2022年(經(jīng)典講義)基本不等式

1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載一、學(xué)問(wèn)梳理1、基本不等式的基本形式：基本不等式與對(duì)勾函數(shù)（ 1）a, bR ，就 a2b2 2ab ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（ 2）a, bR，就ab 2ab ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；2、公式變形：2a2b2ab（ 1） ab；（2） ab ；23、求最值：當(dāng)為定值時(shí)， ab ， a2最大值（）；2b2 有最小值；當(dāng)a +b 或?yàn)槎ㄖ禃r(shí)，有4、運(yùn)用基本不等式時(shí)留意深刻懂得“一正”、“二定”、“三相等” 的意義；5、對(duì)勾函數(shù)yaxb a x0,b0 的圖像與性質(zhì)性質(zhì)：（1）定義域：,00,（2）值域： ,2ab

2、 2ab,（3）奇偶性：奇函數(shù)，函數(shù)圖像整體呈兩個(gè)“對(duì)勾”的外形，且函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)呈中心對(duì)稱，即f xf x0（4）圖像在一、三象限當(dāng) x0 時(shí)，由基本不等式知yaxb x2ab（當(dāng)且僅當(dāng)xb取等號(hào)），a即 f x 在 x=b時(shí)，取最小值a2ab由奇函數(shù)性質(zhì)知：精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁(yè)，共 11 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載當(dāng) x<0 時(shí)，f x在 x=b時(shí)，取最大值a2ab（5）單調(diào)性：增區(qū)間為（b ,），（a,b ）a減區(qū)間是（ 0，

3、b ），（ ab,0 ）a二、典型例題例 1、以下說(shuō)法結(jié)論正確選項(xiàng)（）1x23A yx的最小值是2B yx4x22x25的最小值是2C ysin x, xsin x0, 的最小值是4D yx21的最小值是5變式 1、以下結(jié)論正確選項(xiàng)（）A 當(dāng) x0 且 x1 時(shí)，lg x1 2 lg xB x0 時(shí)，x1 2 xC當(dāng)x 2 時(shí)， x1 的最小值為2xD 0x 2 時(shí)， x1 無(wú)最大值x例 2、（ 1） 設(shè) a0 ， b0 ，如3 是 3a 與 3b 的等比中項(xiàng)，就11ab的最小值為（）1A 8B 4C 1D 4（ 2） 已知 a0,b0 ，且 2ab3 ，就5 +1的最小值為2ab（ 3） 如

4、 0 <x < 3 ，就 1 +x13-x的最小值為（ 4） 如 1x2 ，就1x11的最小值為2x（ 5） 已知 0x2 ，就x2x 的最大值為精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁(yè)，共 11 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載（ 6） 已知 0 <x < 2 ，就 2x2 -233 x 的最大值為（ 7） 已知a, b0 ， a 2b1 ，就 a221b的最大值為變式 2、（ 1）已知 x0, y0 ，且 x2 y1，求 1x1的最小值；

5、y（ 2）已知 a0,b0 ，且 a+2b =3 ，就1+ 4 的最小值為（ 3）如 0x2 ，就 33x123x2 ab的最小值為（ 4）如 1<x < 3 ，就1+1的最小值為x - 13 -x（ 5）已知 0 <x < 4 ，就 -x x-4 的最大值為（ 6）已知 0 < x <2 ，就 -322x2 -3 x 的最小值為（ 7）已知a,b0 ， a 2 +2b2 =1 ，就 a1b的最大值為例 3、已知正數(shù)x、y 滿意 812 ，就 x2y 的最小值為xy3變式 3、已知正數(shù)x、y 滿意 811 ，就 x2y 的最小值為xy2精選名師 優(yōu)秀名師 -

6、 - - - - - - - - -第 3 頁(yè)，共 11 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載例 4、（ 1） 如 x, yR，且 x4 y1 ， 就 xy 的最大值為（ 2） 已知x, yR ，且 xy2 ，就2 x2 y 的最小值為（ 3） 已知x, yR ，且 x +2 y =2 ，就 2 x +4 y 的最小值為變式 4、（ 1）設(shè)x, y 是滿意 2xy4 的正數(shù)，就lg xlgy 的最大值為（ 2）已知x, yR ，且x + 3 y =2 ，就 3x +27 y 的最小值為例 5、如正

7、數(shù)a,b 滿意abab3 ；（1）求 ab 的取值范疇；2 ）求 a+b 的取值范疇；變式 5、如正數(shù)a,b 滿意aba4b5 ；（1）求 ab 的取值范疇；2 ）求 a+b 的取值范疇；精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁(yè)，共 11 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載例 6、（ 1） 如 log 3 m -log 1 n =32 ，就 mn 的最小值為（ 2） 如x, y0,1 ，且 xy1 ，就 log91 x×log 3 31 的最大值為y+m變式

8、 6、（ 1） 如 log 3 1log 1 n =32 ，就 mn 的最小值為（2）如x, y0,1 ，且 xy1，就 -9log1 x .log 3 3y 的最大值為例 7、（ 1） 已知 x >（ 2） 已知 x 10 ，就 x +0 ，就 x +1的最小值為x1的取值范疇為x（ 3） 已知x 1 1，就 x1的取值范疇為x1（ 4） 已知x 1 1，就4 x +1x - 1的取值范疇為變式 7、（ 1）已知（ 2）已知x > 0 ，就x 1 0 ，就x + 2x +1的最小值為4 x1的取值范疇為8x（ 3）已知x 1 1 ，就23x +12x -的取值范疇為1（ 4）已知

9、x 1 1，就4 x +163（ x-的取值范疇為1）精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁(yè)，共 11 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載例 8、（ 1） 已知 x 32 ，就 x +1 的最小值為x（ 2） 已知1 x 22 ，就x + 1 的取值范疇為x（ 3） 函數(shù)f xx291x 29的最小值為變式 8、（ 1）已知x 3 1 ，就 -x-1 的最大值為2x（ 2）已知 1 x2，就4 x +1的取值范疇為x（3）已知1 x42 ，就4 x + 1 的取值范

10、疇為x（4）函數(shù)f x =x2 + 9 +4x2 +的最小值為9（5）函數(shù)f xx11x的最小值為1例 9、（ 1）已知正數(shù)x, y 滿意 xy4 ，就使不等式4 xymxy 恒成立，求 m 的取值范圍；（ 2） 已知不等式（xy ）（ 1a ） 9 對(duì)任意正實(shí)數(shù)x ， y 恒成立，就正實(shí)數(shù)a 的最小值xy為變式 9、（ 1）已知正數(shù)x, y 滿意 xy4 ，就使不等式m（4x +y）.xy 恒成立，求m 的取值范疇；（ 2）已知不等式（xy ）（ 1a ） 4 對(duì)任意正實(shí)數(shù)x ， y 恒成立，就正實(shí)數(shù)a 的xy最小值為精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 6 頁(yè)，共

11、11 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載例 10、（ 1） 函數(shù)f xxx 29的最大值為（ 2） 函數(shù)f xx2x x1的值域?yàn)椋?3） 函數(shù)f xx3x 的值域?yàn)閤2（ 4） 已知 x1 ，求函數(shù)f xx27 x10的最小值x1（ 5）求函數(shù)f就 f x 的最大值為 x x1x 2x在區(qū)間21, 上的最大值； 如區(qū)間改為4,變式 10、（1） 函數(shù)f x =x x2 +（ 2 x 96）的最大值為（ 2）函數(shù)f x =x2 + x +x1（ x .2）的值域?yàn)椋?3）函數(shù)f x =x + 3

12、 +x + 22 x -1 的值域?yàn)榫x名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 7 頁(yè)，共 11 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載（4）已知 x1，求函數(shù)f x =x2 + 9 x-9 的最大值x - 1（ 5）已知 x1 ，求函數(shù)f x =x + 12的最大值x + 7 x + 10三、課后鞏固1、以下各函數(shù)中，最小值為2 的是（）A yx1xx23B ysin x21， x0,sin x2C yx224D yx1x2、如 x<0，就 2 + 3x +x 的最大值是（

13、）A 2+43B 2± 43C 2 43D以上都不對(duì)3、以下命題中正確選項(xiàng)（）A、 yx1x2B、 yx x2的最小值是 23的最小值是 2 2C、 y23 x4 x0 的最大值是243D、 y23 x4 x0 的最小值是243x x4、求函數(shù)f xx5的值域x15、求函數(shù)f xx2的值域x36、求函數(shù)f xx25x24的最小精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 8 頁(yè)，共 11 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載7、 求函數(shù)f xx 21x217的值域8、如

14、x1 時(shí)，不等式x1 a 恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范疇x1329、某工廠建造一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方形貯水池，其容積為6400 m ，深度為 4m，假如池底每1 m的造價(jià)為160 元，池壁每1 m2 的造價(jià)為100 元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)為多少元？10、正數(shù)a,b 滿意abab6 ；（1）求 ab 的取值范疇；2 ）求 a+b 的取值范疇；11、（1） 已知 a0,b0 ，且 2a+ b =4 ，就5 + 1 的最小值為2 ab（ 2）已知 0 <x < 2 ，就 2x2 -55 x 的最大值為（ 3）已知a, b0 ， a 2b1 ，就 a221+ 4b2的最大值為（

15、4）已知正數(shù)x、y 滿意 812 ，就 x2y 的最小值為xy5精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 9 頁(yè)，共 11 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載（ 5）已知x, yR ，且 x +4 y =2 ，就 2 x +16 y 的最小值為12、（ 1）如log 3 m -log1 n =y32 ，就 mn 的最小值為（ 2）如x, y0,1 ，且 xy1 ，就 log91 x ×log 2 21 的最大值為13、（ 1）已知x > 0 ，就9x +的最小

16、值為x（ 2）已知x 1 0 ，就 x +9的取值范疇為x（ 3）已知x 1 1，就 x +9x - 1的取值范疇為（ 4）已知x 1 1，就4 x +9x - 1的取值范疇為（ 5）已知 1 x25 ，就x + 16x的取值范疇為（ 6）函數(shù)f x =x2 +16 +1x2 + 16的最小值為（ 7）已知x 3 4 ，就 -x -1的最大值為2 x14、已知正數(shù)x, y 滿意 xy4 ，就使不等式9 x +y . mxy 恒成立，求m 的取值范疇；15、（ 1）函數(shù)f x =xx2 + 16的最大值為x2 + x + 4（ 2）函數(shù)f x =的值域?yàn)閤精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - -