新課程學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)

1、課程簡介小學(xué)數(shù)學(xué)?新課程學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)?主要針對(duì)小學(xué)生在新課程中將要學(xué)習(xí)的四個(gè) 知識(shí)領(lǐng)域 即 “數(shù)與代數(shù) 、“空間與圖形 、“統(tǒng)計(jì)與概率 、“實(shí)踐與綜合應(yīng)用 ， 以及 在此過程中應(yīng)當(dāng)形成的學(xué)科能力與素養(yǎng)而介紹的相關(guān)學(xué)習(xí)方法。內(nèi)容共分三個(gè)局部。第一局部學(xué)習(xí)方法總介：主要概述新課程學(xué)習(xí)的總方法。 第二、三局部是學(xué)習(xí)方法分說 分別介紹了在具體學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中， 應(yīng)如何 “建立、 解釋、應(yīng)用、拓展 數(shù)學(xué)模型的方法。每一種方法的介紹都緊緊圍繞該年段的重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容，精選了課內(nèi)外教材中 最具典型性與思考價(jià)值的例題配合講解。例題源于教材又局部高于教材，對(duì)于開發(fā) 學(xué)生智力、提高學(xué)生思維能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)有積極的幫助

2、作用。小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)一、小學(xué)數(shù)學(xué)新課程的學(xué)習(xí)方法1數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法什么是方法 ?什么是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法呢 ?在生活中我們都有這樣的經(jīng)驗(yàn)：我們愛吃水果，水果有橘子，蘋果和西瓜。我 們?cè)诔蚤僮拥臅r(shí)候，先把皮剝掉，吃里面的橘子瓣。而吃蘋果就不同了，你用手去 剝皮很難剝開，我們就要借助刀把皮削掉，再去吃蘋果肉。西瓜呢，我們拿刀去削 掉皮不方便，一般都是拿刀把它切開，吃瓜瓤。從剛剛這三個(gè)例子，我們可以發(fā)現(xiàn)，不同的水果有不同的特點(diǎn)，我們要根據(jù)它 的特點(diǎn)，來進(jìn)行處理才能更好地到達(dá)目的。方法就是人們?cè)谡J(rèn)識(shí)世界和改變世界的 活動(dòng)中所采取的方式、手段、門路、途徑、程序等的統(tǒng)稱。吃水果這樣的營養(yǎng)物質(zhì) 是這樣，對(duì)于數(shù)學(xué)這

3、種精神糧食的索取，也是同樣的道理，也要掌握方法。 數(shù)學(xué)的 學(xué)習(xí)方法 是解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的方式、手段、門路、途徑、程序等等。那數(shù)學(xué)到底有 什么特點(diǎn)？如何抓住他的特點(diǎn)來學(xué)習(xí)呢？數(shù)學(xué)這個(gè)王國是由兩大家族構(gòu)成的，一個(gè)家族叫 “數(shù) ，一個(gè)家族叫 “形。數(shù)學(xué) “形這個(gè)家族里面有四個(gè)成員：點(diǎn)、線、面、體。它們之間的關(guān)系是什么樣？老師 打個(gè)比方你就明白了。我們拿一支鉛筆，在沙土上扎一個(gè)點(diǎn)，把鉛筆拿開之后，留下的那個(gè)痕跡就是 “點(diǎn)；如果我們不拿開筆，筆尖繼續(xù)往下滑，那在沙土上會(huì)留下一個(gè)痕跡，這個(gè)痕 跡就是 “線；如果你把鉛筆倒著放在沙土上平著推，你會(huì)發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)一個(gè)“面；如果我們想象在這個(gè)面的根底上像摞紙一樣的一層一

4、層往下摞，很多的面重疊在一起， 那就該出現(xiàn)一個(gè) “體了。數(shù)學(xué)上，點(diǎn)動(dòng)起來成線，線動(dòng)起來成面，面動(dòng)起來成體。點(diǎn)是沒有長度，沒有 寬度，也沒有高度的。而線呢，是只有長度，沒有寬度，沒有高度。面有長度，有 寬度，但是沒有高度。體有長度，有寬度，還有高度。我們對(duì)數(shù)學(xué)形家族有了初步的了解，那我們?cè)倏纯磾?shù)。 “數(shù) 這個(gè)家族也有很多 的成員，而且互相的關(guān)系很復(fù)雜，一年級(jí)要求認(rèn)識(shí)的成員叫自然數(shù)。我們平常說到 的 0 、 1、 2 、 3 等等都是自然數(shù) 。數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn) 是把生活中的現(xiàn)實(shí)，通過思維 抽象出來，用 數(shù)和 形兩種抽象的方式來表達(dá)。2 新課程的學(xué)習(xí)方法(1) 新課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容 數(shù)與代數(shù) 數(shù)的世界 空

5、間與圖形 形的世界 統(tǒng)計(jì)與概率 數(shù)形世界 實(shí)踐與應(yīng)用 數(shù)學(xué)世界(2) 新課程學(xué)習(xí)方法三步過程： 了解問題的情景 在情景中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模 在數(shù)學(xué)建模之后，要學(xué)會(huì)解釋、應(yīng)用和拓展“問題情景 就是了解這個(gè)知識(shí)，知道它究竟是什么問題引起的。比方，前面我 們說到了 “形這個(gè)概念，這個(gè)家族是怎么來的呢 ? 你帶著這樣的問題把它弄明白， 就能更好地進(jìn)行點(diǎn)、線、面、體四個(gè)要素的建模學(xué)習(xí)。二、建構(gòu) “數(shù)學(xué)模型 時(shí)常用的數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)上比擬重要的建模方法有三個(gè)：數(shù)學(xué)表示、數(shù)學(xué)等價(jià)、數(shù)學(xué)同構(gòu)。數(shù)學(xué)表示：就是用數(shù)字、符號(hào)來表現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)容。它相當(dāng)于搭積木的木塊。數(shù)學(xué)等價(jià)：就是表現(xiàn)事物之間的聯(lián)系，就像把積木塊搭在一起。數(shù)學(xué)同

6、構(gòu)：相當(dāng)于搭積木的整個(gè)結(jié)構(gòu)1 數(shù)學(xué)表示1數(shù)家族 數(shù)字阿拉伯?dāng)?shù)字： 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 0 中國記數(shù)的方式和文字： 一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、零 小寫 壹、貳、叁、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾、零 大寫 羅馬數(shù)字：i、n、川、w、v、w、毗、區(qū)、x、幻國際通用的記數(shù)方式是阿拉伯?dāng)?shù)字。 運(yùn)算符號(hào)掌握“ + 加號(hào) 和“- 減號(hào) 兩個(gè)符號(hào)。 關(guān)系符號(hào)第一個(gè)是“ < 小于號(hào) ；尖尖的這邊事物小，張口的那邊事物大。第二個(gè)是“ > 大于號(hào) ；大的事物在符號(hào)左邊，小的事物在符號(hào)右邊。第三個(gè)是“ = 等于號(hào) ；符號(hào)兩邊的事物完全相等。

7、計(jì)數(shù)單位 一年級(jí)主要認(rèn)識(shí)的是整數(shù)和自然數(shù)，這個(gè)階段主要認(rèn)識(shí)三個(gè)計(jì)數(shù)單位： 個(gè)、十、百 度量單位測(cè)量時(shí)間的單位：時(shí)、分、秒時(shí)：分秒"貨幣單位：元、角、分2形家族面：長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓形、菱形體：長方體、正方體、圓柱體、圓錐體2 數(shù)學(xué)等價(jià)(1) 幾組關(guān)系式有了這些符號(hào)，怎么來表達(dá)數(shù)學(xué)之間的關(guān)系呢？我們要掌握以下幾組關(guān)系式： 局部+局部二整體 小數(shù)+差二大數(shù) 加數(shù)+加數(shù)二和 被減數(shù)-減數(shù)二差(2) 有關(guān)度量單位的關(guān)系式貨幣單位：1元=10角，1角=10分時(shí)間單位：1時(shí)=60分，1分=60 秒(3) 有關(guān)計(jì)數(shù)單位的關(guān)系式一個(gè)百 =10個(gè)十，一個(gè)十 =10個(gè)一，一個(gè)百 =1

8、00個(gè)一理解并記住這些關(guān)系式有利于我們進(jìn)行數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的搭建。3 數(shù)學(xué)同構(gòu)(1) 計(jì)數(shù)單位和數(shù)位個(gè)位的計(jì)數(shù)單位是個(gè)；排在左邊的是十位，計(jì)數(shù)單位是十；再往左邊是百位， 計(jì)數(shù)單位是百。這樣排出來，你就會(huì)對(duì)前面學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)符號(hào)與它們之間的關(guān)系有整 體的了解，運(yùn)用起來也就更加自如了。計(jì)數(shù)單位百十個(gè)1數(shù)位百位十位個(gè)位(2) 度量單位把時(shí)、分、秒按從大到小的順序列出來，時(shí)和分的進(jìn)率是60，分和秒之間的關(guān)系也是60，我們把它表示出來，這樣構(gòu)成一個(gè)完整的結(jié)構(gòu)，便于我們理解和記 憶。把元、角、分按從大到小的順序列出來，元和角的進(jìn)率是10，角和分的進(jìn)率是10，1元又等于100分，只要記住這個(gè)結(jié)構(gòu)，就把我們學(xué)的零散的知識(shí)

9、全串起來了。(3) 四組等量關(guān)系我們把整體、局部、局部搭成一個(gè)三角形的房子，整體在上面，兩個(gè)局部在下 面，你們看局部和局部是加法關(guān)系，得到上面的整體，整體和局部是減法關(guān)系，得 到另一局部。用同樣的方法還可以得到以下啟發(fā):對(duì)應(yīng) 數(shù)家族數(shù)，它來源于生活，在生活中有各種各樣的物品，我們都可以用一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào) 把它表示出來，數(shù)學(xué)符號(hào)和它是對(duì)應(yīng)的，當(dāng)一個(gè)和一個(gè)對(duì)應(yīng)的時(shí)候，稱作對(duì)應(yīng)。在這種對(duì)應(yīng)的情況下，人們?cè)跀?shù)數(shù)的時(shí)候叫做 計(jì)數(shù)。數(shù)完了用文字表達(dá)出來就 是寫數(shù)。人們?cè)跀?shù)數(shù)的時(shí)候，如果數(shù)得少，就可以一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，或者兩個(gè)兩個(gè)地 數(shù)，但是當(dāng)數(shù)得多的時(shí)候，就會(huì)用更大的標(biāo)準(zhǔn)來數(shù)，比方十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)，像我們說 到的元、

10、角、分那樣的計(jì)數(shù)單位，或者是六十個(gè)六十個(gè)地?cái)?shù)，像我們前面學(xué)過的時(shí) 間單位，以更大的標(biāo)準(zhǔn)去數(shù)，這個(gè)規(guī)定的 標(biāo)準(zhǔn)在數(shù)學(xué)上就叫單位，十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)就 產(chǎn)生了進(jìn)位制，那就是十進(jìn)制，進(jìn)率就是 10，六十個(gè)六十個(gè)地?cái)?shù)就產(chǎn)生了六十進(jìn) 制，進(jìn)率就是60。像我們熟悉的電腦，它運(yùn)行得那么快，它是2進(jìn)制，兩個(gè)兩個(gè)地?cái)?shù)，這些以后我們會(huì)有更深地了解。當(dāng)用一個(gè)更大更多的標(biāo)準(zhǔn)來數(shù)數(shù)的時(shí)候，那就不光是一個(gè)數(shù)位了，它就會(huì)出現(xiàn) 多個(gè)數(shù)位，在討論數(shù)的大小的時(shí)候，就會(huì)把它分解或者組合，這就是分解組成，產(chǎn)生了基數(shù)的概念。對(duì)應(yīng)著分解組成，我們還可以比擬數(shù)的大??；對(duì)應(yīng)著分解和組成 就產(chǎn)生了數(shù)位和數(shù)位的順序；對(duì)應(yīng)著比擬大小，就產(chǎn)生 運(yùn)算 。在

11、計(jì)數(shù)、寫數(shù)的時(shí)候，我們所選用的表達(dá)方式有數(shù)字的、有文字的，還有符號(hào) 的，寫完了還涉及到去讀它。在數(shù)這個(gè)數(shù)的時(shí)候，數(shù) 10 以內(nèi)的數(shù)，在討論它的分 解和組成的時(shí)候，常常就一個(gè)一個(gè)單位而言的；十以上的數(shù)，討論它的分解組成， 實(shí)際上是討論計(jì)數(shù)單位，每個(gè)數(shù)都包含了幾個(gè)計(jì)數(shù)單位。前面的數(shù)學(xué)表示涉及到的許多概念，零零散散像積木塊一樣的東西，經(jīng)過這樣 地搭建，形成了嚴(yán)緊的結(jié)構(gòu)，有利于我們記憶和了解。 形家族形家族還有個(gè)好聽的名字 “幾何 。我們已經(jīng)知道有點(diǎn)、線、面、體這四個(gè) 主要成員。我們學(xué)習(xí)了三角形，也就是三邊形。它是多邊形中邊數(shù)最少的圖形，少 于三邊就不能構(gòu)成一個(gè)封閉式的圖形了。邊數(shù)第二少的是四邊形，我

12、們認(rèn)識(shí)了四種 圖形，有長方形、正方形、平行四邊形和菱形。我們還認(rèn)識(shí)了多邊形中邊數(shù)最多的 圖形，我們可以把它叫作無數(shù)邊形，它是圓形。接下來我們看看體，體這個(gè)家族中， 可以按照柱體和錐體，分為兩局部。在柱體里，有長方體、正方體和圓柱體。錐體 里，我們認(rèn)識(shí)的是圓錐體。經(jīng)過這樣地搭建，對(duì)數(shù)家族和形家族的成員，我們都有了一個(gè)非常清晰的了解 和比擬準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)。三、解釋應(yīng)用 “數(shù)學(xué)模型 時(shí)常用的數(shù)學(xué)方法針對(duì)數(shù)與代數(shù)我們重點(diǎn)介紹三個(gè)方法：分解化歸、函數(shù)分析、等價(jià)變換。針對(duì)空間與圖形，我們重點(diǎn)介紹一種數(shù)學(xué)方法：幾何變換。針對(duì)統(tǒng)計(jì)和概率，我們重點(diǎn)介紹一種數(shù)學(xué)方法：統(tǒng)計(jì)概率。針對(duì)實(shí)踐與綜合運(yùn)用，我們重點(diǎn)介紹一種方法

13、：優(yōu)化決策。1 分解化歸我們?cè)趯W(xué)習(xí) 5 以內(nèi)數(shù)的時(shí)候，是從數(shù)數(shù) 方法 、讀數(shù)、寫數(shù)、數(shù)的分解組 成、比擬大小、數(shù)的加法和減法這六個(gè)方面來認(rèn)識(shí)的。那么這六個(gè)方面，就對(duì) 5 以 內(nèi)數(shù)構(gòu)成了一個(gè)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)。有了這樣一個(gè)結(jié)構(gòu)， 我們?cè)谶M(jìn)一步學(xué)習(xí) 10 以內(nèi)數(shù)以至于后來我們學(xué)習(xí) 100 以 內(nèi)數(shù)的時(shí)候， 都可以把不同的數(shù)轉(zhuǎn)化成 5 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)， 從這六個(gè)方面去逐一 地分析和認(rèn)識(shí)它。比方，我們?cè)?jīng)學(xué)過 20 以內(nèi)進(jìn)位加法，有同學(xué)這樣做：9+5=9+1+4=10+4=14我們看他是怎么解決問題的。首先把 9+5 這樣的進(jìn)位加法，通過分解 5 轉(zhuǎn)化 成了 9+1+4 的不進(jìn)位加法，又進(jìn)一步把它轉(zhuǎn)化成數(shù)的分

14、解組成 10+4=10+1+1+1+1 ，最后變成了計(jì)數(shù)，也就是數(shù)數(shù)，得出結(jié)果 14 。這樣的過程告 訴我們，把沒有學(xué)過的比擬復(fù)雜的內(nèi)容，分解轉(zhuǎn)換成我們學(xué)過的、容易的、低級(jí)的 問題。我們學(xué)習(xí) 100 以內(nèi)的進(jìn)位加法，比方說 17+25 的時(shí)候，也是同樣的道理， 把兩位數(shù)的進(jìn)位加法轉(zhuǎn)化成了 20 以內(nèi)的進(jìn)位加法。具體做法，有這樣幾種：第一種 ：把 17 分解成 10 和 7 ，把 25 分解成 20 和 5 。 10+20 ， 7+5 最 后變成 30+12=42這就是把兩位數(shù)的進(jìn)位加法轉(zhuǎn)換成了兩位數(shù)的不進(jìn)位加法和一位數(shù)的進(jìn)位加 法。第二種 ：把 25 分解成 3+22 用 17+3=20 ，

15、20+22=42是把進(jìn)位加法轉(zhuǎn)化成了 20 以內(nèi)的不進(jìn)位加法和兩位數(shù)的不進(jìn)位加法。第三種 ：把 25 分解成 30-5 ， 17+30-5=42把進(jìn)位加法轉(zhuǎn)化成了兩位數(shù)的不進(jìn)位加法，合在一起去減一位數(shù)的加減混合運(yùn)第四種 ：把 17 分解為 12 和 5 ，把 5+25=30 ， 30+12=42這也是把進(jìn)位加法轉(zhuǎn)化成了兩位數(shù)的不進(jìn)位加法，只是具體的策略不同。第五種 ：把 17 轉(zhuǎn)化成了 20-3 ， 20+25-3=42 把兩位數(shù)的進(jìn)位加法轉(zhuǎn)化成了兩位數(shù)不進(jìn)位加法再減 3 的加減混合運(yùn)算。 這些解決方法的總體思路是把沒有學(xué)過的問題轉(zhuǎn)化成學(xué)過的問題，把復(fù)雜的問 題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，這就是我們說的

16、 “分解 。分解只是一個(gè)手段，目的是要把未 知的轉(zhuǎn)化成的，也就是轉(zhuǎn)化到學(xué)過的根本概念上去，這是我們解決數(shù)學(xué)問題時(shí) 最常用的方法。2 函數(shù)分析在數(shù)與代數(shù)這個(gè)領(lǐng)域的第二種數(shù)學(xué)方法是：函數(shù)分析。函數(shù)分析就是讓我們?cè)?變化和不變化的量之間去找一種關(guān)系。例 1 用圓中心的數(shù)分別減去圓周上的數(shù)將結(jié)果寫在相應(yīng)的空格內(nèi)我們觀察一下會(huì)發(fā)現(xiàn) 10減1對(duì)應(yīng)的空格填9 ,再用10分別減2、3、4、5、6、7、8、9對(duì)應(yīng)的結(jié)果分別是 8、7、6、5、4、3、2、 1。在這組練習(xí)中，它反映出有變化的量也有不變化的量。通過觀察，我們可以看到變化的是減數(shù)和相應(yīng)的差。而不變的是被減數(shù)，都是10。從觀察中，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)和體會(huì)了在

17、運(yùn)算中存在變化和不變的數(shù)量。例2在空格中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使上下相對(duì)應(yīng)的兩格中數(shù)字相加的和相等。11038567492112947658301格中出現(xiàn)的數(shù)字是 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10,應(yīng)該填幾使它們的和相等呢 ？這就需要同學(xué)們?nèi)ゼ僭O(shè)一個(gè)和。 在設(shè)定和的時(shí)候，根據(jù) 我們目前的知識(shí)，至少應(yīng)該選擇出現(xiàn)數(shù)字當(dāng)中最大的數(shù)或者比它更大的數(shù)為和。我 們就先設(shè)定這個(gè)和是 12 ,那對(duì)應(yīng)的1下面就應(yīng)該填11，對(duì)應(yīng)的2就填10， 順次應(yīng)該填9、8、7、6、5、4、3、2,在這組數(shù)量當(dāng)中，什么變了什么沒變呢？它反映出兩個(gè)加數(shù)分別在變化而和沒有變，這樣的形式我們轉(zhuǎn)換成的圖像是一 條逐漸向下的斜直線，那這

18、個(gè)圖像所反映的實(shí)際上就是這組數(shù)據(jù)變化的規(guī)律。關(guān)于函數(shù)分析這種方法目前我們有這樣兩種體會(huì)：就是在事物的開展中有變化的量 也有不變的量，它們之間是有關(guān)系的；我們應(yīng)該注意把握的是把這種變化和不變的 量表現(xiàn)出來的形式可以有兩種，一種是我們剛剛出現(xiàn)的圖和表格的方式，另一種是 把這個(gè)數(shù)寫成數(shù)對(duì)在坐標(biāo)圖上表現(xiàn)出來。3 等價(jià)變換在數(shù)與代數(shù)這個(gè)領(lǐng)域的第三種數(shù)學(xué)方法是等價(jià)變換。等價(jià)就是一一對(duì)應(yīng)。例1下面這堆幾何圖形，可以怎樣分類血匚二!我們看到在這個(gè)集合圈里有各種各樣的圖形：圓形、三角形、長方形：同時(shí)他 們所表現(xiàn)出來的顏色也有不同：有全涂黑的、有陰影的、還有白色的。解法一：根據(jù)這些圖形的特點(diǎn)我們可以按照顏色把它分

19、為三類。在第一類中，不管是三角形、圓形、還是長方形，只要是全涂色的，都放在這 個(gè)圈里，一共有6個(gè)圖形。第三類是白色，也是 6種。通過分類我們知道，上面的圖形可以按照顏色分成三類。解法二：按照形狀來分，也是三類。第一類，不管它是什么顏色，只要是三角形的，就都放在這個(gè)圈里，一共有6個(gè) 圖形。第二類，放長方形，有第三類，放圓形，也是 6個(gè)通過剛剛的分類方法，我們發(fā)現(xiàn)，不管把這些圖形怎么分，最后分得的結(jié)果還 是這些圖形，不多一個(gè)也不少一個(gè)，分出類的每一個(gè)圖形跟最后總的圖形，要一個(gè) 一個(gè)對(duì)應(yīng)上，這就是等價(jià)變換。由此我們知道可以用等價(jià)變換的方法幫助我們分類; 同時(shí)，等價(jià)的方法還可以幫助我們對(duì)分得結(jié)果是否正

20、確做一個(gè)驗(yàn)算。例2每種圖形各有幾個(gè)？解：三角形有12個(gè)，圓形有10個(gè)，正方形有9個(gè)，長方形有3個(gè)，梯形 有1個(gè)。參見講解視頻集合圈里的圖形數(shù) =35 A三角形+圓形+長方形+梯形=12+10+9+3+仁35BA=B，正確。由此我們可以知道，集合圈里的每一個(gè)圖形，都對(duì)應(yīng)著外面的一個(gè)數(shù)，這樣到 達(dá)了一個(gè)等價(jià)的狀態(tài)說明我們的統(tǒng)計(jì)沒有出過失。例3把下面的動(dòng)物連到適宜的圈里去。參見講解視頻金魚、小貓、水蛇、青蛙、烏龜、小兔、鵝思路：左邊的集合圈填四條腿的動(dòng)物，右邊的集合圈填會(huì)游泳的動(dòng)物，中間交 叉的局部表示既有4條腿又會(huì)游泳的動(dòng)物。解：金魚，應(yīng)該放在會(huì)游泳的位置上。小貓，放在四條腿的圈子里。水蛇，應(yīng)該放

21、在會(huì)游泳這局部。青蛙又會(huì)游泳又有四條腿，應(yīng)該和烏龜一樣放在中間交叉的位置當(dāng)中。小兔有四條腿但不會(huì)游泳，所以它只能放在四條腿的動(dòng)物當(dāng)中。鵝會(huì)游泳但不是四條腿，所以它只能放在會(huì)游泳的圈內(nèi)。做完之后，我們應(yīng)該用等價(jià)的方法檢驗(yàn)一下，看有沒有漏掉或者重復(fù)的動(dòng)物， 我們一看這7種動(dòng)物，都分別站到了相應(yīng)的位置上，構(gòu)成了一個(gè)整體，他們是 對(duì)應(yīng)的，是等價(jià)變換的。例4把10張卡片分成兩類，可以怎樣分 ？H 0 H H H H H H解法一：把這十張卡片按照單數(shù)和雙數(shù)分為兩類：雙數(shù)有2、4、8、10、20、30這樣六張。單數(shù)有39，3，23，25這樣四張。用等價(jià)變換的方法，可以拿 10-6=4。這種計(jì)算的方法，會(huì)比

22、數(shù)更快一些，但 是有一個(gè)前提，你一定要把雙數(shù)數(shù)準(zhǔn)確。這個(gè)過程說明，等價(jià)變換在幫助我們分類 中所起的作用。解法二：把這十張卡片，看成十以內(nèi)的數(shù)和大于十的數(shù)。按照這種標(biāo)準(zhǔn)，我們 也可以把這十張卡片，分成兩類。當(dāng)然，對(duì)于這道題還有不同的分法?？傊?，我們可以用等價(jià)變換的方法解題和 檢驗(yàn)，把局部和局部合起來，看看和總數(shù)是否相等來保證自己做題的正確性。例5 1個(gè)大蘋果等于2個(gè)中蘋果的重量，1個(gè)中蘋果等于2個(gè)小蘋果的重 量。1個(gè)大蘋果等于幾個(gè)小蘋果的重量 ?參見講解視頻思路：我們可以用等價(jià)變換的方法來推導(dǎo)出結(jié)果。解：由圖可知，1個(gè)大蘋果可以換2個(gè)中蘋果，1個(gè)中蘋果可以換 2個(gè)小 蘋果，如果把另1個(gè)中蘋果也換

23、成2個(gè)小蘋果，也就是說1個(gè)大蘋果應(yīng)該是4個(gè) 小蘋果，答案就出來了， 1個(gè)大蘋果等于4個(gè)小蘋果。在這樣的過程中，我們把蘋果的大小進(jìn)行了變換，但是有一點(diǎn)是不變的，那就 是它們的重量都是相同的。用中的換小的，用小的換中的，換來換去都是相等的。 這種等價(jià)變換是幫助我們進(jìn)行推導(dǎo)和推理的重要方法。例6括號(hào)中的算式怎么填？<11)十(2)< )+ ()5=寸< > + ()< )+ ()解：可以說8+5的和與11+2的和是等價(jià)的，是相等的，都得13。你可以這樣填：(10)1-3+> J+(4)|(8)+I (7)+(a)通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律： 在和不變的條件下，一個(gè)加

24、數(shù)增加幾，另 個(gè)加數(shù) 就減少幾，這樣就能填出許多不同的算式，因?yàn)樗鼈兊暮瓦€是相等的。由此可知， 兩個(gè)加數(shù)之間如何變換來保持和相等這種等價(jià)的規(guī)律。接下來我們?cè)賮砜匆唤M題目，這組題目是減法。r (14)-(13) - (5) 15-7 *(12)-(11)- 口)I (10) - (2)解：這道題是一個(gè)減法題。也可以用等價(jià)變換的方法解決。我們觀察一下兩個(gè) 算式之間的關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)：在差不變的條件下，被減數(shù)減少了 1 ,從15到14， 那減數(shù)也減少1 ,從7到6 ,他們的差是相等的。用這種等價(jià)變換的方式，按照 規(guī)律往下填，我們就能又快又多地填出更多的算式。如果以146為標(biāo)準(zhǔn)，用減少的方式填，我們可以填

25、出：(14) - C6)(13) - (5)15-7 <(12)-<11) - C3)I (10) - (2)如果用增加的方式來填寫的話，我們可以填寫:(1®15-?= <(17)(9)I (遏總之，用等價(jià)變換的方法，不僅可以幫助我們分類和進(jìn)行驗(yàn)算，還可以幫助我們進(jìn) 行推理，同時(shí)在幫助我們進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算和按規(guī)律進(jìn)行填寫的時(shí)候，也起到快捷方便 的作用。5 .統(tǒng)計(jì)概率在統(tǒng)計(jì)與概率這局部有一種數(shù)學(xué)方法一一統(tǒng)計(jì)概率。例1王麗有5分硬幣一枚，2分硬幣四枚，1分硬幣8枚。她要拿出8分 錢去買鉛筆，應(yīng)怎樣拿？思路：這個(gè)問題我們應(yīng)該有序地去思考，才能把所有的答案找到。只拿一種貨幣的有

26、幾種情況 ？先考慮拿1分硬幣的，一分一分拿，8個(gè)1分，這是一種情況。如果只拿2分硬幣呢，可以拿4個(gè)2分，這又是一種情況。如果都拿 5 分的呢，那不可能拿 8 分錢，所以拿一種貨幣的情況我們考慮完 了。再考慮拿 2 種貨幣湊 8 分錢的情況。在拿四個(gè) 2 分的根底上，我們拿 1 個(gè) 2 分換成 2 個(gè) 1 分，也就是 3 個(gè) 2 分和 2 個(gè) 1 分，這又構(gòu)成了一種情況。繼續(xù)換， 2 個(gè) 2 分， 4 個(gè) 1 分，又是一種情況。再繼續(xù)拿 2 分換 2 個(gè) 1 分， 1 個(gè) 2 分和 6 個(gè) 1 分又構(gòu)成了一種情況。這樣，用 2 分和 1 分兩種貨幣湊出 8 分錢一共就有 3 種情況。兩個(gè)貨幣構(gòu)成

27、 8 分錢的還有 5 分和 1 分，可以有 1 個(gè) 5 分 3 個(gè) 1 分，因 此，由兩種貨幣構(gòu)成 8 分錢的共有四種情況。由三種貨幣構(gòu)成 8 分錢的情況。可以 1 個(gè) 5 分， 1 個(gè) 2 分， 1 個(gè) 1 分。 這樣我們就把所有的情況都找到了。通過分析我們得到用 8 分錢買鉛筆有 7 種拿 法。解：拿法有以下幾種： 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 5 2 1剛剛的分析告訴我們?nèi)绻糜行虻姆治龇椒?，可以找到答案的所有可能性。這 種所有可能性就是我們進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和概率分析的根底。例 2 馮吳同學(xué)買了

28、 5 只鳥，準(zhǔn)備放在五只籠子里，可能怎樣放 ?解：方法有如下幾種：(1) 用 1 只鳥籠， 5 只烏全放一個(gè)籠子里(2) 用 2 只鳥籠， 4 只鳥放在一個(gè)籠子里，另 1 只鳥放在另外一個(gè)籠子里：(3) 一個(gè)放 2 只，一個(gè)放 3 只，有 2 種情況。(4) 3 只鳥籠都用上： 1 個(gè)放 1 只， 1 個(gè)放 1 只，另 1 個(gè)放 3 只：(5) 1 個(gè)放 1 只， 1 個(gè)放 2 只，另一個(gè)也放 2 只。(6) 用 4 只鳥籠：三個(gè)鳥籠分別放一只，第四只鳥籠放 2 只。(7) 5 只鳥籠都用上：那當(dāng)然一個(gè)鳥籠放 1 只鳥。這樣從前到后一共有 7 種方法。6 優(yōu)化決策數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的最后一個(gè)領(lǐng)域，也就

29、是實(shí)踐應(yīng)用中應(yīng)該掌握的數(shù)學(xué)方法是優(yōu)化決 策。數(shù)學(xué)在生活中有著極為廣泛的應(yīng)用，在具體解決問題的時(shí)候，往往有多種解答 方案，人們總是根據(jù)做某件事情要到達(dá)的目的和目標(biāo)來選擇適宜的方案。比方說如 何效益最大，什么時(shí)候消耗最小，怎樣設(shè)計(jì)更省，怎么安排最優(yōu)等，這些都是優(yōu)化 決策所要解決的問題。例 1 小麗周六上午有幾件事情要做，所需時(shí)間如下： 用洗衣機(jī)洗衣服 20 分鐘 用微波爐熱早餐 4 分鐘 吃早餐 10 分鐘 刷牙 2 分鐘 洗臉 1 分鐘 疊被 2 分鐘 做早操 10 分鐘請(qǐng)你為她設(shè)計(jì)一個(gè)最正確利用時(shí)間方案。如果按照順序把這些事情都做完。 我們可以用加法算出準(zhǔn)確的時(shí)間： 把這 7 個(gè) 數(shù)加起來得

30、49 分鐘。但是，題目要求我們?yōu)樗O(shè)計(jì)一個(gè)最正確的時(shí)間方案，即在 少于 49 分鐘的時(shí)間里完成這 7 件事情 這就是我們要考慮的優(yōu)化問題。 找到那 些可以同時(shí)做的事情是節(jié)省時(shí)間的關(guān)鍵。用洗衣機(jī)洗衣服是可以同時(shí)做的；用微波爐熱早餐也可以同時(shí)做；而吃早餐一 定要在熱早餐之后，這是要有順序的；刷牙、洗臉、疊被、做早操，這幾件事情和 用洗衣機(jī)洗衣服可以同時(shí)做。所以，我們可以把她要做的 7 件事分成三組：第一組就是：洗衣服第二組就是：熱早餐和吃早飯第三組就是：刷牙、洗臉、疊被、做早操這三組事情可以同時(shí)進(jìn)行。我們?cè)賮矸治鲆幌?，在第三組刷牙、洗臉、疊被、做早操這幾件事情當(dāng)中，我 們應(yīng)該怎么安排。解：其中一種

31、是： 先刷牙再疊被各用 2 分鐘，一共 4 分鐘。 然后吃早餐再做早操， 回來洗臉。 之所以這樣安排， 是因?yàn)槲⒉t熱早餐要用 4 分鐘，而刷牙疊被也是 4 分鐘。在這 4 分鐘里同時(shí)把三件事做完，正好早餐也熱完了。接著吃早餐，吃完早 餐、做完早操回來可能出汗了， 最后再去洗臉。這樣安排很有道理， 所用的時(shí)間是 25 分鐘；當(dāng)然在做其他事情之前先把洗衣機(jī)翻開，讓它同步運(yùn)行。還有其他的方案嗎？刷 2 分鐘洗 1 分鐘疊 2 分鐘吃 10 分鐘操 10 分鐘洗衣服的 20 分鐘和這整個(gè) 25 分鐘的過程重疊，省下來了，在疊被、刷牙前 熱早餐，當(dāng)被疊完了，再吃早餐，然后再去做操，這種方案也是合理的，

32、總時(shí)間也 是 25 分鐘。還能這樣設(shè)計(jì)的：操 10 分鐘刷 2 分鐘洗 1 分鐘疊 2 分鐘吃 10 分鐘這種做法需要洗衣機(jī)同步開，但是熱早餐的時(shí)間，應(yīng)該放在洗臉之前。因?yàn)檫^ 早的熱早餐，等到最后吃早餐的時(shí)候，飯就該涼了 與刷牙同步 。這種方案也 是 25 分鐘。還有這樣的方法：刷 2 分鐘洗 1 分鐘疊 2 分鐘操 10 分鐘吃 10 分鐘這種方案在實(shí)施的時(shí)候，應(yīng)該注意：去做早操的時(shí)候，應(yīng)該把微波爐啟動(dòng)熱早 餐，回來的時(shí)候再吃早餐。以免刷牙的時(shí)候熱早飯，等回來吃的時(shí)候就涼了?？倳r(shí) 間仍是 25 分鐘。不管是先吃早飯還是后吃早飯。 以上這 4 套方案， 都比 49 分鐘 所用的時(shí)間少。能夠做到

33、這一點(diǎn)，是把可以同時(shí)做的事情分類同步運(yùn)行，把不能同 步運(yùn)行的，按照一定科學(xué)的順序合理安排。這樣就能使我們?cè)谏钪?，更好的利?時(shí)間，使得我們的時(shí)間安排得更充實(shí)，更有效率。例 2 小剛周日晚上有幾件事情要做，所需時(shí)間如下： 收拾書包 2 分鐘 聽音樂 20 分鐘 刷碗 5 分鐘 擦地 4 分鐘 洗澡 10 分鐘 澆花 2 分鐘 燒開水 4 分鐘請(qǐng)你為他設(shè)計(jì)一個(gè)最正確利用時(shí)間方案。解：第一套方案 ：聽音樂的同時(shí)，燒上開水，這樣燒開水的 4 分鐘就省下來了。接 下來安排剩下來的 5 件事情， 在聽音樂的同時(shí)， 按順序去做， 有的是按照先刷碗再 澆花，接著擦地，然后收拾書包，再洗澡的順序安排的。這樣安

34、排的同學(xué)認(rèn)為刷碗 會(huì)把地弄臟，澆花也會(huì)在地上灑了水。這兩件事做完之后再擦地就能到達(dá)屋子清潔 衛(wèi)生，保持長久的目的。勞動(dòng)做完以后，再收拾書包，準(zhǔn)備好了第二天上學(xué)要用的 東西，最后洗澡。 這個(gè)方案很有合理性。 按照他的時(shí)間順序排列下來， 總共是 23 分 鐘，這是一個(gè)最正確方案。第二套方案 ：先收拾書包，再刷碗，再擦地，然后澆花，最后洗澡。這樣考慮 的同學(xué)認(rèn)為學(xué)習(xí)是很重要的。先把書包收拾好，然后再把該做的家務(wù)一塊做完，最 后再清潔衛(wèi)生。這個(gè)方案同樣也是 23 分鐘。第三套方案 ：先擦地，再收拾書包，然后澆花、刷碗、最后洗澡。第四套方案 ：先收拾書包，再澆花、擦地、刷碗、最后洗澡。以上四種方案順序雖

35、然不同，但是有一點(diǎn)是相同的，就是要把能夠同時(shí)做的事 情先分類，同時(shí)做。 ( 還可以有其他方案，就不一一列舉了。 )把不可以同時(shí)做的事情按照一定的科學(xué)原理排好順序， 再按順序做， 這樣不 僅同樣完成了任務(wù)，而且能夠使所用的時(shí)間比逐項(xiàng)完成所用的時(shí)間相對(duì)少一些。 這就是優(yōu)化決策方法。小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)一、小學(xué)數(shù)學(xué)新課程的學(xué)習(xí)方法1 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法方法對(duì)人非常重要。數(shù)學(xué)也是一樣，要抓住學(xué)科的特點(diǎn)，才能找到學(xué)好的方法。2 新課程學(xué)習(xí)方法(1) 新課程學(xué)習(xí)內(nèi)容 數(shù)與代數(shù) 空間與圖形 統(tǒng)計(jì)與概率 實(shí)踐與應(yīng)用(2) 新課程學(xué)習(xí)方法面對(duì)這四個(gè)領(lǐng)域我們要采用總的學(xué)習(xí)方法應(yīng)該是：問題情境、數(shù)學(xué)建模、解釋 應(yīng)用和拓展。二、

36、建構(gòu) “數(shù)學(xué)模型 時(shí)常用的數(shù)學(xué)方法什么是“數(shù)學(xué)模型 呢 ?比方造一座房子，首先要有水泥、磚瓦、木料等等這些原材料，還要把這些材 料進(jìn)行整合和加工，最后搭成房屋的整體框架，把房子蓋成。數(shù)學(xué)建模就是要蓋這 樣一座數(shù)學(xué)的知識(shí)宮殿。數(shù)學(xué)也需要原材料，然后進(jìn)行整合和加工，最后蓋出 “數(shù)學(xué) 這個(gè)房子。1 數(shù)學(xué)表示，它相當(dāng)于原材料：2 數(shù)學(xué)等價(jià)，它就相當(dāng)于把原材料放在一起進(jìn)行加工，它所表現(xiàn)出來的都是 相等的關(guān)系；3 數(shù)學(xué)同構(gòu)，它相當(dāng)于蓋好的房子。也就是把不同的數(shù)學(xué)概念組合在一起， 搭建出一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)圖。1 數(shù)學(xué)表示(1) 數(shù)家族數(shù)對(duì) 數(shù)對(duì)的第一個(gè)數(shù)表示圖像上橫軸的結(jié)果，第二個(gè)數(shù)表示的是縱軸上的結(jié)果，分 別用

37、 X 和 Y 來代表。 乘號(hào)(為和除號(hào)(于乘法和加法之間是有聯(lián)系的，相同數(shù)相加，可以用乘法來解決，把加號(hào)稍微轉(zhuǎn) 一下就成了乘號(hào)。除號(hào)上面一個(gè)點(diǎn)，下面一個(gè)點(diǎn)，中間一條橫線，把它們平均分開， 這就是除法所要表達(dá)的含義。 關(guān)系符號(hào)我們要認(rèn)識(shí)約等于號(hào)(。 計(jì)數(shù)單位一個(gè)是千，一個(gè)是萬。 長度單位 米用 m 表示，厘米用 cm 表示。 測(cè)量單位主要有兩個(gè)：一個(gè)是千克，用kg表示；還有一個(gè)是克，用 g來表示。(2) 形家族 角角的符號(hào)是頂點(diǎn)用 0來表示。 有關(guān)線的知識(shí)其中有直線、射線和線段。直線有兩種表示方式：一種用英文的大寫字母 L表 示；或者用英文的小寫字母 ab來表示。小寫字母 ab還可用來表示線段兩

38、端的端 點(diǎn)，可以寫線段ab也可以寫線段ba。關(guān)于射線的表示符號(hào)般就是 oa或者ob , o表示射線的端點(diǎn)，a表示延長出去的某一個(gè)點(diǎn)。2 數(shù)學(xué)等價(jià)利用前面提供的那些資源，可以搭建出幾組數(shù)學(xué)關(guān)系式：(1) 一份數(shù)乘幾份等于幾份數(shù)，一倍數(shù)乘幾倍等于幾倍數(shù)。這兩組關(guān)系式，在 我們生活中解決實(shí)際問題時(shí)，是經(jīng)常要用到的數(shù)學(xué)模型。(2) 因數(shù)乘因數(shù)等于積，被除數(shù)除以除數(shù)等于商，被除數(shù)除以除數(shù)等于商和余 數(shù)。后一種是前面一種除法算式的拓展，是有余數(shù)除法的表示形式。(3) 計(jì)數(shù)單位。有兩組：一個(gè)萬 =10個(gè)千，一個(gè)千=10個(gè)百。(4) 長度的計(jì)量單位：1米=100厘米或1m = 100cm(5) 質(zhì)量單位：1千

39、克 二1000克 或1kg = 1000g。3 數(shù)學(xué)同構(gòu)數(shù)學(xué)同構(gòu)就是找到數(shù)學(xué)概念間的聯(lián)系，來搭建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)圖。(1)數(shù)位表：它在一年級(jí)個(gè)、十、百位的根底上又向左拓展了兩位，出現(xiàn)了千 位和萬位，計(jì)數(shù)單位分別是千和萬。計(jì)數(shù)單位萬工百十|個(gè)1數(shù)位萬位千位百位十位個(gè)位(2)長度單位的結(jié)構(gòu)圖：千米、米、分米、厘米和毫米。這些長度單位是按照 從大到小的順序排列的，我們應(yīng)該把這些長度單位認(rèn)識(shí)清楚并且搭建成結(jié)構(gòu)圖，按 照這樣的順序，千米到米之間，進(jìn)率應(yīng)該是1000，米到分米之間應(yīng)該是 10 ,分米到厘米也是10，厘米到毫米還是 10，而米到厘米，分米到毫米之間的進(jìn)率就 應(yīng)該是10個(gè)10，那就是100 了。査米i

40、nnn 1 ID10 上10IW(3) 質(zhì)量單位：噸、千克、克。這三個(gè)重量單位是按照從大到小的順序排列的 噸和千克的進(jìn)率是1000，千克和克的進(jìn)率也是 1000。i(xniocww(4) 四組等量關(guān)系：一份數(shù)幾份和幾份數(shù)，它們之間是一乘兩除的關(guān)系。用同 樣的方法，另三個(gè)等量關(guān)系搭建成的結(jié)構(gòu)圖應(yīng)該是幾倍數(shù)在上，然后是一倍數(shù)、幾 倍。一倍數(shù)和幾倍是乘法關(guān)系，幾倍數(shù)和這兩個(gè)數(shù)量之間分別是除法關(guān)系。同樣的 道理，因數(shù)和因數(shù)應(yīng)該放在下角，積在上面，兩個(gè)因數(shù)之間是乘法關(guān)系，而積與每 一個(gè)因數(shù)都是除法關(guān)系。我們還學(xué)習(xí)了除法問題。那么被除數(shù)、除數(shù)和商的擺放位置和前面的結(jié)構(gòu)圖應(yīng) 該是一樣的。他們之間是一乘兩除的

41、關(guān)系。因此通過這樣搭建結(jié)構(gòu)圖，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一 個(gè)共同的規(guī)律：就是我們這個(gè)年段學(xué)習(xí)的乘除關(guān)系，都是一乘兩除，擺放的位置都 是相同的。找到這一點(diǎn)就便于我們記憶和理解數(shù)量關(guān)系，并且更好地去使用這個(gè)數(shù) 量關(guān)系。關(guān)于數(shù)學(xué)同構(gòu)，當(dāng)我們把所有零散的數(shù)學(xué)概念組合在一起，搭建成一個(gè)整體的 結(jié)構(gòu)之后，會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)在的聯(lián)系有深入的理解。數(shù)學(xué)同構(gòu)是數(shù)學(xué)表達(dá)時(shí)常用的方法，許多根本結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識(shí)展開的根底。抓住了這個(gè)最根本的結(jié)構(gòu)，就能夠把它運(yùn)用 到其他的更多的知識(shí)當(dāng)中去來擴(kuò)展自己的認(rèn)知。三、解釋應(yīng)用 數(shù)學(xué)模型時(shí)常用的數(shù)學(xué)方法我們針對(duì)數(shù)與代數(shù)，還是重點(diǎn)介紹三個(gè)方法：分解化歸、函數(shù)分析和等價(jià)變換。1 分解化歸例1萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)20

42、34230423402004我們?cè)趯W(xué)習(xí)萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)的時(shí)候，比方2034、 2304、 2340、 2004，除了數(shù)數(shù)，還要學(xué)習(xí)如何讀數(shù)和寫數(shù)，以及這些數(shù)是怎么分解和組成的。同時(shí)，我 們還要研究如何比擬它們的大小，以及如何把它們做加減法。我們同樣用前面學(xué)過 的根底概念來幫助我們解決這些更大的數(shù)的認(rèn)識(shí)。這就是分解化歸方法的意義。例2萬以內(nèi)數(shù)的加法1492+987=24791転+9S72479這個(gè)學(xué)期我們學(xué)習(xí)了萬以內(nèi)數(shù)的加法， 在計(jì)算1492+987的時(shí)候是怎么想的呢 ？ 當(dāng)我們寫好豎式的時(shí)候，實(shí)際上看個(gè)位的2和7 ,它是不進(jìn)位加法；看十位上的9 和8，它是我們過去學(xué)過的進(jìn)位加法； 再看百位千位數(shù)

43、字 順次往下加。運(yùn)算的 位數(shù)增多了，而運(yùn)算的方法和百以內(nèi)的進(jìn)位加、不進(jìn)位加的法那么是完全一樣的。因 此我們?cè)谧鋈f以內(nèi)加法的時(shí)候，只需要把它分解轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的百以內(nèi)的進(jìn)位和 不進(jìn)位的加法來解決。數(shù)學(xué)知識(shí)就是這樣相互聯(lián)系、規(guī)那么統(tǒng)一的。只要把根底概念學(xué)好，找到它與新 概念之間的聯(lián)系，我們就能自己獨(dú)立地用已有的知識(shí)來解決沒有學(xué)過的知識(shí)。例3萬以內(nèi)數(shù)的減法1492-987=5051492竺505同樣的道理，萬以內(nèi)數(shù)的減法，比方說 用了百以內(nèi)的退位和不退位減法來幫助我們解決問題的。例4乘法口訣1492 - 987我們寫好豎式以后，也是運(yùn)1X1=12X1=2 2 X=23X=3 3 X=6 3 X=94

44、=4 4 X2=8 4 3=12 4 >4=165=5 5 X2=10 5 X3=155>4=16 5 X5=256=6 6 X2=12 6 X3=186>4=24 6 爲(wèi)=306X6=367=7 7 X2=14 7 X3=217>4=28 7 爲(wèi)=357捲=42 7X7=498=8 8 X2=16 8 X3=248>4=32 8 爲(wèi)=408捲=48 8X7=56 8X8=649=9 9 X2=18 9 X3=279>4=36 9 爲(wèi)=459捲=54 9X7=63 9X8=72 9 旳=81我們?cè)诎l(fā)現(xiàn)和總結(jié)乘法口訣的時(shí)候是把1的乘法口訣，2的乘法口訣一直到9

45、的乘法口訣分成了九組，我們分別根據(jù)乘法和加法之間的關(guān)系，用相同數(shù)相加的 方法求出的和來找到這個(gè)乘法應(yīng)該得到的積，然后我們?cè)侔呀Y(jié)果編成口訣，便于我 們記憶。記住口訣就可以直接進(jìn)行乘法計(jì)算。在這個(gè)過程中，我們用到了分解和化 歸的方法：首先我們把乘法分成了九種，1乘幾的是一種，2乘幾的是一種，一直到9乘幾的一種。我們把它分別進(jìn)行了處理，把乘法轉(zhuǎn)化歸結(jié)為加法來求出結(jié)果。 同樣的道理，我們?cè)谡J(rèn)識(shí)除法求商的時(shí)候，其實(shí)也用到了分解化歸的方法。例5除法求商參見講解視頻oooooooooooo比方說：有12個(gè)點(diǎn)子，我們要把它平均分成 3份，列出的除法算式是：12 一 3，每份是多少就是我們要求出的結(jié)果，我們是怎

46、么做的呢？解法一：先取出3個(gè)點(diǎn)子，每個(gè)盤里放 1個(gè)；再拿出3個(gè)點(diǎn)子，每個(gè)盤里放 1個(gè)。 按照這樣的順序，放了 4次12個(gè)點(diǎn)子全分完了。再一看，每個(gè)盤子有4個(gè)點(diǎn)子， 所以結(jié)果得4。解法二：1次拿2個(gè)點(diǎn)子放在一個(gè)盤子里，又拿 2個(gè)點(diǎn)子放在中間的盤子里，再拿2個(gè)點(diǎn)子放在最后的盤子里，然后把剩下的這些點(diǎn)子也按照一次拿 2個(gè)的方法逐次的 分配完，盤子里剩下的是 4個(gè)點(diǎn)子，從而得到這道題的商是 4。解法三：分配的過程中可以不動(dòng)手操作，只需要用乘法口訣就可以解決問題。也就是3和幾相乘得12，那這個(gè)結(jié)果就應(yīng)該是幾， 從而找到商應(yīng)該是 4 ,和我們動(dòng)手分的 結(jié)果是一樣的。由剛剛的分析，我們反過來透視一下，如何應(yīng)

47、用分解和化歸的方法 獨(dú)立解決問題發(fā)現(xiàn)答案的呢 ？先說擺的方法。它是把這個(gè)不熟習(xí)的事情轉(zhuǎn)化成過去我們一個(gè)一個(gè)分配熟習(xí)的 事情然后獲得答案的。先看前面的那種做法，它是把這種抽象的算式轉(zhuǎn)化成形象的 動(dòng)手操作，在操作的時(shí)候，把它分解成多步，通過自己能夠?qū)崿F(xiàn)的熟悉的分法，最 后獲得答案。我們?cè)倏春竺婺且环N是用乘法口訣的方式來解答，它是怎么來分解轉(zhuǎn) 化的呢？它實(shí)際上是通過前面動(dòng)作的操作， 發(fā)現(xiàn)除法和乘法有聯(lián)系，于是就把外表 的這個(gè)除法轉(zhuǎn)化成了 幾乘3等于12 這樣一個(gè)我們過去學(xué)過的問題，從而找到 解決問題的答案。例6有余數(shù)除法參見講解視頻0000000000000比方給你13個(gè)點(diǎn)子，要求平均分成 3份，問

48、每份是多少？我們?cè)诜值臅r(shí)候 會(huì)發(fā)現(xiàn)每個(gè)盤子里放 4個(gè)的時(shí)候還剩下1個(gè)，不能再放到每一個(gè)盤子里了，于是 就出現(xiàn)了商4余1這種情況。實(shí)際上，余數(shù)除法是沒有余數(shù)的除法與求和這兩種運(yùn)算的一個(gè)結(jié)合，我們是把 它分解成兩局部來理解和解決這個(gè)問題的。例7連乘、連除、乘除混合運(yùn)算2>2X3，15七為，9X4托 這樣的問題也用到了分解化歸的方法。也就是把兩步運(yùn)算的題目分解成兩個(gè)一步運(yùn)算的題目來解決。例8度量單位我們?cè)?jīng)在學(xué)習(xí)時(shí)間和貨幣單位的時(shí)候，研究了這些單位是測(cè)量什么的，它們 的大小是什么關(guān)系，怎么樣去使用它們等等。也就是說對(duì)每一個(gè)單位，我們都從這 四個(gè)方面形成一個(gè)對(duì)它的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來進(jìn)行研究。所以根據(jù)這個(gè)

49、結(jié)構(gòu)，我們就可以把 新認(rèn)識(shí)的長度單位也從這四個(gè)方面去研究，轉(zhuǎn)化成過去學(xué)過的其他的單位研究方式， 這樣就能更好地理解和掌握新的度量單位，這也是分解化歸方法的一種表達(dá)。2 函數(shù)分析學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)當(dāng)中的第 2個(gè)常用的方法是：函數(shù)分析。函數(shù)分析實(shí)際上是研究 變量與不變量之間關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法。例1將適當(dāng)?shù)慕Y(jié)果填在口中； 將因數(shù)與相應(yīng)的積寫成數(shù)對(duì)形式； 將數(shù)對(duì)用點(diǎn)描在格紙中； 把點(diǎn)連起來看一看是什么圖像 ？想一想：在這組運(yùn)算中什么變化了？什么沒變化？將適當(dāng)?shù)慕Y(jié)果填在括號(hào)中，中間是6，和四周要乘的數(shù)是1、2、3、4、5、6。根據(jù)我們學(xué)過的乘法口訣，我們可以分別填出所對(duì)應(yīng)的積是6、12、18、24 、30 和

50、 36 。我們可以用曾經(jīng)介紹過的函數(shù)方法，把每一對(duì)變化的數(shù)寫成數(shù)對(duì)的形式，應(yīng)該 寫成1，6、2，12、3，18等等。接下來我們?cè)賹⑦@個(gè)數(shù)對(duì)用點(diǎn)描在格紙上。MoJz/ve11 J*5(再將這6個(gè)點(diǎn)連起來看一看是一個(gè)什么圖像，是一個(gè)逐漸上升的直線圖像。在 這個(gè)過程當(dāng)中，變化的是因數(shù)和相應(yīng)的積， 而不變的是其中一個(gè)因數(shù) 6。遇到同類 變與不變的數(shù)量關(guān)系，它呈現(xiàn)出來的圖像都是我們剛剛看到的這種狀態(tài)。例2將適當(dāng)?shù)慕Y(jié)果填在右邊的口中； 將被除數(shù)與相應(yīng)的商寫成數(shù)對(duì)形式； 將數(shù)對(duì)用點(diǎn)描在格紙中； 把點(diǎn)連起來看一看是什么圖像 ？想一想：在這組運(yùn)算中什么變化了？什么沒變化？這道題目是，將適當(dāng)?shù)慕Y(jié)果填在右邊的括號(hào)中

51、，左邊的數(shù)是30、25、20、15、10、5和0 ,要求把這些數(shù)都除以 5，對(duì)應(yīng)的右邊應(yīng)該是 6、5、4、3、2、1、0 o接下來再將被除數(shù)與相應(yīng)的商寫成數(shù)對(duì)的形式。將數(shù)對(duì)用點(diǎn)描在格子中再把點(diǎn)連起來。通過計(jì)算、操作和畫圖，我們發(fā)現(xiàn)描出來的圖像仍然是一個(gè)逐 漸上升的直線。在這組運(yùn)算中被除數(shù)變了，相應(yīng)的商也變了，不變的是除數(shù)。但是 為什么前面是乘法的關(guān)系式，而后面是除法的關(guān)系式，它們呈現(xiàn)出來的圖像全是一 樣的呢？關(guān)于這個(gè)問題，隨著后面三年級(jí)再學(xué)習(xí)乘法和除法之間的關(guān)系，你會(huì)找到解決問題的答案。例3將適合的數(shù)填在中： 想一想：在這組數(shù)中，什么變了？什么沒變？ 將變化的兩個(gè)數(shù)寫成數(shù)對(duì)的形式； 將數(shù)對(duì)描在

52、格紙上用點(diǎn)表示出來： 將點(diǎn)連在一起，看一看是什么圖像 ？ 你能再編出一道這樣的題目嗎將適宜的數(shù)填在括號(hào)中，這次左邊這一串因數(shù)和右邊這一串因數(shù)都沒有告訴我 們，只告訴我們乘積是 20。我們這樣想，假設(shè)左邊第一個(gè)空是1 ,那應(yīng)該對(duì)應(yīng)的是填20，這兩個(gè)數(shù)的乘積是 20。我們?cè)夙樦孪耄绻?2呢，對(duì)應(yīng)的應(yīng)該 是10。如果填3呢，就目前的運(yùn)算水平，還不能找到相應(yīng)的結(jié)果。繼續(xù)往下想， 如果填4對(duì)應(yīng)的應(yīng)該填5。如果填5，對(duì)應(yīng)的就填4。當(dāng)6、7、8、9時(shí) 都不能找到整數(shù)的答案，于是填10，對(duì)應(yīng)填2。11、 12 一直到19都不能找到對(duì)應(yīng)的整數(shù)結(jié)果，我們就填20，對(duì)應(yīng)的整數(shù)結(jié)果是1。這樣我們就把所有的答

53、案，特別是整數(shù)的答案都找到了。用函數(shù)的思想，在這道題中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)變化的是兩個(gè)因數(shù)的大小，而不變的是 它們的乘積，它反映出來的也是函數(shù)所研究的現(xiàn)象。接下來我們?cè)賹⑦@組我們填出來的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)寫成數(shù)對(duì)的形式。 寫好之后我們?cè)賹?shù)對(duì)也同樣描在格子上，用點(diǎn)表示出來。我們觀察一下這組變化的量和不變的量之間形成的圖像是一條逐漸下降的曲 線。通過剛剛這幾個(gè)例子的分析，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)在變量和不變量之間存在的關(guān)系，它 就是函數(shù)分析所要研究的問題而表現(xiàn)出來的形式?？梢杂脠D像來形象地描繪它的變 化，而圖像呈現(xiàn)的趨勢(shì)并不都是一樣的：有的是上升的直線，有的是下降的直線， 有的是下降的平滑的曲線。那什么時(shí)候是這樣，什么時(shí)

54、候是那樣，這就有待于以后 的深入思考了。3 等價(jià)變換等價(jià)是一種一一對(duì)應(yīng)，這種變換在數(shù)與代數(shù)這個(gè)領(lǐng)域，可以運(yùn)用在分類上，還 可以做數(shù)值的等價(jià)變換。接下來我們看一看，它在我們二年級(jí)出現(xiàn)的分類問題中， 應(yīng)該怎樣繼續(xù)地使用它。例 1 把 44、365、333、56、888、95、11、729、272、305 這些數(shù) 分成兩類，應(yīng)該怎樣分比擬適宜 ？解：1分成 二位數(shù)和 三位數(shù)兩類。根據(jù)數(shù)位的不同分。 分成 相同數(shù)字組成的數(shù)和 不相同數(shù)字組成的數(shù)相同盒字聞J4字3分成 單數(shù)和 雙數(shù)兩類。當(dāng)然有關(guān)數(shù)的知識(shí)掌握更多了以后，會(huì)有更多新的分法，目前上面的這三種分法，我們可以找到一個(gè)共同的地方，就是運(yùn)用等價(jià)變換的方式把這10個(gè)數(shù)不管是依據(jù)什么樣的相同點(diǎn)或不同點(diǎn)，進(jìn)行分類之后，它們每一局部合起來的總量，應(yīng)該 和原來的10個(gè)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，是完全相同的。例2買1把茶壺和4只杯子要付5元5角，買1把茶壺和8只杯子要付7元5角。你能算出1把茶壺的價(jià)格和1只杯子的價(jià)格嗎？右圖比左圖多了 4只杯子，實(shí)際上多付了 2元錢。也