第四章線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1、2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系1 第四章第四章 線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 4.1 4.1 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念 4.2 4.2 傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定 4.3 4.3 狀態(tài)空間表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定狀態(tài)空間表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定 4.4 4.4 本章小結本章小結2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系2穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件 對系統(tǒng)進行各類品質指標的分析必須在系統(tǒng)穩(wěn)定的 前提下進行。自動控制理論的基本任務(之一) 分析系統(tǒng)的穩(wěn)

2、定性問題 提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施 一、穩(wěn)定性分析的重要性一、穩(wěn)定性分析的重要性 4.14.1線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念 2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系3二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的理論框架二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的理論框架 第一第一方法方法第二第二方法方法穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析18921892年俄國數(shù)學年俄國數(shù)學家李雅普諾夫家李雅普諾夫SISOSISO的代數(shù)的代數(shù)分析方法分析方法解析解析方法方法RouthRouth判據(jù)判據(jù)HouwitzHouwitz判據(jù)判據(jù)根據(jù)根據(jù)SISOSISO閉環(huán)特閉環(huán)特征方程的系數(shù)判征方程的系數(shù)判定定系統(tǒng)的系統(tǒng)

3、的穩(wěn)定性穩(wěn)定性根據(jù)狀態(tài)方程根據(jù)狀態(tài)方程A A陣陣判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系4A.Lyapunov(1857-1918)A.Lyapunov(1857-1918)，俄國數(shù)學家（俄國數(shù)學家（ChebyshevChebyshev 的學生，的學生，MarkovMarkov的同學），的同學），在他的博士論文中，在他的博士論文中，LyapunovLyapunov系統(tǒng)地研究了由系統(tǒng)地研究了由微分方程描述的一般運動微分方程描述的一般運動的穩(wěn)定性問題，建立了著的穩(wěn)定性問題，建立了著名的名的LaypunovLaypunov方法，他的

4、方法，他的工作為現(xiàn)代控制及非線性工作為現(xiàn)代控制及非線性控制奠定科基礎?？刂频於苹A。三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的劃時代人物三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的劃時代人物 2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系54.2 4.2 傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定本小節(jié)是本章的重點，主要介紹以下內容：本小節(jié)是本章的重點，主要介紹以下內容：4.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題4.2.2 Routh4.2.2 Routh穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)4.2.3 Routh4.2.3 Routh判據(jù)的兩種特殊情況判據(jù)的兩

5、種特殊情況4.2.4 Routh4.2.4 Routh判據(jù)的推廣判據(jù)的推廣4.2.5 Routh4.2.5 Routh判據(jù)的應用判據(jù)的應用2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系62022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系72022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系8一、穩(wěn)定性基本概念一、穩(wěn)定性基本概念 1 1、穩(wěn)定性穩(wěn)定性 任何系統(tǒng)在擾動的作用下都會偏離原平衡狀態(tài)，產生初任何系統(tǒng)在擾動的作用下都會偏離原平衡狀態(tài)，產生初始偏差。始偏差。 所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在擾動消失后，由初始偏差狀態(tài)恢所謂

6、穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在擾動消失后，由初始偏差狀態(tài)恢復到原平衡狀態(tài)的性能。復到原平衡狀態(tài)的性能。 4.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性2 2、平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)系統(tǒng)所受的作用力達到平衡，系統(tǒng)所受的作用力達到平衡，使系統(tǒng)處于穩(wěn)定（不運動）的狀態(tài)。使系統(tǒng)處于穩(wěn)定（不運動）的狀態(tài)。稱為平衡狀態(tài)。稱為平衡狀態(tài)。ab2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系94.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系104.2.1 SIS

7、O4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系114.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系124.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系134.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性李雅普諾夫（漸進）穩(wěn)定性定義：若線性系統(tǒng)在

8、初始擾動的影響下，其動態(tài)過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零或原平衡工作點，則稱系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。反之，若初始擾動的影響下，系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。在古典控制理論中的穩(wěn)定均指漸進穩(wěn)定！2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系144.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性由穩(wěn)定性定義可知：1）線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)自身的固有特征（結構、參數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號無關。2）若處于平衡狀態(tài)的線性定常系統(tǒng)在脈沖信號的作用下，系統(tǒng)的響應最終能夠回到平衡狀態(tài)，則該線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定。2022-3-9北京科

9、技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系154.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性11( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )Y sC sG s U sG sc tL C sL G s 所所以以對于脈沖響應，我們有：對于脈沖響應，我們有：() 1Lt 顯然，系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于顯然，系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于G(sG(s) )極點在極點在S S平面中的位置。平面中的位置。推論推論1 1：如果當時間趨于無窮時，線性定常系統(tǒng)的如果當時間趨于無窮時，線性定常系統(tǒng)的脈沖脈沖響應函數(shù)趨于零響應函數(shù)趨于零，則該線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定。，則該線性定常系統(tǒng)

10、穩(wěn)定。系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)是穩(wěn)定的。lim ( )0tc t 系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)簡證：簡證：2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系164.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性若系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點全部 位于S左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。則脈沖響應為：則脈沖響應為： 令系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)含有令系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)含有q q個實數(shù)極點和個實數(shù)極點和r r對復數(shù)對復數(shù) 極點：極點：)2()()()()(22111+P+P+PnknkkrkjqjimissPsZsKssGwwxf+rkrkknk

11、tkknktkqjtpjteCteBeAtgnkknkkj112211cos1sin)(xwxwwxwx顯然只有當系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點全部位于顯然只有當系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點全部位于S S左左半平面時，半平面時，g(t)|g(t)|t t 0 0 成立，即系統(tǒng)才穩(wěn)定。成立，即系統(tǒng)才穩(wěn)定。 2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系17j0j0j0j0j04.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系184.2.1 SISO4.2.1 SISO

12、線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性如果當時間趨于無窮時，線性定常系如果當時間趨于無窮時，線性定常系統(tǒng)的統(tǒng)的階躍響應函數(shù)趨于某一個常數(shù)階躍響應函數(shù)趨于某一個常數(shù)，則該線性，則該線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定。定常系統(tǒng)穩(wěn)定。 這個推論的證明請同學們自行完成。這個推論的證明請同學們自行完成。 2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系19二、二、SISOSISO系統(tǒng)階躍響應的穩(wěn)定問題系統(tǒng)階躍響應的穩(wěn)定問題實根情況：實根情況：2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系20虛根情況：虛根情況：2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科

13、技大學自動化學院自動化系214.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性臨界穩(wěn)定：當系統(tǒng)的極點有在虛軸上時，系統(tǒng)的輸出將會出現(xiàn)等幅振蕩的狀態(tài)，稱之為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定裕度的概念：S S平面平面2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系22三、三、SISOSISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法：線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法： 求脈沖響應求脈沖響應 求階躍響應求階躍響應 求系統(tǒng)的閉環(huán)特征根求系統(tǒng)的閉環(huán)特征根不易求不易求其它簡單的判定方法其它簡單的判定方法? ?2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動

14、化系234.2.2 Routh4.2.2 Routh穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)(Rouths(Rouths stability criterion) stability criterion) Routh Routh表表將閉環(huán)特征方程將閉環(huán)特征方程的各項系數(shù)，按的各項系數(shù)，按右面的格式排成右面的格式排成RouthRouth表。表。102113212321343212753116420fSeeSdddScccSabbbSaaaaSaaaaSnnnn 000122110 + + + + + + aaSaSaSaSannnnn系統(tǒng)閉環(huán)特征方程系統(tǒng)閉環(huán)特征方程130211aaaaab150412aaaaab132

15、111bab acb153121bab acb2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系24系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的必要條件是系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的必要條件是特征方程的系數(shù)特征方程的系數(shù)均大于零均大于零。如果勞斯表中如果勞斯表中第一列的系數(shù)第一列的系數(shù)均為均為正值正值，則其特征方程式，則其特征方程式的根都在的根都在S S的左半平面，相應的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。的左半平面，相應的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果勞斯表中如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號有變化第一列系數(shù)的符號有變化，則符號的變化，則符號的變化次數(shù)等于該特征方程式的根在次數(shù)等于該特征方程式的根在S S的右半平面上的個數(shù)，相的右半平面上的個數(shù)，相

16、應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。勞勞斯斯穩(wěn)穩(wěn)定定判判據(jù)據(jù)表中表中這樣可求得這樣可求得n+1n+1行系數(shù)行系數(shù) 121211141713131512121311170613150412130211,eeddefbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaab 2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系250103 . 25175 .41423+SSS例例4.2-14.2-1試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。列勞斯表列勞斯表401423103 . 25 .380103 . 25 .4105171SSSS由于該表第

17、一列系數(shù)的符號變化了兩次，所以該方程中有由于該表第一列系數(shù)的符號變化了兩次，所以該方程中有二個根在二個根在S S的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。已知某一調速系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為：已知某一調速系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為：2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系26 4.2.3 Routh4.2.3 Routh判據(jù)的兩種特殊情況判據(jù)的兩種特殊情況勞斯表某一行中的第一項元素等于勞斯表某一行中的第一項元素等于0 0，而該行的其余各項，而該行的其余各項不等于不等于0 0或沒有其余項。或沒有其余項。 以一個很小的正數(shù)以一個很小的正數(shù) 來代替

18、為來代替為0 0的這項，據(jù)此算出其的這項，據(jù)此算出其余的各項，完成勞斯表的排列。余的各項，完成勞斯表的排列。解決的辦法解決的辦法若勞斯表第一列中系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)若勞斯表第一列中系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在就等于該方程在S S右半平面上根的數(shù)目，相應的右半平面上根的數(shù)目，相應的 如果第一列如果第一列 上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號相同，則上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號相同，則表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應的系統(tǒng)為表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應的系統(tǒng)為結結論論2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系27已知系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為

19、已知系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為02223+SSS試判別相應系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試判別相應系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2)(022110123SSSS由于表中第一列由于表中第一列 上面元素的符號與其下面元素的符號相同，上面元素的符號與其下面元素的符號相同，所以該閉環(huán)特征方程中有一對共軛虛根存在，相應的系統(tǒng)為所以該閉環(huán)特征方程中有一對共軛虛根存在，相應的系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定系統(tǒng)( (這在工業(yè)上屬于不穩(wěn)定的系統(tǒng)這在工業(yè)上屬于不穩(wěn)定的系統(tǒng)) )。例4.2-2列勞斯表列勞斯表2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系28勞斯表某一行元素全為勞斯表某一行元素全為0 0。這表示相應方程中含有

20、一些大。這表示相應方程中含有一些大小相等符號相反的實根或共軛虛根小相等符號相反的實根或共軛虛根( (關于原點對稱的根關于原點對稱的根) )。 利用系數(shù)全為利用系數(shù)全為0 0行的上一行系數(shù)構造一個輔助多項行的上一行系數(shù)構造一個輔助多項式，并以這個輔助多項式導數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為式，并以這個輔助多項式導數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全全0 0的行。從而完成勞斯表的排列。的行。從而完成勞斯表的排列。解決解決辦法辦法關于原點對稱的根可以通過求解這個輔助方程式得到，而關于原點對稱的根可以通過求解這個輔助方程式得到，而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。若勞斯表第一列中系數(shù)的符號有變化，其變化的

21、次數(shù)就等若勞斯表第一列中系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在于該方程在S S右半平面上根的數(shù)目，相應的右半平面上根的數(shù)目，相應的如果第一列如果第一列上的元素沒有符號變化，則表示該方程中有共上的元素沒有符號變化，則表示該方程中有共軛純虛根存在，相應的系統(tǒng)為軛純虛根存在，相應的系統(tǒng)為結結論論4.2.3 Routh4.2.3 Routh判據(jù)的兩種特殊情況判據(jù)的兩種特殊情況2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系2916038166248000161220161221620810123456SSSSSSS由于第一列的系數(shù)均由于第一列的系數(shù)均為正值，表明該方程

22、為正值，表明該方程在在S S右半平面上沒有右半平面上沒有特征根。特征根。該系統(tǒng)處于臨界該系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)。 已知系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為已知系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為試判別相應系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試判別相應系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例4.2-3列勞斯表列勞斯表ssdssdF248)(3+2,2jj令令F(sF(s)=0)=0，求得：，求得：sssF16122)(24+=2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系304.2.4 Routh4.2.4 Routh判據(jù)的推廣判據(jù)的推廣實際系統(tǒng)希望實際系統(tǒng)希望S S左半平面上的根距離左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。這種系統(tǒng)在系

23、統(tǒng)虛軸有一定的距離。這種系統(tǒng)在系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生一定變化時仍能保持穩(wěn)定。參數(shù)發(fā)生一定變化時仍能保持穩(wěn)定。 此法可以估計一個穩(wěn)定系統(tǒng)的所有閉環(huán)特征根中此法可以估計一個穩(wěn)定系統(tǒng)的所有閉環(huán)特征根中最靠近虛軸的根離虛軸有多遠，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定最靠近虛軸的根離虛軸有多遠，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的的“程度程度”穩(wěn)定裕度。穩(wěn)定裕度。 令令s=ss=s1 1-a-a，代入原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程中，得到，代入原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程中，得到以以s s1 1 為變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該為變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線方程中是否有根位于垂線s s1 1=-a=-a右側。右側。1sa02

24、022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系31用勞斯判據(jù)檢驗下列特征方程用勞斯判據(jù)檢驗下列特征方程例例4.2-44.2-4列勞斯表列勞斯表041310223+SSS是否有根在是否有根在S S的右半平面上，并檢驗有幾個根在的右半平面上，并檢驗有幾個根在 的右方。的右方。1S42 .121081304101320123SSSS第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。s s1 1s s-1 -10 0j j2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系32令令S=Z-1S=Z-1代入

25、特征方程：代入特征方程：04) 1( 3) 1(10) 1(223+ZZZ014223+ZZZ式中有負號，顯然有根在式中有負號，顯然有根在1S的右方的右方。列勞斯表列勞斯表12114120123SSSS第一列的系數(shù)符號變第一列的系數(shù)符號變化了一次，表示原方化了一次，表示原方程有一個根在垂直直程有一個根在垂直直線線 的右方。的右方。1S041310223+SSS2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系334.2.5 Routh4.2.5 Routh判據(jù)的應用判據(jù)的應用例例4.2-54.2-51 1 系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定范圍的確定系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定范圍的確定已知某調速系統(tǒng)的特

26、征方程式為已知某調速系統(tǒng)的特征方程式為 0)1 (16705175 .4123+KSSS求該系統(tǒng)穩(wěn)定的求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K K值范圍。值范圍。)1 (167005 .41)1 (16705175 .410)1 (16705 .41051710123KSKSKSS+由勞斯判據(jù)可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數(shù)由勞斯判據(jù)可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數(shù)必須全為正值：必須全為正值：+0)1 (16700)1 ( 2 .40517KK9 .111K列勞斯表列勞斯表2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系34第一列均為正值，第一列均為正值，S S全部位全部位

27、于左半平面，故系統(tǒng)穩(wěn)定。于左半平面，故系統(tǒng)穩(wěn)定。已知一單位反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，試回答：已知一單位反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，試回答： )(sR)(sCsKt）（10)5(20+sss)(sGc時，閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？時，閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？ ssKsGpc) 1()(+時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是什么？時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是什么？1)(sGc例4.2-61)(sGc20152075020155010123SSSS時，閉環(huán)系統(tǒng)時，閉環(huán)系統(tǒng)的的特征方程為特征方程為: :020501523=+SSS2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系35閉環(huán)特征方程為：閉環(huán)特征方程

28、為： 020205015234+ppKSKSSSssKsGpc) 1()(+開環(huán)傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)： )10)(5() 1(20)()(2+SSSSKsGsGpc列列勞勞斯斯表表432101502015200750202015750202015 2015(75020)/1520pppppPppsKpsKKsKKKKsKsK2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系36 因此，利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)一因此，利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)一個或兩個可調參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。個或兩個可調參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定第一列的系數(shù)必須全為正值欲使系統(tǒng)穩(wěn)定

29、第一列的系數(shù)必須全為正值 0pK5 .37020750ppKK020525015152075001520750)151520750(20pppppKKKKK5 .26pK5 .260pK2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系37+)sT)(sT( sk1121+系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：0221321+kss )TT(sTT02121+kTkTTT01121+kTT為穩(wěn)定條件為穩(wěn)定條件例4.2-7系統(tǒng)結構圖如下所示，確定系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定的條件。系統(tǒng)結構圖如下所示，確定系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定的條件。 S3 T1T2 1S2 T1+T2 kS1 0S0 k 0

30、121212(T +T )-kTTT +T2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系38當當K=2K=2時，時，RouthRouth表的第三、表的第三、五行元素全為五行元素全為0 0。系統(tǒng)將有對稱于系統(tǒng)將有對稱于原點的閉環(huán)特征原點的閉環(huán)特征根。根。2 2 求特殊情況下系統(tǒng)的閉環(huán)特征根求特殊情況下系統(tǒng)的閉環(huán)特征根例例4.2-84.2-8已知某系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：已知某系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為： 5432SSKS2S +S+1=0+試確定使系統(tǒng)有對稱于原點的閉環(huán)特征根的試確定使系統(tǒng)有對稱于原點的閉環(huán)特征根的K K值，并求出此時值，并求出此時系統(tǒng)的所有閉環(huán)特征根系統(tǒng)的

31、所有閉環(huán)特征根。543210S1K1S121SK-20S31K-2S3S142S2S10+ ，進而得，進而得列勞斯表列勞斯表2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系394.3 4.3 狀態(tài)空間表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定狀態(tài)空間表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定定理定理5.1:5.1: 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) xAxbuycxdu+平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) 漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣A A的所有特征值均具有負實部的所有特征值均具有負實部. . 0ex 證明：證明：，由其齊次解，由其齊次解 可知：若可知：若A A的的特征特征0( )( )Atx te x t則當則當

32、 有界，有界， 0(t)0(t)。0 x( )x t值均具有負實部。值均具有負實部。 系統(tǒng)輸出穩(wěn)定：系統(tǒng)輸出穩(wěn)定：如果系統(tǒng)對于有界輸入如果系統(tǒng)對于有界輸入u u 所引起的輸出所引起的輸出y y是有是有 界的界的. .則稱系統(tǒng)為輸出穩(wěn)定則稱系統(tǒng)為輸出穩(wěn)定. .定理定理5.25.2：線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) 輸出穩(wěn)定的充要條件是傳輸出穩(wěn)定的充要條件是傳 函函 的極點全部位于的極點全部位于s s的左半平面的左半平面. . ( , , )A b c1( )()G Sc SIAb2022-3-9北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系40 設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為: :1011,0011xxuyx + 試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性. . 1) 1)有有A A的特征方程的特征方