湖南師大附中屆高三月考數(shù)學文科試卷三

1、湖南師大附中2022屆高三月考 數(shù)學文科 試卷三一、選擇題：本大題共12個小題，每題5分.(1)集合 M = x|log2(1 x)<0,集合 N= x| 1 < x< 1,那么 M n N 等于()(A) 1 1, 1) (B)10 , 1) (C)1 1, 1 (D)(0 , 1)假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(，3 + 3i)z= 3i(i為虛數(shù)單位),那么z的共軛復(fù)數(shù)為()33333333(a)2(b)2+ yi(c)4i(d)4+(3) 在等差數(shù)列an中，a5+ a10= 12,那么3a7 + a9=()(A)12(B)18(C)24(D)30(4) 設(shè) a= 2, b=2, c=

2、 logx(x2 + 0.3)(x>1),那么 a, b, c 的大小關(guān)系是()(A) a<b<c (B)b<a<c (C)c<b<a (D) b<c<a(5) 齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽，那么田忌馬獲勝的概率為()(A)3 (b)4 (C)1(D)1nn 5 n右圖是函數(shù) y= Asin( 3x+$)x R , A>0, ® >0 , 0< 0 <廳 在

3、區(qū)間 _, 上的圖象，為了得到 這個函數(shù)的圖象，只需將y= sin x(x R)的圖象上所有的點()n(A) 向左平移 石個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變n1(B) 向左平移$個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變n(C) 向左平移3個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變n1(D) 向左平移§個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的空，縱坐標不變x2 ax 5 xw 1函數(shù)f(x) = a是R上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是()-x>1x(A) 3w a<0 (B) a< 2 (C) 3w a&l

4、t; 2 (D) a<0(8) 過拋物線y2= 2px(p>0)的焦點F且傾斜角為60°的直線I與拋物線在第一、四象限分別交于兩點，那么船的值等于(BF 1(A)5(B)4(C)3(D)2(9) 函數(shù)f(x)=匚豊一1 cos x的圖象的大致形狀是()IsO, i'f = |(A) 12(B)10(C)16(D)324(11)在體積為3的三棱錐S ABC中,AB = BC= 2, / ABC = 90° , SA= SC,且平面 SAC丄平面 ABC,假設(shè)該三棱錐的四個頂點都在同一球面上,那么該球的體積是(A)8,2(B)|n (C)27n (D)12

5、nJ 1,1、厶-(J7he mox0M( 1(C)(10)執(zhí)行如下列圖的程序框圖，輸入p = 10,那么輸出的A為()y> 0(12) 設(shè)x, y滿足ax+ y 1w 0 ,假設(shè)z= x2 10x+ y2的最小值為12,貝U實數(shù)a的取值范圍是()3x 2y 2 w 03311(A) a<2 (B)a< 2(C)a?2 (D)aw 2二、填空題：此題共 4小題，每題5分.(13) 假設(shè)|a|= 1, |b|= 2, c= a+ b,且c±a,那么a與b的夾角為.(14) 在平面直角坐標系 xOy中，假設(shè)直線ax+ y 2= 0與圓心為C的圓(x 1)2+ (y a)

6、2= 16相交于A,B兩點，且厶ABC為直角三角形，那么實數(shù)a的值是.(15) 如圖是一個由兩個半圓錐與一個長方體組合而成的幾何體的三視圖，那么該幾何體的體積為.(16) 設(shè)函數(shù)f(x)= ex(2x 1) ax+ a,其中a<1,假設(shè)存在唯一的整數(shù) xo,使得f(xo)<0,那么a的取值范圍是.三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟.(17) (本小題總分值12分)xxx向量 m= 3sin, 1 , n = cos，cos2 ,記 f(x) = m- n.(I )假設(shè) f(x) = 1,求 cos x + y 的值；(H )在銳角 ABC中，角A, B, C的對邊分

7、別是 a, b, c,且滿足(2a c)cos B = bcos C,求 f(2A)的取值范圍.(18) (本小題總分值12分)如圖 1,在 Rt ABC 中，/ ABC= 60° , / BAC = 90° , AD 是 BC 上的高，沿 AD 將厶 ABC 折成 60°的二面角B AD C,如圖2.(I )證明：平面ABD丄平面BCD;(H )設(shè)E為BC的中點，求異面直線AE與BD所成的角.(19) (本小題總分值12分)3設(shè)數(shù)列an的前n項和為3,Sn= 2(an 1).(I )求ai的值，并求數(shù)列an的通項公式；(H )假設(shè)數(shù)列 bn為等差數(shù)列，且b3 +

8、 b5= 8 , 2bl+ b4= 0設(shè)Cn= an bn,數(shù)列cn的前n項和為Tn,5,證明：對任意n N*, Tn+ n 5 3+(川)假設(shè)在1, e上存在一點x0,使得f'x(+ <g(X0) g 'x0)成立，求實數(shù)a的取值范圍.是一個與n無關(guān)的常數(shù).(20) (本小題總分值12分)橢圓C: X2+ £= 1(a>b>0)的左、右焦點分別為 F1( 1, 0), F2(1, 0),點A 1，帀f X0在橢圓C 上.a b2(I )求橢圓C的標準方程；5(H )是否存在斜率為2的直線I,使得當直線I與橢圓C有兩個不同交點 M、N時，能在直線y=

9、 §上找 到一點P,在橢圓C上找到一點Q,滿足PM = NQ?假設(shè)存在，求出直線I的方程；假設(shè)不存在，說明理 由.(21) (本小題總分值12分)1函數(shù) f(x)= x2, g(x)= aln x.(I )假設(shè)曲線y= f(x) g(x)在x = 1處的切線的方程為(H )設(shè)h(x)= f(x) + g(x),假設(shè)對任意兩個不等的正數(shù)a的取值范圍；6x 2y 5= 0,求實數(shù)a的值；h X1一 h x2,X1, X2, 都有>2 恒成立, 求實數(shù)x1 X2請考生在(22)、(23)題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題計分.(22) (本小題總分值10分)選修4 - 4

10、:坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系 xOy中，以0為極點，x軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線I的極坐標nx= x/2cos e方程為e= -( p R),曲線C的參數(shù)方程為4y= sin e(I )寫出直線I及曲線C的直角坐標方程；8(n )過點M平行于直線I的直線與曲線C交于A、B兩點，假設(shè)|MA|.|MB|= 3,求點M軌跡的直角坐 標方程.(23) (本小題總分值10分)選修4 5:不等式選講函數(shù) f(x)= |x+ 1|+ 2|x 1| a.(I )假設(shè)a = 1,求不等式f(x)>x+ 2的解集；(n )假設(shè)不等式f(x)w a(x+ 2)的解集為非空集合，求a的取值范

11、圍.參考答案題號(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)答案DCCBADCCBCBD21 ex1 exex 1(9)【解析】由題意得,f(x)= 1 + ex- 1 cos x=眉 cos x，所以 f(-x)=肓 cos(-x) = cos x=f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除選項A , C;令x = 1,2 1 e那么 f(1)=彳丄廠 1 cos 1=cos 1<0,應(yīng)選 B.1 十 e1 + e(10) 【解析】 第 1 次執(zhí)行循環(huán)體： S= S 2n+ 10= 0 2+ 10= 8>A= 0,是，A= S=

12、8, n = 1 >p = 10,否，n = 2n= 2;第2次執(zhí)行循環(huán)體：S= S 2n+ 10= 8 4 + 10= 14>A = 8,是，A= S= 14, n= 2?p = 10,否，n= 2n=4;第3次執(zhí)行循環(huán)體：S= S 2n + 10= 14 8 + 10= 16>A = 14,是，A= S= 16, n = 4?p= 10,否，n=2n = 8;第4次執(zhí)行循環(huán)體：S= S 2n + 10= 16 16+ 10= 10>A = 16,否，n = 8?p= 10,否，n=2n= 16;第5次執(zhí)行循環(huán)體：S= S- 2n + 10= 10 32 + 10=

13、12>A = 16,否，n= 16?p= 10,是，輸出 A= 16,應(yīng)選C.(11)【解析】KBC外接圓圓心為 AC中點D,連接SD,那么由平面SAC丄平面ABC及SA= SC,知SD丄平14面ABC,且球心 O在SD 上,那么§SzabcX SD = 3,解得SD= 2設(shè)三棱錐 S-ABC外接球半徑為 R,貝U R=3 OS= OB,所以在 RtODB 中，OB2= BD2+ OD2,即 R2= ( . 2)2 + (2 R)2,解得 R=?,439故所求球的體積為 v=3冗r3= 2冗，應(yīng)選B.(12) 【解析】由題意作平面區(qū)域如下，z= x2 10x+ y2= (x 5

14、)2 + y2-25 的最小值為一12,(x 5)2+ y2的最小值為13，直線ax+ y 1 = 0恒過點A(0, 1),3直線 y= 2x 1 與圓(x 5)2 + y2= 13 相切于點 B(2, 2);Tax+ y 1= 0 可化為 y= ax+1,1 1故a> kAB = ,故 a< ,應(yīng)選 D.(13) 120°(14) _【解析】圓的半徑是4, ABC是直角三角形，那么圓心C到直線AB的距離為2 _2,a= 1.(15)2n12 n【解析】相當于一個圓錐和一個長方體 ，故體積為1 n + 2 - 2=4+§.32e，1 -【解析】f(x)<0

15、? ex(2x 1)<ax a,記 g(x) = ex(2x 1),那么題意說明存在唯一的整數(shù)xo,使g(x)的圖象在直線y= ax a下方，g'x) = ex(2x+ 1),1 1當 x< 2時，g'(x)<o ；當 x> 2時，g'(x)>o,1 1 1因此當x= 2時，g(x)取得極小值也是最小值g 2 = 2e-,又g(0) = 1, g(1) = e>0,3解得育a<1.a>g 0= 1 直線y= ax a過點(1, 0)且斜率為a,故g 一 1= 3e 1?一a a71(17)【解析】-xx2x<3x1x

16、1x n1(I )f(x)= m-i= 3sin cos; + cos; = sin +;cos： +；= sin +;,4 44222222'6乂由 f(x)=，得 sin x += 2，所以 cos x+= 1 2si n2 x += 2.(5 分)2623262(n )因為(2a c)cos B= bcos C,由正弦定理得(2sin A sin C)cos B = sin Bcos C, 所以 2sin Acos B sin Ccos B= sin Bcos C, 所以 2sin Acos B = sin(B + C),因為 A+ B + C =n,1nn所以 sin(B +

17、C)= sin A,且 sin A丸,所以 cos B= 3 ,又 0<B<2 ,所以 B = ?,22nnnnnn 2 n那么 A+ C = 3 n, A= 3 nC,又 0<C<? , 0<A<?,那么 g<A<2 ,得§<A + 石<百,所以-3<sin a+； < j又因為f(2A)=sin a+n+1,故函數(shù)伸)的取值范圍是.3+132 , 2.(12 分)18【解析】I 因為折起前AD是BC邊上的高，貝當厶ABD折起后，AD丄CD , AD丄BD.2分又CD ABD = D,貝U AD丄平面 BCD.

18、3分因為 AD?平面 ABD,所以平面 ABD丄平面BCD .4分H 取CD的中點F ,連結(jié)EF ,那么EF /BD,所以/AEF為異面直線 AE與BD所成的角.6分連結(jié) AF、DE.設(shè) BD = 2,貝U EF = 1, AD = 2 . 3, CD = 6, DF = 3.在 Rt ADF 中，AF = AD2+ DF2 = 21.(8 分)在ABCD 中，由題設(shè)/ BDC = 60°1那么 BC2 = BD2 + CD2 2BD CDcos/BDC = 28,即 BC = 2 .7,從而 BE = BC =7, cosZCBD =BD2+ BC2 CD212222BD BC=麗

19、.在ABDE 中，DE2= BD2+ BE2 2BD BEcosZCBD = 13.在 RtADE 中，AE= AD2+ DE2 = 5.(11 分)AE2+ EF2 AF21在AAEF 中, cos/AEF =?ae EF=所以異面直線AE與BD所成的角為妙少分3(19) 【解析】(I )當 n= 1 時，Si = (ai 1),即 2ai = 3ai 3,所以 ai = 3.(1 分).,.333因為 Sn= (an 1),貝V Si1 = (an1 1)( n?2).兩式相減，得 an = ?(an an1),即 an= 3an1( n?2). (4 分)所以數(shù)列an是首項為3,公比為3

20、的等比數(shù)列，故an= a1 qn1 = 3 n31 = 3n.5分(n )因為 b3+ b5= 2b4= 8,貝V b4= 4.又 2b1 + b4= 0,貝V b1 = 2.(7 分)設(shè)bn的公差為 d,貝U b4 b1= 3d,所以 d = 2,所以 bn= 2+ (n 1)x ( 2) = 4 2n.(8 分)由題設(shè)，cn=(4 2n)-n3那么Tn= 2-3+ 02+( 2) 3子+ (4 2n) -n33Tn= 2 七+ 0 33+ (6 2n) -n3 (4 2n) 扌 1(9 分)兩式相減，得一2Tn= 2 牛(2)23 ( 2) 3子+ ( 2) n (4 2n) 吁1=6 2

21、(32 + 33 + + 3n) (4 2n) 扌 1.155+ _n2十2-31.(11 分)9 1 3n-1所以 Tn= 3+ (2 n) 扌11 35 15故 Tn+ n 5 - 3+ 1= 為常數(shù).12 分20【解析】I 設(shè)橢圓C的焦距為2c,那么c= 1,因為A 1, 22在橢圓C上，所以2a= |AF1|+ |AF2|=x22 2，因此a = 2, b2 = a2 c2 = 1,故橢圓C的方程為十y2= 1.5分H 橢圓C上不存在這樣的點 Q ,證明如下：設(shè)直線I的方程為y= 2x+ t,設(shè) M(X1, y1), N(x2, y2), P X3, 3 , Q(x4, y4), MN

22、 的中點為 D(xo, yo),y= 2x+ t由 x2消去 x,得 9y2 2ty 十t2 8 = 0,2 十 y2= 12t°°y1 十 y2 t所以 y1+ y2= 9,且= 4t2 36(t2 8)>0 ,故 yo= = 9且3<t<3, (8 分)由PM = NQ知四邊形PMQN為平行四邊形，而D為線段MN的中點，因此，D也為線段PQ的中點，53十y4 t2t 157所以yo= 2 = 9，可得y4 = 9-，又3<t<3,所以<y4< 1,因此點Q不在橢圓上.(12分)(21) 【解析】(I )由 y= f(x) g(x

23、) = x2 aln x,得 y'= x J,由題意，1一a = 3,所以 a = 2.(2 分)1 oh X1一 h x2(H )h(x) = f(x) + g(x)= x2 + aln x,因為對任意兩個不等的正數(shù)X1, x2,都有>2,2 X1 x2設(shè) X1>X2,那么 h(x1) h(x2)>2(x1 X2),即 h(x1) 2x1>h(x2) 2x2恒成立，1問題等價于函數(shù) F(x)= h(x) 2x,即F(x) = 2*+ aln x 2x在(0,)為增函數(shù).(4分)a所以F 'x) = x+ -一 2 > 0在(0 ,)上恒成立，即a

24、> 2x x2在(0,)上恒成立，x所以a> (2x x2)max= 1,即實數(shù)a的取值范圍是1, +8).(6分)11a1 + a(川)不等式 f'x0) +<g(xo) g'x0)等價于 xo + <aln xo,整理得 xo aln xo + 一<0.f' X0XOxoxo1 + a設(shè)m(x) = x aln x+ ,由題意知，在f 1, e上存在一點xo,使得m(xo)<O.(8分)a 1 + a由 m'刈=1 x丁=x2 ax 1 + ax2x 1 a x+ 1因為 x>0,所以 x+ 1>0,令 m&#

25、39;x) = 0,得 x= 1 + a. 當1 + aw 1,即aw 0時，m(x)在11, e上單調(diào)遞增，只需m(1) = 2 + a<0,解得a< 2.(10分) 當1<1 + aw e,即0<aw e 1時，m(x)在x = 1 + a處取最小值.a+ 1 + 1令 m(1 + a)= 1 + a aln(1 + a)+ 1<0,即 a+ 1 + 1<aln(a + 1),可得<ln(a + 1).at+ 1考查式子<ln t,因為1<tw e,可得左端大于1,而右端小于1,所以不等式不能成立.t 1(11 分)1 + a 當1 + a>e,即a>e 1時，m(x)在11, e上單調(diào)遞減,只需m(e) = e a +&