GPS高程擬合模型誤差的最小二乘配置補償

1、GPS高程擬合模型誤差的最小二乘配置補償李沖季靈運張冬菊(長安大學(xué)地質(zhì)工程與測繪工程學(xué)院西安710054)摘要：運用常規(guī)的擬合模型求解大范圍高程異常必然存在較大的模型誤差，鑒于模型誤差的不確定性，可以將模型誤差看作信號采用最小二乘配置法來處理，本文給出了具體模型和計算方法，并對一個大測區(qū)的GPSK準數(shù)據(jù)進行解算，獲得了滿意的結(jié)果。最后通過算例分析了先驗中誤差對模型精度的影響。關(guān)鍵詞：高程異常模型誤差最小二乘配置信號協(xié)方差1引言GPS測量已廣泛應(yīng)用于實踐，采用GPS技術(shù)進行控制網(wǎng)觀測，可達到優(yōu)于12Ppm的基線精度，轉(zhuǎn)換成坐標，可得到高精度的大地高。但我國用的高程系統(tǒng)是基于似大地水準面的正常高系

2、統(tǒng)。因此，如何求取高精度的高程異常成為GPS代替?zhèn)鹘y(tǒng)水準的關(guān)鍵。目前常用的方法有多項式擬合法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法，樣條函數(shù)法，移去恢復(fù)法等。多項式擬合法具有程序設(shè)計簡單，直觀，易操作等優(yōu)點。但是由于其沒有顧及到似大地水準面的物理性質(zhì)，擬合函數(shù)始終只能是高程異常的趨勢面，與高程異常的實際值必然會有一定差異，由于似大地水準面是一個非常復(fù)雜且不規(guī)則的曲面，這種差異可以解釋為擬合模型的不準確造成，理論上講，由于地殼的不均衡和地形起伏的影響，擬合模型在不同點的高程異常擬合誤差可以看作是隨機函數(shù)，即所謂的信號，采用最小二乘配置法來處理。2最小二乘配置原理2.1 數(shù)學(xué)模型L=AX+BY+V(1)(X為系統(tǒng)性參數(shù)，丫

3、為隨機性參數(shù))E(V)=0,£v=E(VVT)E(Y)=0£Y=EYTY)(2)(3)、L=B'yBT二；2.2 估值公式V=AX?BY?-LVTPM+Y?tfyy?=MIN(4)構(gòu)造極值函數(shù)12V=VTP/V+?YTYPY2TK?AX?B,LV(5)令抻=2VTPV-2KT=0有.:V_1，、V=P&K(6)?EpP丫+2KTB=0有yY?=-fy、tk(7)-=2KTA=0(8)(6),(7),(8)式結(jié)合(3)式得tT1T/=(APlA)APlL(9)Y?=Py，BTPL(L-AX?)(10)V=_PaXPl(L-AX?)(11)顧及221D.=；：.

4、-0QaP一221Dy=C-°Qyy=APy一TDL=BDYB-D.得計算X,Y平差值得實用公式：父TAT(BDyBT+Dd，A/T(BDyBT(12)=DyBT(BDyBT+D1工(L_A*)(13)3協(xié)方差函數(shù)的確定由(12),(13)式可以看出，求解X?,Y?的關(guān)鍵是確定Dy。嚴格來說，協(xié)方差陣各元素應(yīng)該通過大量觀測數(shù)據(jù)經(jīng)統(tǒng)計得出。介于實際條件的限制，這不可能實現(xiàn)。通常采用協(xié)方差函數(shù)來確定。使用比較廣泛的有高斯函數(shù)f=b0e*23(d為兩點之間的距離，b0,k為參數(shù))。由于經(jīng)驗協(xié)方差函數(shù)不具有物理意義且其參數(shù)的選取還沒有成熟的理論依據(jù)。本文的思想是將配置模型中的信號看作與模型誤

5、差有關(guān)的量，由于Y是隨機性參數(shù)，其主要作用是將高程異常趨勢面與實際高程異常的差異作為信號參與模型平差，而模型誤差產(chǎn)生原因未知，但其主要反映的也是擬合高程異常趨勢面與實際高程異常的差異，所以當(dāng)模型誤差存在時可以近似的認為Dy=kD&4k=<?02/tT02表1gps測區(qū)數(shù)據(jù)點號X)坐標(Y)高程異常點號坐標(X)Y高程異常GZ013898355.158503545.680-9.889GZ133896869.951502721.508-9.920GZ023897853.977503127.228-9.909GZ143897504.722503382.053-9.904GZ033897

6、430.090502766.579-9.867GZ153898421.693504078.446-9.812GZ043897108.797502474.698-9.885GZ163896942.654503224.419-9.797GZ053896787.254502196.288-9.891GZ173897933.797504234.854-9.840GZ063896762.544504972.870-9.905GZ183897658.140504004.216-9.881GZ073896809.491504234.074-9.968GZ193897240.237503526.748-9.9

7、14GZ083896648.477503835.243-9.986GZ203896805.849503073.362-9.942GZ093896374.216503364.758-10.013GZ213896637.104502950.636-9.975GZ103895917.833503242.197-10.081GZ223896374.865502658.821-9.985GZ113896265.768502757.228-10.046GZ233896398.945503098.644-10.055GZ123896436.015502411.624-9.865GZ243896786.061

8、503357.630-9.952GZ253898391.822504597.136-9.9684算例某地區(qū)的GPS網(wǎng)共有25個GPS點，全部聯(lián)測三等水準，表1列出了所有GPS點的平面位置和計算所的高程異常。、二=0.01m由于本地區(qū)地勢比較平坦，故采用平面擬合法。1)采用常規(guī)平面擬合時，其模型為二a0axa?y米用最?。撼朔ǖ茫翰捎米钚《朔ǖ茫篴0=-286.20148;a1=0.00007396;a2=-0.00002376。其模型為：L=BX-S.-：(X=a。，a1,azT)由此求得的擬合殘差及中誤差見表2表2常規(guī)擬合殘差表點號殘差(m)點號殘差(m)點號殘差(m)點號殘差(m)擬合中

9、誤差(m)GZ010.050GZ080.013GZ15-0.035GZ220.02c?=0.058GZ020.042GZ090.031GZ16-0.139GZ230.082GZ03-0.022GZ100.069GZ17-0.047GZ240.001GZ04-0.021GZ110.071GZ18-0.021GZ250.106GZ05-0.032GZ12-0.089GZ19-0.007GZ06-0.086GZ13-0.01GZ20-0.001GZ07-0.002GZ140.006GZ210.0232)將模型誤差看作隨機函數(shù)的最小二乘配置法顧及下列三式及(12)、(13)式Ds=KD.K=?02/二

10、0222D1二00P-；0I解得a0=-286.2015a1=0.00007a2=-0.000024擬合殘差、中誤差及信號值見表3。表3最小乘配置擬合結(jié)果點號信號S殘差(m)點號信號S殘差(m)點號S信號S殘差GZ01-0.0480.001GZ10-0.0670.002GZ190.0070.000GZ02-0.0410.001GZ11-0.0690.002GZ200.0010.000GZ030.022-0.001GZ120.087-0.003GZ21-0.0220.001GZ040.021-0.001GZ130.009-0.0003GZ22-0.0190.001GZ050.031-0.001G

11、Z14-0.0050.0002GZ23-0.0790.002GZ060.084-0.003GZ150.034-0.001GZ24-0.0010.000GZ070.0020.0002GZ160.135-0.004GZ25-0.1030.003GZ08-0.0130.0004GZ170.046-0.001GZ09-0.030.001GZ180.020-0.001擬合中誤差(m):二？=0.0017m3）兩種方法的殘差比較圖如下:由上表3及殘差比較圖可看出，將模型誤差看作信號的最小二乘配置法解算的結(jié)果非常理想。擬合殘差最大僅4mm,很多點的擬合殘差都不足1mm。擬合中誤差不到2mm。而系統(tǒng)性參數(shù)的解

12、算結(jié)果沒有多大變化，這說明模型誤差被大幅度削減。4）考慮到本地區(qū)的高程異常數(shù)據(jù)先驗中誤差比較小，為了找出起始誤差對本模型的影響，人為的令先驗中誤差分別為m1=0.03m,m2=0.05m,m3=0.08m進行解算。發(fā)現(xiàn)擬合系數(shù)基本沒有變化，擬合中誤差分別為RQIZm,ff2=0.025m,。3=0.038m,擬合殘差圖見下圖。殘差比較圖0151r11-02111110510152025點號從擬合中誤差及上面殘差比較圖可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)先驗中誤差越大時，擬合效果越差，但仍比常規(guī)擬合模型效果要好。5結(jié)論1）由以上算例可知，即使比較平坦的地區(qū)，運用常規(guī)的平面擬合模型仍會含有較大模型誤差。運用最小二乘配置法處理后，其解算精度大幅度提高。最小二乘配置模型中信號的協(xié)方差陣的確定是關(guān)鍵問題，將模型誤差視作信號，使用D仔&2/所2)*D人來確定信號的協(xié)方差函數(shù)方法，計算簡口一'0'0/便，經(jīng)算例驗證，獲得了滿意的結(jié)果。2)隨著擬合數(shù)據(jù)先驗中誤差的增大，最小二乘配置模型的解算精度逐漸降低，但仍優(yōu)于常規(guī)模型。當(dāng)先驗中誤差小于5個厘米時，其解算精度很高。目前應(yīng)用GPS方法解算大地高的精度已經(jīng)可以輕松達到厘米級，條件好時可以達到毫米級，這說明運用最小