二重積分的概念與性質

1、關于二重積分的概念關于二重積分的概念與性質與性質1現(xiàn)在學習的是第1頁，共41頁2 重積分是定積分的推廣和發(fā)展.其同定積分一樣也是某種確定和式的極限,其基本思想是四步曲:分割、取近似、求和、取極限. 定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù),其積分區(qū)域是一個確定區(qū)間. 而二重、三重積分的被積函數(shù)是二元、三元函數(shù),其積分域是一個平面有界閉區(qū)域和空間有界閉區(qū)域.重積分有其廣泛的應用.序 言現(xiàn)在學習的是第2頁，共41頁3問題的提出二重積分的概念二重積分的性質double integral第一節(jié) 二重積分的概念與性質現(xiàn)在學習的是第3頁，共41頁4一、問題的提出定積分中會求平行截面面積為已知的 一般立體的體積如何求先從

2、曲頂柱體的體積開始.而曲頂柱體的體積的計算問題,一般立體的體積可分成一些比較簡單的 回想立體的體積、旋轉體的體積.曲頂柱體的體積.二重積分的一個模型.可作為現(xiàn)在學習的是第4頁，共41頁5),(yxfz 曲頂柱體體積=特點1曲頂柱體的體積D困難曲頂柱體0),( yxf),(yxfz 以xOy面上的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面,側面以頂是曲面且在D上連續(xù)).oyxz曲頂頂是曲的現(xiàn)在學習的是第5頁，共41頁6柱體體積 = 特點 分析曲邊梯形面積是如何求以直代曲、 解決問題的思路、步驟與回憶思想是分割、平頂以不變代變.曲邊梯形面積的求法類似取近似、求和、取極限. 底面積高現(xiàn)在

3、學習的是第6頁，共41頁7D),(yxfz xzyO),(ii ),(iif i 現(xiàn)在學習的是第7頁，共41頁8(1) 分割相應地此曲頂柱體分為n個小曲頂柱體.(2) 取近似iii ),(第i個小曲頂柱體的體積的近似式 iVn ,21(用 表示第i個子域的面積) .i 將域D任意分為n個子域在每個子域內任取一點ni, 3 , 2 , 1 iiif ),(現(xiàn)在學習的是第8頁，共41頁9(3) 求和 即得曲頂柱體體積的近似值: (4) 取極限)趨于零,iiniifV ),(lim10iiinif ),(1iiinifV ),(1求n個小平頂柱體體積之和令n個子域的直徑中的最大值(記作上述和式的極限

4、即為曲頂柱體體積現(xiàn)在學習的是第9頁，共41頁102. 非均勻平面薄片的質量(1) 將薄片分割成n個小塊，看作均勻薄片. iM(2) M(3) M(4)近似 任取小塊 i 設有一平面薄片,DxOy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域占占有有),(),(yxyx 處處的的面面密密度度為為在在點點Dyx在在假定假定),( ,上連續(xù)上連續(xù)求平面薄片的質量M.iii ),(iinii ),(1 iinii ),(1 0lim xyO),(ii i 現(xiàn)在學習的是第10頁，共41頁11也表示它的面積,),(上的有界函數(shù)上的有界函數(shù)是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域設設Dyxf,個小區(qū)域個小區(qū)域表示第表示第其中其中ii ),(ii

5、i 上任取一點上任取一點在每個在每個 二、二重積分的概念1. 二重積分的定義定義個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域任意分成任意分成將閉區(qū)域將閉區(qū)域nD,21n 作乘積 iiif ),(), 2 , 1(ni 并作和 .),(1iiniif 現(xiàn)在學習的是第11頁，共41頁12,d),( Dyxf 這和式則稱此零時,如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于 的極限存在,iiniif ),(1極限為函數(shù)二重積分,上的上的在閉區(qū)域在閉區(qū)域Dyxf),(記為即iiniiDfyxf ),(limd),(10現(xiàn)在學習的是第12頁，共41頁13曲頂柱體體積,d),( DyxfV 它的面密度.d),( DyxM 曲頂 即在底

6、D上的二重積分,),(yxfz 平面薄片D的質量即0 ),(yx 在薄片D上的二重積分, 現(xiàn)在學習的是第13頁，共41頁14 2. 在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網來劃分區(qū)域D, Dyxf d),(二重積分可寫為注1.重積分中, 0d yxdd Dyxf),(則面積元素為Oxyyxddd現(xiàn)在學習的是第14頁，共41頁15中中iiniiDfyxyxf ),(limdd),(10(A) 最大小區(qū)間長;(B) 小區(qū)域最大面積;(C) 小區(qū)域直徑;(D)最大小區(qū)域直徑.D選擇題).(是是 現(xiàn)在學習的是第15頁，共41頁162. 二重積分的存在定理 設f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù) Dyxf

7、 d),(存在.連續(xù)函數(shù)一定可積注今后的討論中,積分區(qū)域內總是連續(xù)的.或是分片連續(xù)函數(shù)時,則都假定被積函數(shù)在相應的現(xiàn)在學習的是第16頁，共41頁17(2)3. 二重積分的幾何意義(3) (1)在D上的二重積分就等于二重積分是二重積分是而在其它的部分區(qū)域上是負的. 這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和.那末,),(yxf,0),(時時當當 yxf,0),(時時當當 yxf柱體體積的負值;柱體體積;在D上的若干部分區(qū)域上是正的,),(yxf當當現(xiàn)在學習的是第17頁，共41頁18例 設D為圓域222Ryx 二重積分 DyxR d222=解 222yxRz 上述積分等于 DyxR d222332R 由二重

8、積分的幾何意義可知，是上半球面上半球體的體積：RyxzOD現(xiàn)在學習的是第18頁，共41頁19性質為常數(shù), 則(二重積分與定積分有類似的性質)三、二重積分的性質 Dyxgyxf d),(),( 、設設 DDyxgyxf d),(d),(現(xiàn)在學習的是第19頁，共41頁20根據(jù)二重積分的幾何意義,確定積分值,d)(22 Dyxb0 ab222ayxD 為為其其中中ba2 332a 現(xiàn)在學習的是第20頁，共41頁21以1為高的 性質2 將區(qū)域D分為兩個子域 Dyxf d),(性質3 若 為D的面積)(21DDD oxyD1D2 注 D d既可看成是以D為底,柱體體積. 對積分區(qū)域的可加性質.D1與D2

9、除分界線外無公共點.D 1d),(Dyxf 2d),(Dyxf 21,DD D d1 D d又可看成是D的面積.現(xiàn)在學習的是第21頁，共41頁22),(yxf若若在有界閉區(qū)域D1上可積,且,21DD 則必有.dd),(dd),(21 DDyxyxfyxyxf現(xiàn)在學習的是第22頁，共41頁23 Dyxf d),(特殊地性質4(比較性質),(),(yxgyxf 設 ,),(Dyx 則 Dyxg d),( Dyxf d),( Dyxf d),( 現(xiàn)在學習的是第23頁，共41頁24例 41222222ddsinyxyxyxyx 的值 ( ).(A) 為正(B) 為負(C) 等于0(D) 不能確定為負B

10、現(xiàn)在學習的是第24頁，共41頁25選擇題 比較與與 d)(21 DyxI, 1)1()2(:22 yxD其其中中(D) 無法比較.oxy 1 12C(2,1)性質4(比較性質).)()(32yxyx d)(32 DyxI的大小,則( ).)(21IIA .)(21IIB .)(21IIC 1 yx,),(Dyx , 1 yx現(xiàn)在學習的是第25頁，共41頁26220yx 0)ln(22 yx解例判斷的正負號. 1|22dd)ln(yxryxyx| 1rxy當時 2|)|(|yx 1 故)ln(22yx 0 1|22dd)ln(yxryxyx于是0 又當,1|時時 yx現(xiàn)在學習的是第26頁，共41

11、頁27 DMyxfm d),(幾何意義以m為高和以M為高的兩個證 D d再用性質1和性質3, 性質5(估值性質)則,),(Myxfm 設設為D的面積,Myxfm ),(,),( , 0),(Dyxyxf 設設則曲頂柱體的體積介于以D為底,平頂柱體體積之間.證畢. D d D d現(xiàn)在學習的是第27頁，共41頁2822yxe d)(22 Dyxe222d)(aDyxeabeab 解估值性質 DMyxfm d),(區(qū)域D的面積 ab 在D上220yx 例不作計算,d)(22的值的值估計估計 DyxeI).0( , 1:2222abbyaxD 是是橢橢圓圓閉閉區(qū)區(qū)域域其其中中2a 2ae 0e 12a

12、e mM現(xiàn)在學習的是第28頁，共41頁29性質6(二重積分中值定理),( Dyxf d),(體積等于),( f以以 顯然 DMyxfm d),(幾何意義證在閉區(qū)域在閉區(qū)域設設),(yxfD上連續(xù),為D的面積,則在D上至少存在一點使得 ),(f,),( , 0),(Dyxyxf 設設則曲頂柱體以D為底 為高的平頂柱體體積.將性質5中不等式各除以 DMyxfm d),(1. 0 , 有現(xiàn)在學習的是第29頁，共41頁30 DMyxfm d),(1的最大值M與最小值m之間的. Dyxf d),(1由閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理. Dyxf d),(1兩端各乘以 ),( 點的值證畢.即是說, 確定的數(shù)值是

13、介于函數(shù)),(yxf在D上至少存在一點使得函數(shù)在該),( f 與這個確定的數(shù)值相等,即, 現(xiàn)在學習的是第30頁，共41頁31選擇題222 yx).(d),(1lim22220是是極限極限 yxyxf(A)(B)(C) (D)提示:B是有界閉區(qū)域D:),(yxf設設上的連續(xù)函數(shù),不存在.).0 , 0(f).1 , 1(f).0 , 1(f利用積分中值定理.現(xiàn)在學習的是第31頁，共41頁32利用積分中值定理,),(lim0 f 解即得: 222d),(1lim20 yxyxf求求 222222d),(d),( yxyxfyxf222 yx),( 222d),(1lim20 yxyxf).0 ,

14、0(f ,0時時當當 ),( 點點由函數(shù)的連續(xù)性知,),(2 f顯然,).0 , 0(其中點是圓域內的一點. ),(d),(fyxfD 現(xiàn)在學習的是第32頁，共41頁33 補充在分析問題和算題時常用的設區(qū)域D關于x軸對稱,如果函數(shù) f(x, y)關于坐標y為偶函數(shù). Dyxf d),(oxyD1性質7）即即),(),(yxfyxf 則D1為D在x軸上方的部分,對稱性質 1d),(2Dyxf 坐標y為奇函數(shù)0d),( Dyxf ),(),(yxfyxf 即即則設區(qū)域D關于x軸對稱,如果函數(shù) f (x, y)關于現(xiàn)在學習的是第33頁，共41頁34這個性質的幾何意義如圖:OxyzOxyz 區(qū)域D關于

15、x軸對稱f(x,y)關于坐標y為偶函數(shù) 區(qū)域D關于x軸對稱f(x,y)關于坐標y為奇函數(shù)現(xiàn)在學習的是第34頁，共41頁35 Dyxf d),(如果函數(shù) f(x,y)關于坐標x為奇函數(shù)0d),( Dyxf oxyD1如果函數(shù) f(x,y)關于坐標x則,),(),(）即即yxfyxf 為偶函數(shù),),(),(）即即yxfyxf 則類似地,設區(qū)域D關于y軸對稱,且D1為D在Y軸右邊的部分, 1d),(2Dyxf 現(xiàn)在學習的是第35頁，共41頁36設D為圓域(如圖) d2Dy d212 Dy d3Dy0 d2Dx d222 Dx d3Dx0D1為上半圓域D2為右半圓域yxOyxO現(xiàn)在學習的是第36頁，共41頁37 今后在計算重積分利用對稱性簡化計算時, 注意被積函數(shù)的奇偶性. 積分區(qū)域的對稱性,要特別注意考慮兩方面:現(xiàn)在學習的是第37頁，共41頁38二重積分的定義二重積分的性質二重積分的幾何意義(曲頂柱體的體積)(四步:分割、取近似