人教B版高中數(shù)學必修5-2.2參考課件3-等差數(shù)列

1、2.2.1 等差數(shù)列等差數(shù)列請看下面一些數(shù)列請看下面一些數(shù)列:鞋的尺碼，按照國家統(tǒng)一規(guī)定，有鞋的尺碼，按照國家統(tǒng)一規(guī)定，有 22，22.5，23，23.5，24，24.5，某月星期日的日期為某月星期日的日期為 2，9，16，23，30；一個梯子共一個梯子共8級，自下而上每一級的寬度為：級，自下而上每一級的寬度為： 89，83，77，71，65，59，53，47(cm)特征：從第特征：從第2項起，每一項與前一項的差都等項起，每一項與前一項的差都等于一個常數(shù)于一個常數(shù).一一.等差數(shù)列的定義等差數(shù)列的定義 一般的， 如果一個數(shù)列從第從第2項項起起每一每一項與項與前一項前一項的差都等于的差都等于同一個

2、常數(shù)同一個常數(shù)，那么這，那么這個數(shù)列就叫作個數(shù)列就叫作等差數(shù)列等差數(shù)列，這個，這個常數(shù)常數(shù)叫做等差叫做等差數(shù)列的數(shù)列的公差公差，公差通常用字母，公差通常用字母 d 表示。表示。注意：定義給出了證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法例例1已知數(shù)列已知數(shù)列an的通項公式為的通項公式為an=3n5，這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？解：因為當解：因為當n2時，時， anan1=3n53(n1)5=3， 所以數(shù)列所以數(shù)列an是等差數(shù)列，且公差為是等差數(shù)列，且公差為3. 說明：說明：判斷判斷一個數(shù)列是否等差數(shù)列，應(yīng)一個數(shù)列是否等差數(shù)列，應(yīng)嚴格按嚴格按照等差數(shù)列的定義照等差數(shù)列的定義來進行。來進行。+nn

3、思考：(1)數(shù)列b 滿足b =2n 3是等差數(shù)列嗎？(2)n通項公式為a =pn+q（p,q是常數(shù)）的數(shù)列都是等差數(shù)列嗎？(3)nn反之，若a 是等差數(shù)列，其通項公式又如何呢？一定可以寫成a =pn+q的形式嗎？如果等差數(shù)列如果等差數(shù)列 a an n 的首項為的首項為a a1 1, ,公差為公差為d d, ,求它的求它的通項公式通項公式a an na 2a1da 3a2da12d a 4a3da13da 5a4da14d 由此得由此得: ana1(n1)d （ nN+)解：由等差數(shù)列得定義得：解：由等差數(shù)列得定義得： a n1and不完全歸納法不完全歸納法二.等差數(shù)列的通項公式思考：其它的證明

4、方法？ ana1(n1)d （ nN+)等差數(shù)列的通項公式:說明：公式中含有 4個量，知三求一其中 為已知時即可寫出通項公式.1, , ,na d n a1,a d在等差數(shù)列在等差數(shù)列 a an n 中，中， a an na a1 1( (n n1) 1)d d= =ndnd+(+(a a1 1d d)=pn+q)=pn+q可以看出，當公差可以看出，當公差d d=0=0時，該數(shù)列是時，該數(shù)列是常數(shù)列常數(shù)列. .即常數(shù)即常數(shù)列是等差數(shù)列的特殊形式，公差為列是等差數(shù)列的特殊形式，公差為0. 0.當公差當公差d d0 0時，時， a an n是關(guān)于是關(guān)于n n的一次式的一次式. .三.等差數(shù)列的函數(shù)

5、特征nn若a 是等差數(shù)列，則a =pn+q,p為公差。nn(1)若a 是等綜上差數(shù)列a =，pn+q。(2)0,p 關(guān)于n的一次函數(shù)，p=0,常數(shù)列。3（ ）兩個獨立的條件可確定等差數(shù)列通項公式。例例2已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列10，7，4，； （1）試求此數(shù)列的第）試求此數(shù)列的第10項；項； （2）40是不是這個數(shù)列的項？是不是這個數(shù)列的項？56是不是不是這個數(shù)列的項？如果是，是第幾項？是這個數(shù)列的項？如果是，是第幾項？思考：思考：（1）填入一個數(shù)，是下列三個數(shù)成等差數(shù)列。 2 ， ， 8 5， ，13（2）如果在x，y中間插入一個數(shù)A,使x，A，y成等差數(shù)列,A應(yīng)滿足什么條件？四四. .等差

6、中項等差中項 如果三個數(shù)如果三個數(shù)x x，A A，y y組成等差數(shù)列，那么組成等差數(shù)列，那么 A A叫做叫做x x和和y y的等差中項。的等差中項。如果如果A A是是x x和和y y的等差中項，則的等差中項，則 . .2xyA 在一個等差數(shù)列中，從第在一個等差數(shù)列中，從第2 2項起，每一項項起，每一項( (有有窮數(shù)列的末項除外窮數(shù)列的末項除外) )都是它的前一項與后一項的都是它的前一項與后一項的等差中項。等差中項。112nnnaaa2nnpn paaa例例3.3.在等差數(shù)列在等差數(shù)列 an n 中，已中，已a5 5=10,=10,a1212=31,=31,求首項求首項a1 1與與公差公差d .

7、d .511214101131aadaad這是一個以這是一個以a1和和d 為未知數(shù)的二元一次方程組，為未知數(shù)的二元一次方程組，解之得：解之得：解：由題意得：解：由題意得：這個數(shù)列的首項這個數(shù)列的首項a1是是-2，公差，公差d =3.小結(jié)：已知數(shù)列中任意兩項，可求出首項和公差，主小結(jié)：已知數(shù)列中任意兩項，可求出首項和公差，主要是聯(lián)立二元一次方程組要是聯(lián)立二元一次方程組.123ad 請同學們做以下練習：請同學們做以下練習：已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中，中，a4=10,a7=19,求求a1和和d.1131 061 9adad這個數(shù)列的首項是這個數(shù)列的首項是1，公差是，公差是3。解：依題意得：解：依

8、題意得：113ad解之得：例例4已知等差數(shù)列的公差為已知等差數(shù)列的公差為d，第，第m項為項為am，試求其第試求其第n項項an.解：由等差數(shù)列的通項公式可知解：由等差數(shù)列的通項公式可知 an=a1+(n1)d，am=a1+(m1)d， 兩式相減得，兩式相減得， an=am+(nm)d.例例5 5梯子共有梯子共有5 5級，從上往下數(shù)第級，從上往下數(shù)第1 1級寬級寬3535厘厘米，第米，第5 5級寬級寬4343厘米，且各級的寬度依次組厘米，且各級的寬度依次組成等差數(shù)列成等差數(shù)列 a an n ，求第，求第2 2，3 3，4 4級的寬度。級的寬度。解法解法1：由題意，：由題意，a1=35，a5=43，

9、由等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項公式，通項公式，5125 1aad因此得因此得a2=37，a3=39，a4=41. 得公差得公差解法解法2：此數(shù)列共：此數(shù)列共5項，項，a3是是a1與與a5的等差中項，的等差中項， 因此因此 153392aaa又因為又因為a2是是a1與與a3的等差中項，的等差中項，a4是是a3與與a5的等差中項，所以的等差中項，所以 132372aaa354412aaa答：梯子的第答：梯子的第2，3，4級的寬度分別是級的寬度分別是37cm，39cm，41cm.例例6已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的首項的首項a1=17，公差，公差d=0.6，此等差數(shù)列從第幾項開始出現(xiàn)負數(shù)？，此等差數(shù)列從

10、第幾項開始出現(xiàn)負數(shù)？ 解：由題意，解：由題意，an的通項公式是的通項公式是 an=170.6(n1)， 令令170.6(n1)0，解得，解得 8829.33n 又因為又因為an是遞減數(shù)列，是遞減數(shù)列， 所以數(shù)列所以數(shù)列an從第從第30項起開始出現(xiàn)負數(shù)。項起開始出現(xiàn)負數(shù)。 例例7.（1）在等差數(shù)列）在等差數(shù)列an中，若中，若mnpq， 求證：求證：amanapaq. （2）在等差數(shù)列）在等差數(shù)列an中，若中，若a3a4a5a6a7=450，求，求a2a8. 解解：（：（1）略（提示：用通項公式法）略（提示：用通項公式法）（2） a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5， 5a5=450， a5=90, a2+a8= 290=180.1等差數(shù)列的判定方法等差數(shù)列的判定方法*1