教你如何填幻方[]

1、3 階：4 階：151036451691411271813125 階：172418152357141646132022101219213111825296 階：193433322611252414311022161719273018202115729231312268352834536教你如何填幻方幻方最早記載于我國公元前500 年的春秋時(shí)期大戴禮中， 這說明我國人民早在2500年前就已經(jīng)知道了幻方的排列規(guī)律。而在國外，公元130 年，希臘人塞翁才第一次提起幻方。我國不僅擁用幻方的發(fā)明權(quán)，而且是對幻方進(jìn)行深入研究的國家。公元13 世紀(jì)的數(shù)學(xué)家楊輝已經(jīng)編制出3 10 階幻方， 記載在他1275

2、年寫的 續(xù)古摘廳算法一書中。在歐洲，直到 574 年，德國著名畫家丟功才繪制出了完整的4 階幻方。數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明，對于n>2 ， n 階幻方都存在。目前填寫幻方的方法，是把幻方分成了三類，每類又有各種各樣的填寫方法。1 、奇數(shù)階幻方n 為奇數(shù) （n=3 ，5，7， 9，11） （n=2 ×k+，1k=1 ，2，3，4，5）奇數(shù)階幻方最經(jīng)典的填法是羅伯特法（也有人稱之為樓梯法）。填寫方法是這樣：把 1（或最小的數(shù)）放在第一行正中；按以下規(guī)律排列剩下的n× n-1 個(gè)數(shù)：（1） 每一個(gè)數(shù)放在前一個(gè)數(shù)的右上一格；（2） 如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了頂行那么就把它放在底行，

3、仍然要放在右一列；（3） 如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；（4） 如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了頂行且超出了最右列，那么就把它放在前一個(gè)數(shù)的下一行同一列的格內(nèi)；（5） 如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)有數(shù)填入，處理方法同（4）。這種寫法總是先向“右上 ”的方向，象是在爬樓梯。2、雙偶階幻方n 為偶數(shù)，且能被4 整除 （n=4 ， 8， 12， 16， 20） （n=4k ， k=1 ， 2， 3， 4， 5）先說明一個(gè)定義?；パa(bǔ)：如果兩個(gè)數(shù)字的和，等于幻方最大數(shù)和最小數(shù)的和，即n*n+1 ，稱為互補(bǔ)。先看看 4 階幻方的填法：將數(shù)字從左到右、從上到下按順序填

4、寫：這個(gè)方陣的對角線，已經(jīng)用顏色標(biāo)出。將對角線上的數(shù)字，換成與它互補(bǔ)（同色） 的數(shù)字。這里， n× n+1 = 4 ×4+1 = 17 ； 把 1 換成 17-1 = 16 ； 把 6 換成 17-6 = 11 ； 把 11 換成 17-11 = 6 換完后就是一個(gè)四階幻方。也可以保留對角線上的數(shù)字不動，而將其它的數(shù)換為與它互補(bǔ)的數(shù)。對于n=4k 階幻方，我們先把數(shù)字按順序填寫。寫好后，按4*4 把它劃分成k2個(gè)方陣。因?yàn)?n 是 4 的倍數(shù)，一定能用4*4 的小方陣分割。然后把每個(gè)小方陣的對角線，象制作4 階幻方的方法一樣，對角線上的數(shù)字換成互補(bǔ)的數(shù)字，就構(gòu)成幻方。163

5、624559588561011535214154948181945442223412539382829353432333130363727264024424321204647171650511312545595776606132643、單偶階幻方n 為偶數(shù)，且不能被4 整除 （n=6 ， 10， 14， 18， 22） （n=4k+2 ， k=1 ， 2， 3， 4， 5）這是三種里面最復(fù)雜的幻方。以 n=10 為例。這時(shí)，k=2（1） 把方陣分為A， B， C， D 四個(gè)象限，這樣每一個(gè)象限肯定是奇數(shù)階。用樓梯法，依次在 A 象限， D 象限， B 象限， C 象限按奇數(shù)階幻方的填法填數(shù)。（

6、2） 在 A 象限的中間行、中間格開始，按自左向右的方向，標(biāo)出k 格。 A 象限的其它行則標(biāo)出最左邊的k 格。將這些格，和C 象限相對位置上的數(shù)，互換位置。（3） 在 B 象限任一行的中間格，自右向左，標(biāo)出k-1 列。（注：6 階幻方由于k-1=0 ，所以不用再作B 、 D 象限的數(shù)據(jù)交換），將 B 象限標(biāo)出的這些數(shù)，和D 象限相對位置上的數(shù)進(jìn)行交換，就形成幻方?？雌饋砗苈闊鋵?shí)掌握了方法就很簡單了。以下是 6 階幻方填寫的兩個(gè)步驟：81626192435721232549222272035283317101530323412141631362913181135162619243327212

7、3253192222720828331710153053412141643629131811幻方問題教案執(zhí)教：杜羲傳說公元前二千多年，在洛水里浮起一只大烏龜，它的背上有個(gè)奇特的圖案，（如圖 1 ） ，后來人們把它稱之為洛書，實(shí)際上它是由九個(gè)數(shù)字排成一定的格式（如圖2） ，圖中有一個(gè)非常有趣的性質(zhì)：它的橫、豎、對角線上的每三個(gè)數(shù)字之和都是15。許多人產(chǎn)生了這樣的問題，圖中的九個(gè)數(shù)字，有沒有別的填法？如果把圖形變成4×4個(gè)方格，是否也可以進(jìn)行這樣的填數(shù)游戲？1、 奇偶性規(guī)律：偶數(shù)是能被2 整除的整數(shù)，如 0、 2、 6、 8 等， 奇數(shù)是指被2 除余 1 的整數(shù)。奇偶數(shù)的加法具有下列性質(zhì)

8、：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)+偶數(shù)+偶數(shù)2、數(shù)的整除規(guī)律：a 整除b，且a 整除 c，則 a 整除b+c，或a 整除 b-c 。3、商和余數(shù)：整數(shù)a 除以整數(shù)b 時(shí)，商數(shù)是q，余數(shù)是r，必有等式a=b× q+r， 0 r<b，當(dāng) r=0 時(shí)，就說b 整除a，記為b|a 。如： 30 被 7 除余2，滿足關(guān)系式30=7× 4+2，又因?yàn)?<4，也可以說4 除 30 余 2。4、自然數(shù)分類：如果兩個(gè)整數(shù)分別被a 除，所得余數(shù)相同，那么我們說這兩個(gè)整數(shù)對于a是同余的。如偶數(shù)對于2 是同余的（余數(shù)都為零）， 所有奇數(shù)對于2 也是同余的，（余數(shù)都是1）。由同余，

9、可以對整數(shù)進(jìn)行分類，如整數(shù)可按3 分成：被3 除余0，被3 除余 1 ，被 3 除余 2這三類，也可按4 分類，分成被4 除余 0，被 4 除余 1，被 4 除余 2，被 4 除余 3 這四類。5、自然數(shù)分拆：將一個(gè)自然數(shù)寫成兩個(gè)自然數(shù)的和，叫做自然數(shù)的二分拆，其中一個(gè)和的形式稱為該自然數(shù)的一個(gè)分拆。如 9 寫成 2+7， 4+5， 1+8 等就是對9 的分拆， 而 2+7（或4+5，1+8） 就是它的一個(gè)分拆。一個(gè)分拆的被加數(shù)和加數(shù)調(diào)換位置后得到的分拆視為同一個(gè)分拆，如 2+7 和 7+2 視為 9 的同一分拆。例 1：將 1-9 這九個(gè)數(shù)，填入圖3 的方格內(nèi)，使每行、每列、及兩條對角線上三

10、個(gè)數(shù)字的和都相等。分析與解：假設(shè)圖形中填入的數(shù)如圖4 所示，并設(shè)各邊和對角線的三數(shù)之和為k，則解法的關(guān)鍵是找出中心數(shù)及各頂點(diǎn)的數(shù)。我們分三步來完成：1 )求每行、每列三個(gè)數(shù)的和，即2)確定中心數(shù)，即3)試填各頂點(diǎn)數(shù)及其它方格內(nèi)數(shù)。k 值。b2=？a 1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3=3k又a1+b1+c1+a2+b2+c2 +a3+b3+c3=1+2+ +9=45 3k=45 k=15a 1+b2+c3=a2+b2+c2=a3+b2+c1=b1+b2+b3=15 (a 1+b2+c3)+(a 2+b2+c2)+(a 3+b2+c1)+(b 1+b2+b3)=4 ×

11、15(a 1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3)+3b 2=6045+3b2=60 3b 2=15 b 2=5試填a1，若a1為奇，a1+c3=10，故C3為奇，a2和 a3也應(yīng)同奇或同偶，若a2、 a3同奇，則為奇，b3為奇，這樣就出現(xiàn)了六個(gè)奇數(shù)，與1-9 的自然數(shù)中只有5 個(gè)奇數(shù)矛盾；若a2和同偶，則c2為偶，b3為偶，c1 也為偶，這樣共出現(xiàn)了五個(gè)偶數(shù)，與1-9 的自然數(shù)中只有個(gè)偶數(shù)矛盾，故a1 不能為奇數(shù)，則a1 應(yīng)填偶數(shù)，此時(shí)c1、 a3、 c3 也只能取偶數(shù)，由于c2a34a1+c3=C1+a3=10，又2+8=4+6=10，故只需取a1=2， C3=8， a3=4，

12、 c1=6即可，其它各方格中的數(shù)須填a2=9， b2=3。 C2=1， b1=7。如圖5 所示，這樣就得到本題的一個(gè)解，若取a1=4， c3=6，b3=7， b1=3， c2=1，根據(jù)對稱輪換，答案是唯一的。說明：此題是引例中的問題，將角線的和相等，這叫做三階幻方，一般地，在1-9 九個(gè)數(shù)，填入列3×3個(gè)方格內(nèi)，使每行每列、每條對n×n個(gè)方格內(nèi)，填上n×n個(gè)連續(xù)自然數(shù)，并且每行、每列、每條對角線上n 個(gè)自然數(shù)的和都相等，則稱它為n 階幻方。解決幻方問題的關(guān)鍵是確定中心數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)。例2：把1 到 6 這六個(gè)數(shù)分別填在圖7-a 中三角形三條邊上的六個(gè)圓圈內(nèi)，使每條邊上

13、三個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)的和都相等。a、 b、 c，其余三個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)分別是分析與解：設(shè)填入頂點(diǎn)圓圈內(nèi)的數(shù)分別為d、 e、 f 。每條邊上三個(gè)圓圈內(nèi)數(shù)的和為k，如圖7-a 。 a+d+b=k,b+e+c=k,a+f+c=k (a+d+b)+(b+e+c)+(a+b+c)=3k又a+b+c+d+e+f=1+2+ +6=21 (a+b+c+d+e+f)+(a+b+c)=3k21+(a+b+c)=3ka+b+c 最小時(shí)，k 值也最小，a+b+c 最大時(shí)，k 值也最大，且k 是整數(shù)，當(dāng)10、 11、 12 四種情況。c=3，其余三個(gè)圓圈內(nèi)8）將這個(gè)解左、右旋a+b+c=1+2+3=6時(shí)，k=9， a+b+c=4

14、+5+6=15時(shí)， k=12，所以 k 可取 9、當(dāng) k=9 時(shí)，a+b+c=6， 6 只有一個(gè)三拆分，6=1+2+3，因此a=1， b=2，分別填4、 5、 6、 ，即e=4， f=5 ， d=6。這樣就得到一個(gè)基本解（如圖 轉(zhuǎn)或適當(dāng)調(diào)換后，可以得到其余的五個(gè)解。當(dāng) k=10 時(shí)，a+b+c=9， 9 有三種三拆分，9=1+2+6=1+3+5=2+3+4，當(dāng)a、 b、 C為 1， 2， 6 時(shí)，以2、 6 為頂點(diǎn)的一邊只能填時(shí)，其余邊上的圓圈內(nèi)約數(shù)填上2，如圖 9-a， 2 重復(fù)了，故此解排除；當(dāng)a、b、 C為1、 3、 52、 4、 6 即可（如圖9-b ） ；當(dāng) a、 b、 c 為2、

15、3、 4 時(shí)，以 3、4 為頂點(diǎn)的一邊只能填上3，如圖9-c ， 3 重復(fù)了，故此解也排除。說明： 這個(gè)數(shù)陣問題中各條邊是相互連接的，口，是確定各邊頂點(diǎn)所應(yīng)填的數(shù)。為確定這些數(shù)，封閉型數(shù)陣圖的解題突破采用的方法是建立有關(guān)的等式，通過以最小值到最大值的討論，來確定每條邊上的幾個(gè)數(shù)之和，再將和數(shù)進(jìn)行拆分以找到頂點(diǎn)應(yīng)填入的數(shù)，其余的數(shù)再利用和與頂點(diǎn)的數(shù)就容易被填出。例3、把1-9 這九個(gè)數(shù)，分別填入圓10-a 中，使得從中輻射出的每條線上三個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)的和相等。分析與解：由圖10-a 可知，計(jì)算每條線段上的三個(gè)圓圈內(nèi)數(shù)的和時(shí)都要用到中心數(shù)，因此確定中心數(shù)是解此題的關(guān)鍵。該中心數(shù)為 ，其余各數(shù)如圖10

16、-b 所示，每條線段上的三數(shù)之和為k。 +a1+a2= +b1+b2= +c1+c2= +d1+d2=k( +a1+a2)+( +b1+b2)+( +c1+c2)+( +d1+d2)=4k(a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2+ )+3 =4k又 a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2+ =1+2+ +9=45 45+3 =4k觀察上式，k 是整數(shù)，即(45+3 )被 4 整除，而(45+3 )÷4=45÷ 4+3 ÷ 4， 45 除以 4的余數(shù)為1，則3 除以 4 的余數(shù)應(yīng)為3，當(dāng)=1、5、 9 時(shí)，3÷4 的余數(shù)為3。當(dāng) =1 時(shí)，

17、k=( 45+3× 1)÷4=12，12 拆分成含有一個(gè)1 的三個(gè)自然數(shù)的和有以下四種形式：12=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6這樣就得到一個(gè)解(如圖11-a ) 。當(dāng) =5、 9 時(shí)，仿照上面方法可得到相應(yīng)的解，(如圖 11-b ，圖 11-c 所示) 。說明：此題中的數(shù)陣圖，稱為輻射型數(shù)陣圖，解法的關(guān)鍵是確定中心數(shù)。具體方法是：通過所給條件建立有關(guān)等式，通過整除性的討論，確定出中心數(shù)的取值，然后求出各邊上數(shù)的和， 最后將和自然數(shù)分拆成中心數(shù)的若干個(gè)自然數(shù)之和，確定邊上其他的數(shù)。1-9例4、 ，如圖 12-a 中，以為頂點(diǎn)，有四個(gè)小的等腰三角形和三個(gè)大的等

18、腰三解形，將這九個(gè)數(shù)，填入內(nèi)，使每個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字之和相等。分析與解：設(shè)應(yīng)填入的數(shù)如圖12-b 所示，觀察可知，在計(jì)算每個(gè)小三角形和大三角形各頂點(diǎn)數(shù)字和時(shí)，最中間的小三角形三個(gè)頂點(diǎn)分別用了三次，其中各頂點(diǎn)用了二次，設(shè)每個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)數(shù)的和為k，即：a+b+c=k,d+e+f=k,c+e+g=k,g+h+I=ka+g+d=k,b+e+h=k,c+f+I=k (a+b+c)+(d+e+f)+(c+e+g)+(g+h+i)+(a+g+d)+(b+e+h)+(c+f+i)=7k即： ( a+b+c+d+e+f+g+h+i ) +(c+e+g)=7ka+b+c+d+e+f+g+h+I=3k又

19、a+b+c+d+e+f+g+h+I=1+2+ +9=45 3k=45k=15在 1-9 這九個(gè)數(shù)中，15 的三拆分有下列幾種情況：15=1+9+5=1+8+6=2+9+4=2+8+5=3+7+5=2+7+6=3+8+4=4+5+6，在這些拆分中，2、 4、 5、 6、 8、出現(xiàn)過三次，其它數(shù)字出現(xiàn)過兩次，所以C=2， e=8， g=5 或 c=6， e=4， g=5，再將其它數(shù)填入，這樣就得到本題的兩個(gè)解(如圖13-a ，圖 13-b 所示)說明：此題中的數(shù)陣圖為復(fù)合型數(shù)陣圖，解題的關(guān)鍵是要以中心數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)為突破口。及時(shí)練習(xí)：1、用九個(gè)連續(xù)自然數(shù)構(gòu)造一個(gè)三階幻方，使每一橫行及每一豎列的三個(gè)數(shù)之

20、和都等于60。2、將1-9 這九個(gè)自然數(shù)分別填入如圖14 的九個(gè)內(nèi)，使三角形每邊上的四數(shù)之和都等于19，且有一個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字為1。3、將1-7 這七個(gè)數(shù)字填寫到如圖15 的小圓圈中，使每條直徑上的三個(gè)數(shù)字之和都為10。4、把1-10 這十個(gè)數(shù)分別填在如圖16 的五邊形邊上的十個(gè)圓圈內(nèi)，使每條邊上的三個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)的和盡可能最小。5、 把 1-9 這九個(gè)數(shù)分別填入如圖17 的大三角形中的九個(gè)小三角形內(nèi)(每個(gè)小三角形只填一個(gè)數(shù)) ，要求靠近大三角形三條邊的每五個(gè)數(shù)相加的和相等，問怎樣填才能使五個(gè)數(shù)的和盡可能地大一些，這五個(gè)數(shù)的和的最大值是多少？答案： 1、解：先用1-9 這九個(gè)自然數(shù)構(gòu)造一個(gè)三階幻方（如圖18-a ） ，這個(gè)三階幻方的每行，每列之和為15，題目要求和為60，只需將每個(gè)數(shù)都加上15 即可（如圖18-b ）2、