下冊(cè)因式分解幾乎所有方法添項(xiàng)等

1、因式分解的方法教學(xué)內(nèi)容：因式分解方法1 .提取公因式法：例：將2x3n,0x2ny3+50xny6分解因式.解：原式=2xn(x2n0xny3+25y6)=2xn(x：y3)22 .公式法：22a-b=(a-b)(a+b)a2+2ab+b2=(a=tb)2a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)例：64x6_y12解：原式=(8x3+y6)(8x3-y6)=(2x+y2)(4x2-2xy2+y4)(2x_y2)(4x2+2xy2+y4)3 .分組分解法：例：(am+bn)2+(an-bm)2+c2m2+c2n2解：原式=a2m2+b2n2+2abmn

2、+a2n2+b2m2-2abmn+c2m2+c2n2=a2m2+b2n2+a2n2+b2m2+c2(m2+n2)=(m2+n2)(a2+b2+c2)4 .十字相乘法：例：12x2+i0xy2x+5y-9解：原式=12x2+(i0y2)x+5y-92x16x-5y-9原式=(2x+1)(6x+5y-9)5 .拆添輔助項(xiàng)法：例：分解因式x3+3x2-4解：把工拆成()十(二).原式=x3+3x21-3=(x3)+3(x2-1)=(x-1)(x2+x+1)+3(x-1)(x+1)=(x-1)(x2+4x+4)=(x-1)(x+2)26 .配方法：例：將x4+y4+z4-2x2y2-2x2z2-2y2

3、z2分解因式.解：原式=(x4+2x2y2+y4)-2(x2+y2)z2+z4-4x2y2=(x2+y2)2-2(x2+y2)z2+z4-4x2y22,2222=(x+y節(jié)-(2xy)=(x2+y2-z2+2xy)(x2+y2-z2-2xy)=(x2+y2)2-z2(x2-y2)2-z2=(x2+y2+z)(x2+y2-z)(x2-y2+z)(x2寸-z)7 .換元法：例：(x2+3x-2)(x2+3x+4)T6解：令x2+3x=y那么原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(yf.22.=(x+3x+6)(x+3x-4)2=(x2+3x+6)(x+4)(x/)8 .待定

4、系數(shù)法：例：分解因式x2+2xy_8y2+2x+14y3解：x2+2xy-8y2=(x-2y)(x+4y):設(shè)原式=(x-2y+m)(x+4y+n)=x2+2xy-8y2+(m+n)x+(4m-2n)y+mn比擬系數(shù)得：產(chǎn)=3.n=-1E+n=2m-2n=14解得：n=-3.原式=(x-2y+3)(x+4y/)分組分解因式的幾種常用方法.1 .按公因式分解例1分解因式7x2-3y+xy+21x.分析：第1、4項(xiàng)含公因式7x,第2、3項(xiàng)含公因式y(tǒng),分組后又有公因式(x-3),解：原式=(7x2-21x)+(xy-3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y).2 .按系數(shù)分解例2分

5、解因式x3+3x2+3x+9.分析：第1、2項(xiàng)和3、4項(xiàng)的系數(shù)之比1:3,把它們按系數(shù)分組.解；原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3).3 .按次數(shù)分組例3分解因式m2+2m-n-3m-3n+n2.分析：第1、2、5項(xiàng)是二次項(xiàng),第3、4項(xiàng)是一次項(xiàng),按次數(shù)分組后能用公式和提取公因式.解：原式=(m2+2mn+n2)+(-3m-3n)=(m+n)2-3(m+n)=(m+n)(m+n-3).4 .按乘法公式分組例4分解因式/分析：第1、3、4項(xiàng)結(jié)合正好是完全平方公式,分組后又與第二項(xiàng)用平方差公式.解：原式=(*一療=(a-y-c)3-b2=(a-；

6、-c-bXa_+b).5 .展開(kāi)后再分組例5分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2).分析：將括號(hào)展開(kāi)后再重新分組.+ad)=解：原式=abc2+abd2+cda2十cdb2=(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)=ac(bc+ad)+bd(bc(bc+ad)(ac+bd).6 .拆項(xiàng)后再分組例6分解因式x2-y2+4x+2y+3.分析：把常數(shù)拆開(kāi)后再分組用乘法公式.-y+3)解：原式=x2-y2+4x+2y+4-1=(x2+4x+4)+(-y2+2y-1)=(x+2)2-(y-1)2=(x+y+1)(x7 .添項(xiàng)后再分組例7分解因式x4+4.分析：上式項(xiàng)數(shù)較少,較難分解,可添項(xiàng)

7、后再分組.解：原式=x4+4x2-4x2+4=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)二、用換元法進(jìn)行因式分解用添加輔助元素的換元思想進(jìn)行因式分解就是原式繁雜直接分解有困難,通過(guò)換元化為簡(jiǎn)單,從而分步完成.例8分解因式(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16.分析：將令y=x2+3x,那么原式轉(zhuǎn)化為(y-2)(y+4)-16再分解就簡(jiǎn)單了.解：令y=x2+3x,那么原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4).因此,原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x-1)(x+4)(x2+3x+6).二:、用求根法講行因式分解例9分解因式x2

8、+7x+2.分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成,但仍可以分解,可用先求該多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)方程的根再分解.解,解方程/+可得“二|一3,7+屈啊-+7區(qū)+2=(工11Xx+;四、用待定系數(shù)法介解因式例10分解因式x2+6x-16.分析：假設(shè)能分解,那么應(yīng)分解為兩個(gè)一次項(xiàng)式的積形式,即(x+bi)(x+b2),將其展開(kāi)得x2+(bi+b2)x十bb2與x2+6x-16相比擬得b1+b2=6,bi-b2=-16,可得bi,b2即可分解.解：設(shè)x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)那么x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1,b2-x2+6x-16=(x-2)(x+8).活用配方法分解因

9、式應(yīng)用配方法分解因式,常能將多項(xiàng)式配成M2-N2的形式并應(yīng)用開(kāi)方差公式分解.例1分解因式4a2-9b2+12a+6b+8分析第一、三項(xiàng),第二、四項(xiàng)分別結(jié)合后再配以恰當(dāng)?shù)某?shù)分別構(gòu)成完全平方公式,進(jìn)而兩者又構(gòu)成一平方差,因此拆常數(shù)項(xiàng)8=91即可.一,2一一、,一2一,、解：原式=(4a12a9)-(9b-6b1)=(2a3)2-(3b-1)2-(2a3b2)(2a-3b4)4224例2分解因式m十mn十n分析此式中各項(xiàng)均為平方式,可采用添項(xiàng)法將式中某一局部配方,構(gòu)造平方差公式解：原式二(m42m2n2n4)-m2n2二(m2n2)2-(mn)2,2222、二(mnmn)(mn-mn)例3分解因式

10、t22(m+n)tmn(m2)(n+2)222分析將多項(xiàng)式中刖兩項(xiàng)t2(m+n)t進(jìn)行配方,添上(m+n)-(m+n)即可分組分解.222斛：原式=t一2(mn)t(mn)一(mn)-mn(m一2)(n2)2222二t-(mn)一(mn)mn2mn(mn)-4mn222二(tmn)T(mn)2(mn)mn(mn)22=(t-m-n)-(m-nmn)=(t-2nmn)(t-2m-mn)4,22、24例4分解因式(a+b)十(a-b)十(ab)分析：此題中只含a+b和a-b兩個(gè)式子,可分別運(yùn)用和差換元后再考慮配方.解：設(shè)a+b=s,ab=t,那么一42244_22422原式=sstt=(s2stt

11、)-st2222=(st)-(st),2.2,、,2.2、=(stst)(st-st)2.,.、2、,一2,.、2=(ab)(a-b)(ab)(a-b)(ab)(a-b)-(ab)(a-b)=(3a2b2)(a23b2)4,例5分解因式(1+b)-2a(1+b)+a(1b)分析此多項(xiàng)式首末兩項(xiàng)是完全平方式,可考慮對(duì)其進(jìn)行配方解：原式4=(1b)22(1b)a2(1-b)a4(1-b)2-2a2(1b2)-2(1b)a2(1-b)22222u(1b)a(1-b)-2a(1b)(1-b),22.2,一、2-(a-abb1)-(2a),22._、,22.,_、=(a-abb12a)(a-abb1-2

12、a)2222=(a1)-b(a-1)(a-1)-b(a-1)=(a1)2-b(a1)(a-1)(a-1)2-b(a1)(a-1)=(a1)(a1-abb)(a-1)(a-1-ab-b)例6分解因式m4+n4+(m+n)4分析將(m+n)4化為(m2+2mn+n2)2,再將m4+n4化為(m2+n2)2-2m2n2,創(chuàng)造用完全平方公式分解因式的條件,便可到達(dá)將原式分解因式的目的解：原式=(m42m2n2n4)-2m2n2(mn)22,22、2-22,2八2、2二(mn)-2mn(m2mnn)/22、222/22、22222二(mn)-2mn(mn)4mn(mn)4mn:2(m2n2)22(m2-n2)mn(mn)2_222二2(mnmn)因式分解是代數(shù)中的重要內(nèi)容,在學(xué)習(xí)中如何進(jìn)行小結(jié)與復(fù)習(xí)一.根據(jù)提、二公式、三分組、四檢查的步驟,效果良好.2.從多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)分析,除提取公因式法外,假設(shè)多項(xiàng)式是兩項(xiàng)式,可能用什么方法(答：平方差、立方和、立方差公式.)假設(shè)多項(xiàng)式是三項(xiàng)的可能用什么方法(答：完全平方公式或十字相乘法.)四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式用什么方法(答：分組分解法.)課后練習(xí)1、填空題(1)如果(1b)-MUb21,貝ijM=.(2)假設(shè)x2+ax+b可以分解成(x+1)(x-2),