FIR濾波器設(shè)計方案

1、FIR濾波器設(shè)計方案DesigneryaoguaiwsFIR 濾波器的基本結(jié)構(gòu)一 橫截型 (卷積型、直接型)<Direct-type>FIR 濾波器的差分方程表達(dá)式為：N1y nh m x nmm 0很明顯， 這就是線形時不變系統(tǒng)的卷積和公式，也就是 xn 的延時級聯(lián)的橫向結(jié)構(gòu)，如下圖所示：由于線形相位FIR 濾波器的系數(shù)是鏡像對稱的，所以 N 階濾波器系數(shù)只需要 N 個2儲存單元即可。 而輸入 xn 的值需要N 個儲存單元， 這樣總共就需要 N N3 N 個22儲存單元。二 級聯(lián)型 <Cascade-type>將 H(z) 分解成實系數(shù)二階因子的乘積形式：N1N2H

2、( z)h(n) z n( 0k1k z 12 k z 2 )n0k 1圖中畫出了一個FIR 濾波器的級聯(lián)結(jié)構(gòu)， 其中每一個二階因子用一個橫截型來表示：這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對零點，因而在需要控制傳輸零點時可以采用它。但是這種結(jié)構(gòu)所需要的系數(shù)ik (i0,1,2; k 1,2, , N 2) 比卷積型的系數(shù) hn 要多，因而需要更多的儲存單元。理論上需要3N 個單元儲存系數(shù)，再加上N 各單元儲存中間結(jié)果，2結(jié)果一共需要3NN5 N 個儲存單元。22三 頻率抽樣型 <Decimation-type>把一個 N 店有限長序列的z 變換 H(z) 在單位圓上作N 等分抽樣，就得到H (k

3、 ) ，其主值序列就等于h(n)的離散傅里葉變換H (k ) 。即 H(z) 的內(nèi)插公式為：H (z) (1 zN1 N 1H (k )WN k z 1N k 1 1這個公式就為FIR 濾波器提供了另外一種結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)由兩部分組成。N 1H ( z)1 H c ( z)H k' ( z)Nk 0其中的第一部分為（這是一個FIR 子系統(tǒng)，是由N 節(jié)延時單元構(gòu)成的梳狀濾波器）：H c (z) 1z N級聯(lián)的第二部分為（這是一個由N 個一節(jié)網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)而成的IIR 子系統(tǒng)）：N 1N 1H (k)H k'(z)k 0k 1 1WN k z 1頻率抽樣型的結(jié)構(gòu)如圖所示：該系統(tǒng)需要2N 個

4、儲存單元用來緩存輸入的數(shù)據(jù)，共需要花費3N 個儲存單元。N 個儲存單元用來儲存系數(shù)，一量化誤差分析理論設(shè)計的FIR 濾波器系數(shù)都是無限精度的，當(dāng)他們有硬件實現(xiàn)時，必須要量化，這必然引起量化誤差。這也就使得理論濾波器和實際濾波器存在一些性能上的差別 <由于濾波器只有 z=0 只一個極點，他在單位圓內(nèi)，不會出現(xiàn)系統(tǒng)的不穩(wěn)定，這還算 Lucky! >FIR系數(shù)的量化誤差對系統(tǒng)的影響，不僅僅和量化字長有關(guān)，更是和濾波器的結(jié)構(gòu)密切相關(guān)的！分析：假設(shè) bk 為理論系數(shù)，bk 為量化系數(shù)，bk 為量化誤差，則有：bkbkbk可以得到由于各 bk 的偏差bk 引起的第 i 個零點 zi 位置變化量

5、為 （推導(dǎo)過程見：數(shù)字信號處理教程 .程佩青 .清華大學(xué)出版社P408410）：NN kziNzibkk 1( zizl )l 1li上式分母中的每一個因子( zi zl ) 是由一個零點zl 指向 zi 的矢量，而整個分母正是所有其它零點zl (li ) 指向該零點zi 的矢量積。 當(dāng)系統(tǒng)的零點非常密集時，他們互相的矢量長度就很短，矢量積就更小，zi 就較大。高階直接型濾波器的零點數(shù)目多而密集，而低階直接型濾波器的零點數(shù)目少而稀疏，因而前者對系數(shù)的量化誤差要敏感得多。實現(xiàn)方案比較? Direct-type使用儲存單元最少， 但是由于階數(shù)很高， 所以零點非常密集， 系數(shù)的量化誤差對零點的影響較

6、大， 必須要通過增加系數(shù)的量化字長來確保系統(tǒng)的正確。? Cascade-type使用的儲存單元較多， 但是由于每一個子系統(tǒng)都是二階系統(tǒng)， 故量化誤差對整個系統(tǒng)的影響較小，可以使用較短的系數(shù)量化字長。? Decimation-type使用的儲存單元較多，由于每一個并聯(lián)的二階字系統(tǒng)的誤差值對自身影響，故該結(jié)構(gòu)的整個系統(tǒng)誤差最小。但是由于引入了 IIR 系統(tǒng)，故在系數(shù)量化的時候，必須是極點量化在單位圓之內(nèi)，否則將使系統(tǒng)不穩(wěn)定。指標(biāo)：采樣頻率 f s59kHz系數(shù)量化字長b27 bit通帶截止頻率f pc 22kHz阻帶截止頻率fsc26kHz通帶紋波系數(shù)6.88 10 5 dB阻帶衰減142.2dB

7、在右上角的幅頻特性曲線圖（經(jīng)放大）中，我們可以看到，系數(shù)經(jīng)過量化后，會對幅頻特性產(chǎn)生一定的影響。 但是由于量化比特數(shù)非常的高， 所以影響不是太大，能符合我們的設(shè)計指標(biāo)。 右下角展示了量化過后的系數(shù)對零極點的影響。設(shè)計方案由于要求是硬件最少，并且最優(yōu)，我們采取第一種方案，即：系數(shù)高bit 量化的直接型結(jié)構(gòu)。由于FIR 濾波器的系數(shù)鏡像對稱，故將線形相位FIR 濾波器的流圖改造成如下格式：在上結(jié)構(gòu)中，每一個乘加單元<MAC> 都是將鏡像對稱的兩個值進(jìn)行MAC 運算。所以我們在實現(xiàn)輸入值xn 的緩沖時，將緩沖設(shè)置成兩個鏡像對稱的緩沖器<top-buffer &buttom-

8、buffer> 。這樣在實現(xiàn)累加時兩個 buffer 可以共用一個指針減計數(shù)器<decrementor>（采用減計數(shù)器，而不采用加計數(shù)器的原因?qū)诤罄m(xù)的時序關(guān)系中得到解釋），而不必要使用一個指針加計數(shù)器<incrementor> 和一個指針減計數(shù)器<decrementor> ，或者讓系數(shù) ROM 的指針變量產(chǎn)生復(fù)雜的運動， 這能簡化時序設(shè)計的復(fù)雜性，同時也就節(jié)約了硬件； 并且采用用鏡像對稱 buffer ，再不額外增加硬件的同時，可以降低時鐘一半的頻率，這是非常重要的。雖然增加了一個 (24+1)-bit 加法器，但是同時也減少了ROM 中的計數(shù)器（

9、資源共享原理將在ROM 模塊介紹），并且換來上述的優(yōu)化設(shè)計。在上述的原理框圖中我們可以看到，所有的MAC 都是規(guī)則分布的，這種幾何上的“美”，正好是時分復(fù)用的最好例證。假設(shè) xn 的輸入時鐘clk 的速率為 Vx n59kHz ， MAC 單元的處理速率為 VMAC ，若存在 VMACN59kHz 3.304MHz ，則可以實現(xiàn) MAC 單元的復(fù)用， 這樣就將Vx n562N 個 MAC 單元降低為 1 個，大大的節(jié)約了硬件。2FIR 濾波器的實現(xiàn)框圖如下：ROM-cell實現(xiàn)：方案一（直接法）由于該 FIR 濾波器的性能要求極高，所以在實現(xiàn)時，F(xiàn)IR 濾波器的系數(shù)非常的多。且由以上的“零極點

10、圖”可以看出，零點非常的密集，這就修要使用高bit 來量化 FIR 濾波器的系數(shù)。當(dāng)采用 27-bit 量化時才能取得較好的結(jié)果。這樣，理論上需要5627bit1539bit 。由于系數(shù)眾多，所以需要大量的存儲單元。方案二（縮放法【ScalingTech 】）可以證明， 一個十進(jìn)制數(shù)要被二進(jìn)制數(shù)表示時，該十進(jìn)制數(shù)越接近于1，產(chǎn)生相同精度時，用于表示該數(shù)的二進(jìn)制位數(shù)越少。若c 1 ,2 N ，其中 c 為濾波器系數(shù)，為量化間距， N 為量化比特數(shù)。假設(shè) 為相對量化誤差，則有：1c c 2N1Nlog 2 ( c)顯然，當(dāng)相對量化誤差一定時，系數(shù)c 越大，所采用的量化比特數(shù)N 就越少。在下圖中可以

11、很明顯地看出量化間距對相對量化誤差的影響。 很明顯， 當(dāng)系數(shù) c 太小時， 很容易被量化間距所造成的量化噪聲s 所淹沒，而完全不能恢復(fù)。所以我們可以先把所有的系數(shù)（左圖）放大2N 后再進(jìn)行量化，將放大后的數(shù)（右圖）進(jìn)行量化并進(jìn)行乘法運算，最后將乘法的結(jié)果減小2N 倍（這對于硬件實現(xiàn)非常容易，只需要講結(jié)果右移 N 位即可）。但是我們從系數(shù)上來觀察，發(fā)現(xiàn)采用“直接型”FIR 濾波器所產(chǎn)生的系數(shù)相差非常的大，其動態(tài)范圍高達(dá)105，不宜采用單因子縮放。這里引入一個叫做縮放矩陣和趨一矩陣的概念：記為縮放矩陣為Sr c ，趨一矩陣為 Trt 。將所有的系數(shù)絕對值Cr 被 1 除，將得到的商項下取整得 Qr

12、，由于 Cr1，所以必有Qr 1 ，再計算 P log 2Qr 和 Cr CrP ，這時 Cr 將滿足 Cr21,Cr 1 。分別將 P 和 Cr 用二進(jìn)制量化為 t 比特、 c 比特，于是有：C0 cC0cP0tSr cCr b Tr tC55 cC55cP55 t由于 Cr1 ，所以只需要用較少的比特來量化他就可以滿足精度的要求，試驗證明：當(dāng) c=14 時，較精確的滿足了要求。再算得t=5，所以一共只需要采用19 比特就可以了。這樣每個系數(shù)就節(jié)約了8 比特。理論上一共節(jié)約了56 8448bit 。誤差分析：1.當(dāng)采用直接法量化時， N=27 ，cmin9.9798 10-7 ，算得： ma

13、x27cmin10.75%2272.而采用收縮法量化時，N=14 ， cmin0.50037 ，算得：1510.0122%maxcmin2143. 可以看出，當(dāng)采用【 ScalingTech 】技術(shù)以后，不僅能將量化比特數(shù)幾乎降為原來的一半，而且最大相對量化誤差降為原來的1 。62當(dāng)采用【 ScalingTech】算法時，乘法器所需要的最高速度變?yōu)椋篤ACCb VMAC14(5659kHz )46.26MHz采用直接法時， MAC 單元可以直接采用 Booth 乘法器，而采用縮放法時需要對乘法器添加移位運算器 (shifter) 。當(dāng)采用收縮法時，由于最后要將乘法結(jié)果進(jìn)行右移以后才Booth能

14、將結(jié)果進(jìn)行累加，所以會損失一定的精度。移位得越多，精度損失得越多。直接法收縮法ROMMACROMMACROMs(64 1)2714資源耗費10811479237LUTsMAC-cell實現(xiàn)：MAC-cell是由一個乘法器和一個累加器組成，累加器設(shè)計較為簡單，的資源，關(guān)鍵在于乘法器的設(shè)計。在該FIR 濾波器中，乘法器要實現(xiàn)14bit的乘法運算， 不合理的結(jié)構(gòu)對資源的占用是巨大的，極有可能使資源崩潰！致分為 3種也不會占用太多27bit40bit乘法器的實現(xiàn)大1.串行乘法器：資源最節(jié)約，但是由較多的延時，適合于大規(guī)模；2.并形乘法器：資源消耗很大，但是速度較快，適合于中規(guī)模；3.查表乘法器：資源耗

15、費巨大，速度最快，只適合于小規(guī)模。在該設(shè)計中，由于乘法運算的位數(shù)很高，所以必須采用“串行乘法器”來實現(xiàn)其功能。 “串行乘法器” 在算法上是由一個移位寄存器 <SR>和一個累加器構(gòu)成 <ACC> ，SR 負(fù)責(zé)進(jìn)行乘數(shù)的移位，而 ACC 負(fù)責(zé)將移位的二進(jìn)制數(shù)相加，并把結(jié)果保留在寄存器中，以供下次使用。方案一（校正算法）由于在該MAC 運算單元中，涉及到的是兩個有符號數(shù)的乘法，所以還必須先對有符號數(shù)進(jìn)行編碼， 然后才能進(jìn)行運算。 我們這里采用二進(jìn)制補碼的編碼方案， 該方案是目前在 DSP 領(lǐng)域類最為流行的有符號數(shù)字表示法?？紤]到，兩個符號相依的數(shù)不能直接采用無符號乘法器 &l

16、t;unsigned-Multiplier> ，所以我們必須先對編碼做一定轉(zhuǎn)換后送入無符號乘法器，然后將結(jié)果通過另一個與之相反的網(wǎng)絡(luò)，使結(jié)果正確。算法框圖如下圖所示：要對有符號數(shù)進(jìn)行乘法運算，必須要將它們進(jìn)行編碼。在編碼方案中，二進(jìn)制補碼表示法是目前 DSP 領(lǐng)域最為流行的有符號數(shù)字表示法，在該編碼方案中，若最高位為0，則表示該數(shù)為正數(shù)，反之則表示為負(fù)數(shù)。首先將乘數(shù)和被乘數(shù)的首位進(jìn)行比較，若它們相同，則直接送到無符號乘法器中進(jìn)行乘法運算我們可以證明兩個負(fù)數(shù)相乘和兩個正數(shù)相乘都可以采用無符號乘法器 <unsigned-Multiplier> 得到結(jié)果。若首位不相同，則將其中的負(fù)

17、數(shù)通過“負(fù)正變換網(wǎng)絡(luò)”<N2P Network> 后再將兩數(shù)送入無符號乘法器，最后將結(jié)果在通過“正負(fù)變換網(wǎng)絡(luò)”<P2NNetwork> ，進(jìn)行校正。此時得到的結(jié)果就是正確的。方案二（ Booth 算法）該算法不僅能處理負(fù)數(shù)相乘的情況，而且速度較快。下圖給出了Booth 算法的流程：乘數(shù)與被乘數(shù)分別載入Q 和 M 寄存器內(nèi)， 同時還有一個 1 比特寄存器， 位于 Q 寄存器最低位 Q0 的右邊，稱為 Q。乘法的結(jié)果出現(xiàn)在A 和 Q 寄存器中。 A 和 Q的初始值為 0?？刂七壿嬕彩敲看螔呙璩藬?shù)的一位（掃描的次數(shù)位Q 長度 -1），但同時也要檢查右邊的一位。若兩位相同， 則

18、 A 、Q 和 Q的所有位右移一位。 若兩位不同， 則根據(jù)是 1-0 還是 0-1 決定 A+M還是 A-M ；加減之后再右移一位。也就是說，右移運算總是要進(jìn)行的。智利的右移是算術(shù)移位，即如果 An 1 移到 An 2 后，原來得值仍然保留在An 1 中。Booth Arithmetic校正算法Booth算法資源消耗（LUTs）339107最大時鐘頻率（MHz ）105.7144.0可以明顯地看出，采用Booth 算法后，不但能大大的節(jié)約資源（以大幅的提高最大頻率（105.7 >144.0），故在有符號乘法器中都采用339>107 ），而且可Booth 乘法器。輸入緩沖FIFO 的

19、讀寫時鐘的時序關(guān)系圖：在 in_clk 的上升沿，緩沖FIFO 寫入一個外界數(shù)據(jù)xn ，在該個in_clk 的上升沿余下一個in_clk的上升沿之間，F(xiàn)IFO中的數(shù)據(jù)經(jīng)過out_clk時鐘將FIFO 中的N 個數(shù)據(jù)<xnxn-(N-1)>讀出倒下一個模塊進(jìn)行運算。由以上關(guān)系可以得出，out_clk 的頻率必須是in_clk 頻率的 N 倍。當(dāng) Reset 信號有效時， FIFO 被清零，并且讀寫指針都指向首地址。coe-ROM 讀時鐘與FIFO 讀時鐘的時序關(guān)系圖：由于從緩沖FIFO中取出的數(shù)需要和FIR濾波器的系數(shù)相乘，所以ROM時鐘<ROM_clk>必須要和FIFO

20、讀時鐘 <out_clk> 同步，才能在下一個模塊中進(jìn)行MAC運算。當(dāng)Reset 系號有效時，ROM指針指向首地址。MAC 單元系統(tǒng)運算時鐘與移位時鐘的時序關(guān)系圖：在 MAC 單元的設(shè)計中， 采用的是串行乘法器，由于系數(shù)被量化成27-bit ，所以移位寄存器的時鐘頻率必須是累加器頻率的 27 倍，才能夠完成一次 MAC 運算。累計器中存儲的數(shù)據(jù)不僅要在 reset 信號的作用下被清零，而且要在下一個數(shù)據(jù) xn 輸入 FIFO 進(jìn)行下一個yn 的數(shù)出之前必須被清零。由于三個運算單元存在事實上的前后關(guān)系，所以這些關(guān)系必須要從時序上體現(xiàn)出來，這和采樣時間密切相關(guān)。系統(tǒng)在實際運行的過程中，

21、先將外界的一個信號xn 采樣進(jìn)來， 然后將數(shù)據(jù)FIFO 的鏡像相加，最后將和數(shù)與系數(shù)ROM 一起送到MAC 單元移位相乘。由此也就決定了，采樣時間最優(yōu)先，緊接著是FIFO 的“鏡像相加” ，然后緊接著是MAC 單元的移位相乘。在以上的時序關(guān)系圖中正好體現(xiàn)了這個特點：當(dāng)reset 信號變?yōu)闊o效以后的緊接著的上升沿中 （圖中前面3 個采樣點），將數(shù)據(jù)采樣并壓入FIFO 中，并且執(zhí)行FIFO 的鏡像相加。由于相加時鐘和采樣時鐘同步，若使用加計數(shù)器<incrementor> （用來作為FIFO讀指針），第一次是讀首單元。由于使用非阻塞賦值(<=) ，所以并沒有把這次的xn 讀出來，而

22、讀出的是上一次存在FIFO 中的 xn ！所以應(yīng)該采用減計數(shù)器，“鏡像相加”操作從xn-(N/2-1)+xn-N/2 開始，這就是為什么要采用減計數(shù)器的原因。當(dāng)每一次“鏡像相加”操作完成后，就應(yīng)該是MAC 單元的移位相乘，它必須緊接著“鏡像相加”操作，它并不能在西一個上升沿采樣，這樣會讓最后的一個bit 無法進(jìn)行移位操作， 所以移位相乘的采樣時間被安排到，緊接著的下一個上升沿。在 shift_clk 的上升沿采樣，并且僅當(dāng) acc_clear 信號有效時， MAC 中的累加器執(zhí)行一次清零操作，表示本次的整個 yn 以運算完畢。ModelSim仿真ctrl_cell模塊仿真：當(dāng) reset 信號

23、有效時 (reset=0)，將所有的時鐘信號清零(mac_clk=0 / in_clk=0) ；當(dāng) reset信號有效時，使得所有的時鐘信號開始工作。此時當(dāng)mac_clk 的上升沿出現(xiàn)時，開始進(jìn)行FIFO 和 ROM 的數(shù)據(jù)讀出，并送入MAC 單元進(jìn)行下一步的處理。在MAC 中，由于乘法器是采用的移位累加器來實現(xiàn)的， 所以必須先要將外面的數(shù)據(jù)寫入以后才能開始進(jìn)行移位累加運算。由于 MAC-cell 中的 Booth-Multiplier是下降沿時鐘有效，但是我們看到，由于reset信號的失效時刻到再次有效與系數(shù)采樣時鐘(mac_clk) 之間有一個 base_clk 空操作信號， 所以這會產(chǎn)生

24、錯位移位運算！這里采用“動態(tài)鎖死”技術(shù)【DynamicCapture】來防止信號出現(xiàn)上面的錯位移位運算。當(dāng)時使用該技術(shù)后，產(chǎn)生一個新的全局清零信號：reset_d 。有上圖可以看出，如果用reset_d 作為時鐘清零信號，第一個有效base_clk信號都將會緊接著出現(xiàn)在第一個有效mac_clk 信號之后，這樣就防止了信號的錯位運算。該圖為上述時鐘模塊的全局仿真圖， clear 信號為 MAC 中累加器的清零信號（并非毛刺！這可以在第一幅圖中很清楚地看到） 。coe_cell 模塊仿真 ：“index”為外界地址指針輸入，它為ROM 提供地址單元信號?？梢钥闯鲈凇眎ndex ”信號的作用下， FIR 濾波器的悉數(shù)被一個一個地“讀”出來（圖中的coe_out 信號）。fifo_data模塊仿真該仿真中可以看到，外界向FIFO 中寫數(shù)據(jù)xn ，并且讀指針 ”index ”才開始工作對FIFO進(jìn)行一次循環(huán)取數(shù)，即當(dāng)”index”每一次不同的取值，都要從FIFO中讀一次數(shù)據(jù)”data_out”。由于在 ”in_clk ”第一次寫入的數(shù)據(jù)為”000000”由于第一次寫入的數(shù)據(jù)為 ”000000”，所以第一次讀出的數(shù)據(jù)為 ”000000+000000=000000 ”。第二次寫入的數(shù)據(jù)為 ”00198e”。由于第二次寫入的數(shù)據(jù)為 ”00198e”，所以第二次讀出的數(shù)據(jù)為 ”0019