兩角和與差的正弦

1、兩角和與差的正弦學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能利用兩角和與差的余弦公式及誘導(dǎo)公式導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正弦公式(難點(diǎn))2.能利用公式解決簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題(重點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1兩角和與差的正弦公式(1)S：sin()sin_cos_cos_sin_.(2)S：sin()sin_cos_cos_sin_.2輔助角公式y(tǒng)asin xbcos xsin(x)(a，b不同時(shí)為0)，其中cos ，sin .思考：根據(jù)公式C(±)的識(shí)記規(guī)律，你能總結(jié)出公式S(±)的記憶規(guī)律嗎？提示對(duì)比公式C(±)的識(shí)記規(guī)律“余余正正，和差相反”可得公式S(±)的記

2、憶規(guī)律：“正余余正，和差相同”基礎(chǔ)自測(cè)1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩角和與差的正弦公式中的角，是任意的()(2)存在，R，使得sin()sin sin 成立()(3)對(duì)于任意，R，sin()sin sin 都不成立()(4)sin 54°cos 24°sin 36°sin 24°sin 30°.()解析(1).根據(jù)公式的推導(dǎo)過(guò)程可得(2).當(dāng)45°，0°時(shí)，sin()sin sin .(3)×.當(dāng)30°，30°時(shí)，sin()sin sin 成立(4).因?yàn)閟in 54&

3、#176;cos 24°sin 36°sin 24°sin 54°cos 24°cos 54°sin 24°sin(54°24°)sin 30°，故原式正確答案(1)(2)(3)×(4)2cos 17°sin 13°sin 17°cos 13°的值為()A.B.C. D以上都不對(duì)A原式sin(13°17°)sin 30°.3函數(shù)ysin xcos x的最小正周期是()A. BC2 D4Cysin xcos xsin，

4、函數(shù)的最小正周期為T(mén)2.4已知為銳角，sin ，是第四象限角，cos()，則sin()_.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79402116】解析為銳角，且sin ，cos .又為第四象限角，且cos()cos ，cos ，sin .sin()××0.答案0合 作 探 究·攻 重 難利用公式化簡(jiǎn)求值(1)()ABC. D.(2)求sin 157°cos 67°cos 23°sin 67°的值；(3)求sin(75°)cos(45°)cos(15°)的值思路探究(1)化簡(jiǎn)求值應(yīng)注意公式的逆用(2)(3)對(duì)于非特殊角的三角

5、函數(shù)式化簡(jiǎn)應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值解析(1)sin 30°.答案C(2)原式sin(180°23°)cos 67°cos 23°sin 67°sin 23°cos 67°cos 23°sin 67°sin(23°67°)sin 90°1.(3)sin(75°)cos(45°)cos(15°)sin(15°60°)cos(15°30°)cos(15°)sin(15°)cos 6

6、0°cos(15°)sin 60°cos(15°)·cos 30°sin(15°)sin 30°cos(15°)sin(15°)cos(15°)cos(15°)sin(15°)cos(15°)0.規(guī)律方法1對(duì)于非特殊角的三角函數(shù)式，要想利用兩角和與差的正弦、余弦公式求出具體數(shù)值，一般有以下三種途徑：(1)化為特殊角的三角函數(shù)值；(2)化為正負(fù)相消的項(xiàng)，消去，求值；(3)化為分子、分母形式，進(jìn)行約分再求值2在進(jìn)行求值過(guò)程的變換中，一定要本著先整體后局部的基本

7、原則，先整體分析三角函數(shù)式的特點(diǎn)，如果整體符合三角公式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變換跟蹤訓(xùn)練1化簡(jiǎn)下列各式：(1)sin2sincos；(2)2cos().【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79402117】解(1)原式sin xcos cos xsin 2sin xcos 2cos xsin cos cos xsin sin xsin xcos xsin xcos xcos xsin xsin xcos x0.(2)原式.給值(式)求值設(shè)，若cos ，sin ，求sin()的值思路探究應(yīng)用公式注意角的范圍求出所給角的正弦值解析因?yàn)?，cos ，所以sin ，因?yàn)椋瑂in ，所以cos .所以sin()sin co

8、s cos sin ××.母題探究：1.(變結(jié)論)若條件不變，試求sin()cos()的值解sin()cos()sin cos cos sin cos cos sin sin ××××1.2(變條件)若將角的條件改為第三象限，其他條件不變，則結(jié)果如何？解因?yàn)?，cos ，所以sin .因?yàn)闉榈谌笙?，所以cos .所以sin()sin cos cos sin ××0.規(guī)律方法(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)或多個(gè)時(shí)，“所求角”一般可以表示為其中兩個(gè)“已知角”的和或差的形式.(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與

9、“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，可根據(jù)題目合理選擇拆分方式.,提醒：解題時(shí)要重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的制約，從而恰當(dāng)、準(zhǔn)確地求出三角函數(shù)值.輔助角公式的應(yīng)用探究問(wèn)題1函數(shù)ysin xcos x(xZ)的最大值為2對(duì)嗎？為什么？提示不對(duì)因?yàn)閟in xcos xsin，所以函數(shù)的最大值為.2函數(shù)y3sin x4cos x的最大值等于多少？提示因?yàn)閥3sin x4cos x5，令cos ，sin ，則y5(sin xcos cos xsin )5sin(x)，所以函數(shù)y的最大值為5.3如何推導(dǎo)asin xbcos xsin(x)公式？提

10、示asin xbcos x，令cos ，sin ，則asin xbcos x(sin xcos cos xsin )sin(x)(其中角所在象限由a，b的符號(hào)確定，角的值由tan 確定，或由sin 和cos 共同確定)設(shè)函數(shù)f(x)sin xsin.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不畫(huà)圖，說(shuō)明函數(shù)yf(x)的圖象可由ysin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到思路探究輔助角公式轉(zhuǎn)化成“一角一函數(shù)”的形式將所給函數(shù)展開(kāi)與合并解(1)f(x)sin xsin xcos cos xsin sin xsin xcos xsin xcos xsin ，當(dāng)sin 1時(shí)，f(x)

11、min，此時(shí)x2k(kZ)，所以x2k(kZ)所以f(x)的最小值為，x的集合為.(2)將ysin x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得ysin x的圖象；然后將ysin x的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得f(x)sin的圖象. 母題探究：(變結(jié)論)例題中的條件不變，試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間？解由典例解析知函數(shù)可化為f(x)sin，當(dāng)2kx2k(kZ)，即2kx2k(kZ)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)2kx2k，即2kx2k(kZ)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(kZ)函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(kZ)當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1化簡(jiǎn)：sin 21&#

12、176;cos 81°cos 21°sin 81°等于()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79402118】A.BC. DD原式sin(21°81°)sin 60°.故選D.2若cos ，是第三象限的角，則sin()A B.C D.Acos ，為第三象限角，sin ，由兩角和的正弦公式得sin sin cos cos ·sin ××.3函數(shù)f(x)sin xcos的值域?yàn)?)A2,2 B.C1,1 D.Bf(x)sin xcossin xcos xsin xsin xcos xsin，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，故選B.4sin 155°cos 35°cos 25°cos 235°_.解析原式sin