-2vzzz一arctg=ln(x+y+z),求丁=?，=?xtx；x.y解：設(shè)方程F(x,y,z)=0確定了函數(shù)z

12、=z(x,y),則它=-2，再用類似的計算方法,；:xFz二2z可以計算一。.:x_:y>>symsxyz>>F=atan(y+z)/x)-log(x+y+z)>>dFdx=diff(F,x)>>dFdz=diff(F,z)>>dZdx=-dFdx/dFdz>>dZdxdy=diff(dZdx,y)>>dZdxdz=diff(dZdx,z)>>d2Zdxdy=-dZdxdy/dZdxdz計算結(jié)果為：dFdx=-(y+z)/xA2/(1+(y+z)A2/xA2)-1/(x+y+z)dFdz=1/x/(

13、1+(y+z)A2/xA2)-1/(x+y+z)dZdx=(y+z)/xA2/(1+(y+z)A2/xA2)+1/(x+y+z)/(1/x/(1+(y+z)A2/xA2)-1/(x+y+z)dZdxdy=(1/xA2/(1+(y+z)A2/xA2)-2*(y+z)A2/xA4/(1+(y+z)A2/xA2)A2-1/(x+y+z)A2)/(1/x/(1+(y+z)A2/xA2)-1/(x+y+z)-(y+z)/xA2/(1+(y+z)A2/xA2)+1/(x+y+z)/(1/x/(1+(y+z)A2/xA2)-1/(x+y+z)A2*(-2/xA3/(1+(y+z)A2/xA2)A2*(y+z

14、)+1/(x+y+z)A2)dZdxdz=(1/xA2/(1+(y+z)A2/xA2)-2*(y+z)A2/xA4/(1+(y+z)A2/xA2)A2-1/(x+y+z)A2)/(1/x/(1+(y+z)A2/xA2)-1/(x+y+z)-(y+z)/xA2/(1+(y+z)A2/xA2)+1/(x+y+z)/(1/x/(1+(y+z)A2/xA2)-1/(x+y+z)A2*(-2/xA3/(1+(y+z)A2/xA2)A2*(y+z)+1/(x+y+z)A2)d2Zdxdy=(-(1/xA2/(1+(y+z)A2/xA2)-2*(y+z)A2/xA4/(1+(y+z)A2/xA2)A2-1/

15、(x+y+z)A2)/(1/x/(1+(y+z)A2/xA2)-1/(x+y+z)+(y+z)/xA2/(1+(y+z)A2/xA2)+1/(x+y+z)/(1/x/(1+(y+z)A2/xA2)-1/(x+y+z)A2*(-2/xA3/(1+(y+z)A2/xA2)A2*(y+z)+1/(x+y+z)A2)/(1/xA2/(1+(y+z)A2/xA2)-2*(y+z)A2/xA4/(1+(y+z)A2/xA2)A2-1/(x+y+z)A2)/(1/x/(1+(y+z)A2/xA2)-1/(x+y+z)-(y+z)/xA2/(1+(y+z)A2/xA2)+1/(x+y+z)/(1/x/(1+(

16、y+z)A2/xA2)-1/(x+y+z)A2*(-2/xA3/(1+(y+z)A2/xA2)A2*(y+z)+1/(x+y+z)A2)3.2.2一重積分3.2.2.1 不定積分不定積分是高等數(shù)學(xué)中的基本運(yùn)算。數(shù)學(xué)中的許多不定積分的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，因此在Matlab中，有些函數(shù)的原函數(shù)是求不出來的。Matlab提供了幾個用于求函數(shù)不定積分的命令，如：int,intwave,fnint(用于專門函數(shù)的積分)。其中函數(shù)int是最常用的，功能強(qiáng)大的積分函數(shù)。下面我們介紹函數(shù)int的使用格式：F=int(f)F=int(f,var)參數(shù)說明：> f:被積函數(shù)；> var：積分變

17、元；若沒有指定，則對變量v=findsym(f)積分;> F:函數(shù)f的原函數(shù)。F中沒有常數(shù)Co例3-7計算F1=jexy*dx,F2=fexy4zdz解：symsxyz> >f=exp(x*y+z);> >F1=intF1=1/y*exp(x*y+z)> >F2=int(f,z)F2=exp(x*y+z)3.2.2.2 定積分及廣義積分?jǐn)?shù)學(xué)中的定積分有時和不定積分使用的方法不同。我們這里所講的廣義積分其積分區(qū)間端點中至少有一個為無窮，而函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。在Matlab中，只需在命令int中加入積分上下限即可。即F=int(f,a,b)F=int(

18、f,var,a,b)參數(shù)說明： f:被積函數(shù)； a,b：積分上下限；a,b可為無窮大國(若為負(fù)無窮大，則為：一8) F：函數(shù)的積分值。有時為無窮大。定積分的計算，也可調(diào)用函數(shù)quad()或quad8(),其格式為：y,n=quad(f',a,b,tol)y,n=quad8(f',a,b,tol)參數(shù)說明： f:自定義的被積函數(shù)； a,b：積分上下限； n：計算過程中調(diào)用被積函數(shù)f的次數(shù)；tol:精度要求，quad()的默認(rèn)值為：tol=1e-3,quad8()的默認(rèn)值為：tol=1e-6; quad()函數(shù)采用的是Simpson方法計算定積分的近似值； quad8()函數(shù)采用的

19、是NewtonCotes方法計算定積分的近似值，其精度比前者更高。例3-8計算F1 =1-2x 2x 3dxF2 =二 1二x2 2x 3dx解：f=1/(xA2+2*x+3);>>F1=int(f,2,pi)F1=1/2*atan(1/2*2A(1/2)*(pi+1)*2A(1/2)-1/2*atan(3/2*2A(1/2)*2A(1/2)>>F2=int(f,-inf,inf)F2=1/2*pi*2A(i/2)例3-9計算3.X2/2&edx解：先定義函數(shù)，文件名：f.mfunctiony=f(x)y=1/sqrt(2*pi)*exp(-x.A2/2);彳呆

20、存后，在命令窗口鍵入formatlong>>y,n=quad(,f,-3,3)則顯示結(jié)果為：y=0.99729991863154n=57（表示被積函數(shù)f的調(diào)用次數(shù)）3.2.3多重積分3.2.3.1 二重積分一種方法：由于積分區(qū)域的多樣性和復(fù)雜性，通過人為地結(jié)合積分區(qū)域的圖形，把二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分，用int命令進(jìn)行計算；另一種方法：利用Matlab提供的函數(shù)dblquad和quad2dggen計算，其調(diào)用格式如下：二重數(shù)值積分（在矩形區(qū)域上），使用dblquad函數(shù)，格式為：y=dblquad（f'，x_m,x_M,y_m,y_M,tol）一般二重積分（在數(shù)值積分工具箱（

21、NIT,即NumericalIntegrationToolbox）中提供了quad2dggen函數(shù)，該函數(shù)可從網(wǎng)上下載，網(wǎng)址：fttp:/I=quad2dggen（被積函數(shù)名，下限函數(shù)名，上限函數(shù)名，y_m,y_M,tol）例3-10計算1一、I（2-x-y）dxdyd2其中D為直線y=x和拋物線y=x2所圍部分。解：由數(shù)學(xué)方法可得：I1 _、，-(2 - x - y)dy 21b2(x)=二(2-x-y)dxdy=dx,.a1(x)D2%先對y積分(1)畫出積分區(qū)域示意圖>>symsxy> >f=(2-x-y)/2;> >y1=x;> >y2=

22、xA2;> >ezplot(y1);holdon> >ezplot(y2);>>axis(0,2,0,2)(2)確定積分限a=fzero('x-xA2',0)a=0>>b=fzero('x-xA2',1)b=1這是第2次積分的上下限。(3)積分運(yùn)算f_dy=int(f,y,xA2,x)f_dy=x-5/4*xA2-1/2*x*(x-xA2)+1/4*xA4>>I=int(f_dy,a,b)%再對x積分11/120例3-11試求下面的二次積分12x2/22I=.”一sin(xy)dxdy解：先定義函數(shù)，函

23、數(shù)名為：my2dfun.mfunctionz=my2dfun(x,y)globalkk;kk=kk+1;%定義全局變量，測定被積函數(shù)調(diào)用次數(shù)z=exp(-x.A2/2).*sin(x.A2+y);保存后在命令窗口夜行下列命令：clear>>globalkk;kk=0;>>y=dblquad('my2dfun',-2,2,-1,1),kky=1.57449318974494kk=1038(表示被積函數(shù)調(diào)用次數(shù))3.2.3.2三重積分三重積分的過程與二重積分過程相同，也是把三重積分轉(zhuǎn)化成三次積分來計算，只不過在確定積分限時更繁瑣而已。在確定積分限時一般要結(jié)合

24、三維的積分區(qū)域，所以一般先畫出積分區(qū)域。例3-12計算I=xdxdydzV其中區(qū)域V為三個坐標(biāo)面及平面：x+2y+z=1所圍成的閉區(qū)域。解:由數(shù)學(xué)方法可得：b-2(x)2(x，y)1 =.xdxdydz=.adx.1(x)dy.1(x，y)XdzV(1)畫出積分區(qū)域示意圖。由于圖形比較簡單，所以我們沒有畫出。(并且Matlab沒有畫三維符號函數(shù)的命令)symsxyzf=x;(2)確定積分限。a=0;b=1;phi1=0;phi2=(1-x)/2;psi1=0;psi2=1-x-2*y;(3)積分計算。f_dz=int(f，z，psi1，psi2)f_dzdy=int(f_dz，y，phi1，p

25、hi2)I=int(f_dzdy，x，a，b)計算嘉果為：f_dz=x*(1-x-2*y)f_dzdy=-x*(1/2-1/2*x)A2+x*(1-x)*(1/2-1/2*x)I=1/483.2.4 Taylor展式數(shù)學(xué)定理表明：若f(x)在x=0點附近有直到n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么:f(0)2.f(n)(0)nf(x)=f(0)f(0)x-xxRn(x)2!n!其中:Rn(X)=jx-,(0，X)(n 1)!實際上是要將函數(shù)f(x)表示成Xn(n從0到無窮)的和的形式。這完全可以用Matlab提供的命令taylor來完成展開工作。其常用的使用形式為： taylor(f) taylor(f,n)

26、 taylor(f,v) taylor(f,n,a)參數(shù)說明：f:待展開的函數(shù)表達(dá)式，可以不用單引號生成；n：把函數(shù)展開到n階，若不包含n,則缺省地展開到6階；v:對函數(shù)f中的變量v展開，若不包含v,則對變量v=findsym(f)展開;a：Taylor展式的擴(kuò)充功能，對函數(shù)f在x=a點展開。例3-13計算(1)把y=ex展開到6階;(2)把y=lnx在x=1點展開到6階；(3)把y=sinx在x=兀/2點展開到6階；(4)把丫=xt關(guān)于變量t展開到3階。解：symsxty1=taylor(exp(-x)y2=taylor(log(x),6,1)y3=taylor(sin(x),pi/2,6)

27、y4=taylor(xAt,3,t)運(yùn)行結(jié)果為：y1=1-x+1/2*xA2-1/6*xA3+1/24*xA4-1/120*xA5y2=x-1-1/2*(x-1)A2+1/3*(x-1)A3-1/4*(x-1)A4+1/5*(x-1)A5y3=1-1/2*(x-1/2*pi)A2+1/24*(x-1/2*pi)A4y4=1+log(x)*t+1/2*log(x)A2*tA23.2.5 Fourier級數(shù)數(shù)學(xué)定理表明：設(shè)函數(shù)f(x)已經(jīng)展開為全區(qū)間上的一致收斂的三角級數(shù)：一、a。f(x)=(akcoskxbksinkx)2km1二一其中：a。=一f(x)dx冗-jl1ak=f(x)coskxdx

28、,k=1,2,1二，bk二一.f(x)sinkxdx,k=1,2,ji-兀雖然Matlab中還沒有提供一個專門的命令用于求解Fourier級數(shù)，但根據(jù)上面的數(shù)學(xué)公式，也可以編寫一個函數(shù)文件sfour.m,用于求函數(shù)f在區(qū)間-兀，叼上白FFourier級數(shù)的系數(shù)：functiona0,ak,bk=sfour(f)symsxna0=int(f,-pi,pi)/pian=int(f*cos(n*x),-pi,pi)/pi;an=simple(an)bn=int(f*sin(n*x),-pi,pi)/pi;Fourier級數(shù)的系數(shù)。bn=simple(bn)有了上面的函數(shù)，我們可以求得一些函數(shù)的例3-

29、14求函數(shù)y=x的Fourier級數(shù)的系數(shù)解：調(diào)用上面定義的函數(shù)sfour來計算：>>symsx>>f=x;>>a0,ak,bk=sfoura0=0an=0bn=2/nA2/pi*sin(pi*n)-2/n*cos(pi*n)注：在Matlab中，門簡命令不能他sin(n*pi)和cos(n*pi)轉(zhuǎn)化為(-1Fn。所以bn的結(jié)果3.2.6梯度設(shè)u=u(x,y,z)是一數(shù)量函數(shù)，點p(xp,yp,zp)是等高面u=u(x,y,z)=C上的任一點，則稱向量p,p,史1p為函數(shù)u=u(x,y,z)在p點的梯度。cyzz.1 .近似梯度函數(shù)gradiento使用形

30、式：(1) FX,FY=gradient(F)(2) FX,FY=gradient(F,H)(3) FX,FY=gradient(F,HX,HY)(4) FX,FY,FZ=gradient(F)(5) FX,FY,FZ=gradient(F,HX,HY,HZ)(6) FX,FY,FZ,=gradient(F,)參數(shù)說明：(1) F:待求梯度的數(shù)值矩陣。F可以為向量、二維矩陣、三維矩陣；(2) FX,FY,FZ:矩陣F在x、y、z方向上的數(shù)值梯度；(3) H:H為一標(biāo)量，作為各個方向上各點之間的步長；(4) HX,HY,HZ:矩陣F在x、y、z方向上的具體步長。HX,HY,HZ可為標(biāo)量或與矩陣F

31、各個方向上同維的向量。22例3-15計算函數(shù)z=xe。'數(shù)值梯度，且以圖形顯示。解：%由兩個向量生成的矩陣%等高線圖%向量圖x,y=meshgrid(-2:22,-2:.2:2);>>z=x.*exp(-x.A2-y.A2);>>px,py=gradient(z,0.2,0.2);> >contour(z)> >holdon> >quiver(px,py)運(yùn)行結(jié)果為：20181614121006422468101214161020數(shù)值梯度圖2.函數(shù)梯度和方向?qū)?shù)jacobian。使用形式：jacobian(f,v)參數(shù)說明：f

32、:函數(shù)向量或標(biāo)量，當(dāng)f為標(biāo)量時，jacobian(f,v)=gradient(f);v:自變量向量或者單個變量。例3-16求：(1)u=xyz在點播M(1,1,1)處的梯度；(2)u=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z在點O(0,0,0)及A(1,2,3)處的梯度大小。symsxyz> >u1=x*y*z;> >u2=xA2+2*yA2+3*zA2+x*y+3*x-2*y-6*z;> >v=x,y,z;> >J1=jacobian(u1,v);> >J2=jacobian(u2,v);J1_M=subs(subs(subs(

33、J1,x,1),y,1),z,1)%subs(x,1)用1替換x,計算其值J1_M=111>>J2_O=subs(subs(subs(J2,x,0),y,0),z,0)J2_O=3-2-6>>J2_A=subs(subs(subs(J2,x,1),y,2),z,3)J2_A=77123.3最小二乘法在生產(chǎn)實踐中，常常需要根據(jù)實際測量得到的一系列數(shù)據(jù)找出函數(shù)關(guān)系，通常叫做配曲線或找經(jīng)驗公式。本節(jié)我們介紹一種找直線的方法，它是廣泛使用的一種處理數(shù)據(jù)的方法。例3-17在某實驗中測得數(shù)據(jù)如下：X104180190177147134150191204121Y10020021018

34、5155135170205235125和y大概滿足的函數(shù)關(guān)系。先把由此要推出x和y的函數(shù)關(guān)系：y=f(x)。解：先把這些數(shù)據(jù)點描繪出來，如圖所示，觀察和y進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使自變量x的值從小到大排列。>>x=104180190177147134150191204121;>>y=100200210185155135170205235125;>> x,i=sort(x) x =104121i =110>> y=y(i)y =10012513461351471501771805742155170185200190191204389210205235>

35、;> plot(x,y,'r*')>> hold on2402202001801601401201001001201401601B0200220這些數(shù)據(jù)點大致分布在一條直線上，即 過程得：x和y有線性函數(shù)關(guān)系:y = ax+b ,由數(shù)學(xué)推斷nx xiyi -C xi )yi) i 1i 1 i 1a =nnn、x2xi)2i Wi 1nnnnyi)xi2) (C xi)(xxiyi)i m i Ti T i Tnnnx'L xi)2iWi 1i為元素在原向量中的位置。190191204389其中n為x和y的長度。用Matlab計算為：x=1041801

36、90177147134150191204121;>>y=100200210185155135170205235125;>>x,i=sort(x)%以升序排序,x=104121134147150177180i=11065742>>y=y(i)100125135155170185200210205235>>plot(x,y,'r*')> >holdon> >n=length(x);> >a_den=n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y);> >b_den=sum(y).*su

37、m(x.A2)-sum(x).*sum(x.*y);> >ab_num=n*sum(x.A2)-(sum(x)A2;> >a=a_den/ab_numa=1.2673> >b=b_den/ab_numb=-30.5143> >x=100:0.5:220;> >y=a*x+bpiot(x,y)運(yùn)算結(jié)果為：最小二乘法結(jié)果3.4微積分的應(yīng)用例3-18求通過點(1,1)的曲線方程，使其在區(qū)間1,x上對應(yīng)的曲邊梯形面積等于該曲線上點M(x,y)的兩個坐標(biāo)之積的兩倍(x>0,y>0)。解：設(shè)曲線為y=y(x),按所給條件，可得x1y(

38、t)dt=2xy(x)對上式兩邊求導(dǎo)，得微分方程y=2(y-xy'),或y'=y/(2x),且y=1。對此,可用dsolve函數(shù)求解。symsxyy=dsolve('Dy+y/(2*x)=0','y(1)=1','x')計算結(jié)果為：y=1僅人(1/2)或symsty>>y=dsoke('Dy+y/(2*t)=0','y=1')計算結(jié)果為：y=1/tA(1/2)3.5方程(組)的求解數(shù)學(xué)計算中有很大一部分是求解方程(組)，有些方程(組)可以得到精確的解析解，而有些卻很難做到，只能求得滿足一

39、定精度的數(shù)值解。對于線性方程組的解，我們在后面章節(jié)中討論。這一節(jié)主要是討論一般的代數(shù)方程(組)的解。在Matlab中解方程組的命令有l(wèi)insolve和solve,其中命令linsolve專門用于求解線性方程組，而命令soke可適用于所有的代數(shù)方程(組)。其常用形式有：1. x=linsolve(A,B)ss=solve(s)ss=solve(s,v)參數(shù)說明： s：包含方程(一個)等式的字符串(可以是函數(shù)名，或者是描述方程的字符串)； v:方程s中的一個變量； ss：若是第一種情形，對s中默認(rèn)的變量求解，結(jié)果賦給ss;若是第二種情形，對s中指定的變量v求解，結(jié)果賦給ss x：x是矩陣方程Ax=

40、B的解x=sym(A)sym(B)=A-1*B。例3-19求解：(1) Ax=B,其中A=F5,B=f4-6;U3J<21J(2) psin(2x+t)=q,其中t為未知參數(shù)。解：A=25;13;B=4-6;21;>>x=linsolve(A,B)x=2,-230，8>>solve('p*sin(2*x+t)=q','t')ans=-2*x+asin(q/p)2.ss=solve(s1,s2,，sn)ss=solve(s1,s2,，sn,v1,v2,，vm)x1,x2,，xn=solve(s1,s2,，sn)x1,x2,，xn=so

41、lve(s1,s2,，sn,v1,v2,，vm)參數(shù)說明： s1,s2,，sn：包含方程組(n個)等式的字符串(可以是函數(shù)名或者是描述方程組的字符串表達(dá)式) x1,x2,，xn：若是第一種情形，對n個方程s1,s2,，sn中默認(rèn)的變量求解；若是第二種情形，對n個方程s1,s2,，sn中指定的變量求解；結(jié)果分別賦給向量x1,x2,，xn中的分量； v1,v2,，vm：方程組s1,s2,，sn中的m個變量; ss：在第一種情形中，對n個方程s1,s2,，sn中默認(rèn)的變量求解；若是第二種情形，對n個方程s1,s2,，sn中指定的變量求解；n與m不一定相等，即可能是超定方程組或是不定方程組，結(jié)果賦給出

42、ss,ss為一個解向量。例3-20求下列方程組的解222 cax + y = 0x y =122.c(1)，十xy+y=3x2-4x3=0'xy2+z2=0y-z=1|2x5x6=0i解：x1,y1=solve('xA2+x*y+y=3','xA2-4*x+3=0')x2,y2=solve('a*xA2+yA2=0','x-y=1')x3,y3,z3=soke('x*yA2+zA2=0','y-z=1','xA2-5*x+6=0')x,y=solve('sin(x+y

43、)-exp(x)*y=0','xA2-y=2')計算結(jié)果為：x1=13y1=1-3/2x2=1/2/(a+1)*(-2*a+2*(-a)A(1/2)+11/2/(a+1)*(-2*a-2*(-a)A(1/2)+1y2=1/2/(a+1)*(-2*a+2*(-a)A(1/2)1/2/(a+1)*(-2*a-2*(-a)A(1/2)x3=2234y3=1/3+1/3*i*2A(1/2)1/3-1/3*i*2A(1/2)1/4+1/4*i*3A(1/2)1/4-1/4*i*3A(1/2)z3=-2/3+1/3*i*2A(1/2)-2/3-1/3*i*2A(1/2)-3/4+1/4*i*3A(1/2)-3/4-1/4*i*3A(1/2)x=-6.0173272500593065641097297117905y=34.208227234306296508646214438330xsin(x y) e y x2 - y = 2由于第四個方程組沒有精確的解析解，所以給出的是數(shù)值形式的解。3.6函數(shù)極值在高等數(shù)學(xué)中，求函數(shù)的極值(最值)是函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之一。不過高等數(shù)學(xué)中的求值過程比較麻煩，而在Matlab中卻顯得輕松自如。因為Matlab有兩個功能強(qiáng)大的求值函數(shù)fminbnd、fm