2011年合工大工程碩士矩陣?yán)碚摽荚嚪秶c重要習(xí)題

1、2011年合工大工程碩士矩陣?yán)碚摽荚嚪秶c重要習(xí)題1、兩個(gè)子空間的直和例：設(shè)V1和V2分別是齊次方程組x1+x2+.+%=0和x1=x2=.=xn的解空間，證明V=mv2。證明：因方程組xi+x2+.+xn=0和xi=x2=.=%,只有零解，故V11V2=0,從而V1+V2=V1©V2,且V何V2是V的子空間，即V何V2<V。又Vi的維數(shù)是n-1,V2的維數(shù)是1故V13V2的維數(shù)是n維，所以MsynV。注：任給一個(gè)V的子空間v1，可以找到子空間V2使得：V=v1©v2此式稱為V的一個(gè)直和分解，V1,V2稱為互補(bǔ)空間2、線性空間中線性變換的象空間與核例題1:證明：線性空

2、間V的線性變換T的象空間和核都是V的子空間證明：因?yàn)閂非空，所以TV步空_x,yV,.-PxyV,xVTxTy-T(xy)TV)Tx=T(x)TV)故是T(V足V勺線性子空間因?yàn)樗苑强找驗(yàn)?WkeT(所以TeH交)Vx,ywkeT(V>,wP則Tx=T»0于是T(xy)=TxTy=瞅xykTer()T(九x)=，uTx故KxWkTr()因此keT(用M性子空間。例題2:線性空間V中的線性變化T的象空間和核的維數(shù)之和等于V的維數(shù)dim(T(V)+dim(ker(T)=dim(V)證明：設(shè)dim(V)=ndim(ker(T)=s只需證明dim(T(V)=n-s即可取ker(T)的

3、一組基x1,x2,.,Xs再添加n-s個(gè)向量將這組向量擴(kuò)充為V的一組基xi,X2,.,xs,ys+i,ys+2,.,*對(duì)-x-VX=?JX什九X2.十九sxs+Ns+ys+1.+yynn則Tx=iTxi-Tx2sTxssTysi.Tynn=JsiTys1.nTynT(V)=SparTysi,Tysi,.,Tysi現(xiàn)在只需證明Tys+i,Tys節(jié),Tyn線性無關(guān)。設(shè)ksiTysiks2Tys2.knTyn=0則：T(ksiysiks2ys.2.knyn)=0故ksiTysiks2Tys2.knTynker(T)于是ks+iys+i+ks節(jié)ys+2+knyn可由玉？2，.?$線性表示即ksiysi

4、ks2ys2.knyn=lixi12x2.|sxs故有l(wèi)ixi12x2.lsxs-ksiysi-ks2ys2-.-knyn=0I3xi,x2,.,xs,ys+,.,yn是V的一組基，所以|i=l2=.=ksi=.=kn=0因此Tys乜Tys節(jié),.，Tyn線性無關(guān)3、過渡矩陣線性變換在給定基下的矩陣?yán)}：已知i3中的線性變換T在基彳=(-i,i,i：T、2=(i,0,-1T二7。/，4i0i'下的矩陣是ii0L2l求T在基e=(i,0,0)T,e2=(Q1,0)t,q=(0,0,i)T下的矩陣。解：設(shè)基。£,£到e©©的過度矩陣為Q2,3-1<

5、;0即:1J所以T在基0,62,4下的矩陣B為,101_1一B=Q110QL21-110'0111=10/11041j_11八_12110,1-11-2=2202024、定理：內(nèi)積空間中必存在標(biāo)準(zhǔn)正交基(施密特正交化)例：設(shè)61,62,63,04©是i5中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基VnSpaMctcazRs其中1=G.65,：2=61-0264/3=2610263求V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基解：設(shè)k1al+k2a2+k3a3=0,即有kk22k3s-k2-k362ksQ*264g=0因?yàn)槎?#169;©©,線性無關(guān)，故k1=k2=k3=0因此口口2,口3線性無關(guān)，所以1al

6、p2p3是V的一組基。現(xiàn)將其化為標(biāo)準(zhǔn)正交基，首先將其正交化取1=：1=q.65,2=)2二上，11,1231,112,22e一%,64,61,652-61-6264_4,1561-65e65,6165H©-戈.64-20-65="1一%64-晶v、(261+62+63,61+65),.(2s+62+6356|-金+a-65)3:26162ce6511-6|65,6165206264265,2616264265=26Q?©3一反G.6二向金3-65再將其單位化煮(el-20+2Q-皿2_22一J2,21=2eie263-655、正交矩陣與酉矩陣的性質(zhì)與判定例1:設(shè)口

7、是n維歐氏空間V中的單位向量，定義V中的變換T為Tx=x-2(ot,x/。證明T為正交變換證明：-x,y三V,-九三：T(x加(x*2(,x：y)=(x+y)2Mx+P(y,)=x-2(x:)y：2(y,=)TxTyT(x)-x-2：(,x)='x-2,(t,x-)='x'2(x,Tx故T是V的線性變換-xV2Tx=(TxTx>x(-2僅二，x)一,二x2(,)=(x,x>x,2僅二；)：(x2：(x,);x:(2(x:),2(,)=(x,x>2(x,x)(-：)x2：(x)(二,x2:4(,)(,)222=(x,x>2(x2-)：2(2,)x4

8、2(,)=(x,x>|x|222故|Tx|=|x|,所以T是正交變換例2證明：n階的方陣A為酉矩陣的充要條件是對(duì)任何xwin都有|Ax|=|x|證明："="(必要性)注：酉矩陣AhA=AAh=E2若A是酉矩陣，則對(duì)Vx=i有|Ax|=(Ax,Ax)=(Ax)(Ax)|Ax|2=(xHAh)Ax=xH(AhA)x=xHEx=xHx=(x,x)=|x|2則Ax=x取In中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基e=（1,0，,0）T©=（0,i,.,0）T,.©=（0,0，,1）T,則存在唯一的線性變換T,使得T在基0,62,.,6n下的矩陣是A即：T（e,殳,.,en）=（

9、ei©,.,en）A（證明T是正交變換）X:x=（Xi,X2,.,Xn）TT（ei,e2,.,en）x=（e,.,en）Ax=Tx=Ax又網(wǎng)=|x|，叫Tx|=|x|因此T是正交變換，從而A是酉矩陣。6、矩陣A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形（初等因子和不變因子）2例題：求矩陣A=2l1-1-11-1-2都的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形、不變因子、初等因子。2>解:-2-211-11-11-2-2-1+1110<03上2©32c2,（）C3.-1九-2九一12九一21_1_九？+4九3,00'九-1020（九T）-22110<002九-2一九2十4九一3,故A的不變因子是1,九一1,（

10、九一1）2初等因子是九-1,（九-if因九-1對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊（1）（九-12對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊0、110、1或J=010b<00b10故A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為J=01<00求約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：寫出A的特征矩陣E-A求出KEA的全部初等因子寫出每個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊寫出約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形例題：設(shè)A=-157、凱萊-哈密頓定理432，證明：B=2A2A19A-29A36E為可逆矩陣并將B表示為A的多項(xiàng)式。證明：A的特征多項(xiàng)式為f°J=KE-A=-1-215-5=2-6-7由凱萊-哈密頓定理得：2f(A)=A-6A+7E=0of(九)=|九E-A，則f(A)=02-1、【26J因24-12'

11、;319'2-29-36=2-252-6'7)+p+1故B=2A4-12A319A2-29A36E=2A25fAAE=AE=因?yàn)锽=14#0,所以B可逆。將人=8E代入f(A戶A26A+7E=0中得:(BE)26(BE)7E=B2-8B14E=02B2-8B-14E-ilB(B-8E)=E故B，=V(B-8E)=-1-4(A-7E)8、線性空間的范數(shù)沒有例子就把定義搬上了定義：設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，如果對(duì)V中的任意向量V都有一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為岡且滿足下列的性質(zhì)1>正定性：當(dāng)X#0時(shí),|X>02>齊次性:對(duì)WPKx|=|那x|3三角不等式：Vx,yV

12、,x+y稱為Ix|的x范數(shù)并稱定義了范數(shù)的線性空間為賦范空間其他重要例題例題1:設(shè)為？2,.,%是數(shù)域P上的線性空間V的一組向量，則由他們的所有線性組合構(gòu)成的集合S=%xi+兒2x2+.+九nxn|YP,i=1,2,.,n是V的子空間。證明：顯然S非空，九WP-：=kixikx2.kxnS-=lixilx2.lxn-Sa+P=(kl+li)xi+(k2+12)x2+.+(kn+ln)xnWS(ki+li)WP),=('ki)xi('k2)x2.(kn)xnS故S是V的子空間稱S為由xi,x2,.,xn生成的子空間記作S=Spanxi,x2,.,xn)S=Spanixi,x2,.,xn：'xi,x2,.,xn的一個(gè)最大線性無關(guān)組就是SpaMxi,x2,.,xn的一組基SpaMxi,x2,.,xn的維數(shù)=秩(xi,x2,.,xn)例題2:在n維的向量空間in中，對(duì)向量x=(-i,-2,.,-n)T,y=(匕下2,.卅n)T定義(x,y)=q良1+W匕+£&=yHx其中yH表示y的共腕轉(zhuǎn)置則(x,y)為i“中的內(nèi)積Uj-q+勺|=o=(xM目+44+V=(x&#