簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用

1、簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用張園和教學(xué)目標(biāo)：1.會(huì)用線性規(guī)劃的理論和方法解決一些較簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；2.培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、聯(lián)想、以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生自主探究意識(shí)，提高學(xué)生“建?！焙徒鉀Q實(shí)際問(wèn)題的能力；教學(xué)重、難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問(wèn)題，即建模，并給出解答.教學(xué)難點(diǎn)：1.建立數(shù)學(xué)模型.把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題：2.尋找整點(diǎn)最優(yōu)解的方法.教學(xué)方法：講練結(jié)合、分組討論法教學(xué)過(guò)程：（一）講解新課例1、醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配營(yíng)養(yǎng)餐，中種原料每10g含5單位蛋白質(zhì)和10單位鐵質(zhì)，售價(jià)3元；乙種原料每10g含7單位蛋白質(zhì)和4

2、單位鐵質(zhì)，售價(jià)2元。若病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)，試問(wèn)：應(yīng)如何使用甲、乙原料，才能既滿足營(yíng)養(yǎng)又使費(fèi)用最??？解析：蛋白質(zhì)（單位/10g）鐵質(zhì)（單位0g）售價(jià)（元/10g）甲5103乙7421 / 7簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用I1K設(shè)中、乙兩種原料分別用10xg和10yg,需要的費(fèi)用為z=3x+2y,病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)，可表示為5x+7），之35。同理，對(duì)鐵質(zhì)的要求可表示為10x+4yN40。5x+ly>35問(wèn)題成為：在約束條件10x+4）后40下，求目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最小值。x>0,y>0作出可行域，令z=o,作直線/°：3x+2y=0。由

3、圖可知，把直線/。平移至頂點(diǎn)4時(shí).，z取最小值。5%+7y=35141472=4,3),z=3x+2x3=兀。10x+4y=405552 / 7簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用所以用甲種原料歹xlO=28g,乙種原料3xlO=3Og,費(fèi)用最省。小結(jié)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題的求解步驟：(教師示意學(xué)生觀看板書，并給予適當(dāng)?shù)奶崾?1.將已知數(shù)據(jù)列成表格的形式(這一步可以省略)，設(shè)出變量x,y和z；2 .找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)3 .作出可行域，并結(jié)合圖象求出最優(yōu)解;4 .按題意作答.例2、某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本為27元/kg,售價(jià)為50元/口，生產(chǎn)中，每千克產(chǎn)品產(chǎn)生Obr的污水，污水有兩種排放方式：方式一：直接排入

4、河流方式二：經(jīng)廠內(nèi)污水處理站處理后排入河流，但受污水處理站技術(shù)水平的限制，污水處理率只有85%,污水處理站最大處理能力是處理污水的成本是5元/另外，環(huán)保部門對(duì)排入河流的污水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是17.6元/戶，且允許該廠排入河流中污水的最大量是0.225/?，那么，該廠應(yīng)選擇怎樣的生產(chǎn)與排污方案，可使其每?jī)羰找孀畲螅糠治觯簽榱私鉀Q問(wèn)題，首先要搞清楚是什么因素決定收益凈收益二售出產(chǎn)品的收入一生產(chǎn)費(fèi)用其中生產(chǎn)費(fèi)用包括生產(chǎn)成本、污水處理、排污費(fèi)等設(shè)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)量為以直接排入河流的污水為沖/?，每小時(shí)凈收益為Z元，則:(1)售出產(chǎn)品的收入為50x元/力(2)產(chǎn)品成本為27x元/?(3)污水產(chǎn)生量為0.3m/?,污

5、水處理量為(0&-,污水處理費(fèi)為5(0.3x-)，)元Jh(4)污水未處理率為1-85%=0.15,所以污水處理廠處理后的污水排放量為0.15(0.3x-y)m3/A,環(huán)保部門要征收的排污費(fèi)為17.60.15(0.3x)，)+刃元/55 5)z=50x-27x-5(0.3xy)-17.6(0.15(0.3x-y)+y=20.708%-9.96y需要考慮的約束條件是：(1)污水處理能力是有限的，EP0<0.3x-y<0.9(2)允許排入河流的污水量也是有限的即y+(l-O.85)(O.3x-y)<0.2250.3x-y<0,9解析：根據(jù)題意，本問(wèn)題可歸納為：在約束

6、條件下，求目標(biāo)函數(shù)0.3x-y>0x>0,y>0AV2/7/：20.708x-9.96v-=02/1/9x+170.e簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用Z=20.708x-9.96y的最大值作出可行域。令Z=0,作直線/o:2O.7O8x-9.96y=O,由圖可知，平移直線/。，在可行域中的頂點(diǎn)A處,z取得最大值。iIk0.3x-y = 0.99x + 170y = 45=A(3.3,0,09)5 / 7故該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品3.3kg/?,直接排入河流的污水為0.09/時(shí)，可使每小時(shí)凈收益最大，最大值為20.708x3.3-9.96x0.9=67.44(元)答：該廠應(yīng)安排生產(chǎn)該產(chǎn)品3.3依?，直

7、接排入河流的污水為0.09/?時(shí)，其每小時(shí)凈收益最大。例3、濱江校區(qū)高一(17)班舉行元旦文藝晚會(huì)，布置會(huì)場(chǎng)要制作“中國(guó)結(jié)”，班長(zhǎng)購(gòu)買了中、乙兩種顏色不同的彩繩，把它們截成A、B、。三種規(guī)格.甲種彩繩每根8元，乙種彩繩每根6元，已知每根彩繩可同時(shí)截得三種規(guī)格彩繩的根數(shù)如下表所示：A規(guī)格8規(guī)格。規(guī)格甲種彩繩211乙種彩繩123今需要A、B、。三種規(guī)格的彩繩各15、18、27根，問(wèn)各截這兩種彩繩多少根，可得所需三種規(guī)格彩繩且花費(fèi)最少？在用圖解法求解的過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：直線/最先經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A(3.6,7.8)并不是最優(yōu)解，學(xué)生馬上想到最優(yōu)解可能是(4,8),引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算花費(fèi)，花費(fèi)為80元,有沒(méi)

8、有更優(yōu)的選擇？進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生興趣：可能是（3,9）嗎?此時(shí)花費(fèi)為78元,可能是（2,10）嗎？此時(shí)花費(fèi)為76元，可能是，如何尋找最優(yōu)解？滿足題意的點(diǎn)是可行域內(nèi)的整點(diǎn),首先要找整點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生采用打網(wǎng)格或利用坐標(biāo)紙的方法；根據(jù)線性規(guī)劃知識(shí),平移直線最先經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)坐標(biāo)是整數(shù)最優(yōu)解.由網(wǎng)格法可得：當(dāng)x=3,v=9時(shí)，z桁加=78.答：班長(zhǎng)應(yīng)購(gòu)買3根中種彩繩、9根乙種彩繩，可使花費(fèi)最少。小結(jié)：確定最優(yōu)整數(shù)解的方法：1.若可行域的“頂點(diǎn)處恰好為整點(diǎn)，那么它就是最優(yōu)解；（在包括邊界的情況下）2.若可行域的“頂點(diǎn)”不是整點(diǎn)或不包括邊界時(shí)，一般采用網(wǎng)格法，即先在可行域內(nèi)打網(wǎng)格、描整點(diǎn)、平移直線I、最先經(jīng)過(guò)或最后

9、經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)坐標(biāo)是整數(shù)最優(yōu)解；這種方法依賴作圖,所以作圖應(yīng)盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范.（二）課堂練習(xí)1 .已知甲、乙兩煤礦每年的產(chǎn)量分別為200萬(wàn)噸和300萬(wàn)噸，需經(jīng)過(guò)東車站和西車站兩個(gè)車站運(yùn)往外地.東車站每年最多能運(yùn)280萬(wàn)噸煤，西車站每年最多能運(yùn)360萬(wàn)噸煤，中煤礦運(yùn)往東車站和西車站的運(yùn)費(fèi)價(jià)格分別為1元/噸和1.5元/噸，乙煤礦運(yùn)往東車站和西車站的運(yùn)費(fèi)價(jià)格分別為0.8元/噸和1.6元/噸.煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運(yùn)方案，能使總運(yùn)費(fèi)最少？解析：設(shè)甲煤礦向東車站運(yùn)/萬(wàn)噸煤，乙煤礦向東車站運(yùn)y萬(wàn)噸煤，那么總運(yùn)費(fèi)z=x+1.5（200x）+0.8v+1.6（300y）（萬(wàn)元），即z=780-0.5x-0

10、.8y.ry應(yīng)滿足：t7200-x>0300-y >0x+y <280作出上面的不等式組所表求扁4x20-X-云3002007+(300y)«360y軸的交點(diǎn)為M,則M（0,280）,把直線/：0.5x+0.8產(chǎn)0向上平移至經(jīng)過(guò)平面區(qū)域上的點(diǎn)M時(shí)，z的值最小。點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,280）,工中煤礦生產(chǎn)的煤全部運(yùn)往西車站、乙煤礦向東車站運(yùn)280萬(wàn)噸向西車站運(yùn)20萬(wàn)噸時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最少。2.高一年級(jí)準(zhǔn)備組織學(xué)生分批去師大新校區(qū)參觀，每天至少要派送480名學(xué)生.學(xué)校與某旅游公司聯(lián)系客運(yùn)，該公司有7輛小巴、4輛大巴，其中小巴能載16人、大巴能載32人.已知每輛客車每天往返次數(shù)小巴

11、為5次、大巴為3次，每次運(yùn)輸成本小巴為48元,大巴為60元.請(qǐng)問(wèn)每天應(yīng)派出小巴、大巴各多少輛，能使總費(fèi)用最少？解析：設(shè)每天派出小巴X輛、大巴y輛，總運(yùn)費(fèi)為z元，則5x+6y>30由網(wǎng)格法可得：x=2,y=4時(shí)，Zjnin=200.答：派4輛小巴、2輛大色費(fèi)用最少.（三）回顧與小結(jié)1 .把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問(wèn)題即建立數(shù)學(xué)模型的方法.建模主要分清已知條件中，哪些屬于約束條件，哪些與目標(biāo)函數(shù)有關(guān)。求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的格式與步驟：（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域：（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解2 .求解整點(diǎn)最優(yōu)解的解

12、法：網(wǎng)格法.網(wǎng)格法主要依賴作圖，要規(guī)范地作出精確圖形.（四）布置作業(yè)1、尸血頁(yè)8組第2題B規(guī)格C規(guī)格2、要將甲、乙兩種長(zhǎng)短不同的鋼管截成A、夙。三種規(guī)格，每根鋼管可同時(shí)截得三種規(guī)格的短鋼管的根數(shù)如下表所示：v+j=18甲種鋼管乙種鋼管今需A、8、C三種規(guī)格的鋼管各13、16、18根，問(wèn)各截這兩種鋼管多少根可得所需三種規(guī)格鋼管,且使所用鋼管根數(shù)最少,|y解析：設(shè)需截甲種鋼管X根，乙種鋼管），根，則：2x+2y>13/：:;:x+3y>164x+y>18作出可行域（如圖）:x>0y>0x+3y=16X簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用目標(biāo)函數(shù)為z=x+y，作出一組平行直線x+y=r中（，為參數(shù)）經(jīng)