均值不等式的應(yīng)用精典講解2份

1、百度文庫-讓每個人平等地提升自我1均值不等式應(yīng)用均值不等式知識點：2 21. （ 1）若a,b R，則a2b22ab（2）若a,b R，則aba（當(dāng)且僅當(dāng) a b 時取“=”）/ 22.若a,b R*，則ab（2） 若a,b R*，則a b 2 ab（當(dāng)且僅當(dāng) a b 時取22若a,b R*，則ab口 （當(dāng)且僅當(dāng) a b 時取“二”）2注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時,可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面 有

2、廣泛的應(yīng)用.應(yīng)用：求最值例 1:求下列函數(shù)的值域(1) y 二 3x2+ 223.若 x0， 則x12（當(dāng)且僅當(dāng) x1時取“:=”）；若 x 01，則 x -2（當(dāng)且僅當(dāng) xxx時取“=”）若 x0，則1x 12 即 x -2 或 x1-2(當(dāng)且僅當(dāng) ab 時取“二”）xxx3.若 ab0，則a b2（當(dāng)且僅當(dāng)a b 時取“二”）b a若 abb。，則b2即 b2或a b -2（當(dāng)且僅當(dāng)ab 時取“二”）14.若a,b R，則（心）22（當(dāng)且僅當(dāng)ab 時取“二”）百度文庫-讓每個人平等地提升自我2(2 )當(dāng) x0 時，y = x + - 21=2；1當(dāng) xv0 時，y = x +- =x(x

3、- ) 一2皿擴廠丫-8當(dāng)；，即 x = 2 時取等號 當(dāng) x = 2 時，y x(8 2x)的最大值為 8。評注： 本題無法直接運用均值不等式求解， 但湊系數(shù)后可得到和為定值， 從而可利用均值不 等式求最大值。3變式：設(shè)0 x -，求函數(shù)24x(3 2x)的最大值。2x0 二y 4x(3 2x)2 2x(3 2x)22x 3 2x2當(dāng)且僅當(dāng)2x3 2x,即x30,2時等號成立。技巧三：分離2x7x 10(x例 3.求y、x 1解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有( 離。X3+7X + 10 (盃十1)十 5 伝十 1)十 4杯 4 七廠；=-丄_-=(尢中1)十*517

4、 + 11)的值域。當(dāng)，1,即一 時，y 2( x 1)x + 1) 的項，再將其分45 9(當(dāng)且僅當(dāng) x 二 1 時取“=x 1技巧四：換元解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x + 1,化簡原式在分離求最值。(t 1)27(t 1)+10 t25t 44t 5t-1| 時，y 2t 45 9(當(dāng) t=2 即 x = 1 時取“=”號)。百度文庫-讓每個人平等地提升自我x y4評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利A用不等式求最值。即化為y mg(x) B(A 0,B 0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運g(x)用均值不等式來求最值

5、。技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)值條件求最值分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且3a3b定值，因此考慮利用均值定理求最的單調(diào)性。例:求函數(shù) y羊丄的值域。x24解：令 X24t(t2)，t1(t 2) x24 tV 71因t 0,t - 1,t1因為y t1在區(qū)間t11解得 t1 不在區(qū)間t2,，故等號不成立，考慮單調(diào)性。1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故所以，所求函數(shù)的值域為52,練習(xí).求下列函數(shù)的最小值,x23x 1 /并求取得最小值時，x的值.(1) y0) (2)y 2xx 3，x 3y12sin x , x sin x(0

6、,2.已知01,求函數(shù)yx(1 x)的最大值 ； 3. 0 x -，求函數(shù)y , x(2 3x)的最大3f(x)1.若實數(shù)滿足b 2，則3a3b的最小值是百度文庫-讓每個人平等地提升自我x y5小值，解:3a和 3b都是正數(shù)，3a3b 2 3a3b2.3a b61 12，求 的最小值.并求 x,y 的值x y技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會 出錯。192:已知x 0, y 0，且1，求 x y 的最小值當(dāng)3a3b時等號成立，由 a b 2 及3a是 6.3b得 a b 1 即當(dāng) a b 1 時，3a3b的最小值變式：若log4x log4y百度文

7、庫-讓每個人平等地提升自我6錯解：x 0,y0，且1 9 x yy1 -x y 2-2刃12 x yVxy錯因：解法中兩次連用均值不等式,在 x y 2 xy 等號成立條件是 x號成立條件是1 -即y 9x,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用均值不等式x y處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。2 2a + b ab0 得，Ovbv152比30 2b法：a b+1，百度文庫-讓每個人平等地提升自我8二 b+1,1vtv16,ab=2t+34t31二2 (t + * )+ 34vt + 法二:點評:16t/. ab 18由已知得：令 u= ab

8、 則 ab 18 當(dāng)且僅當(dāng) t 二 4,即30ab=a+2bva+2b2 2 ab u2+22 u30飛本題考查不等式由已知不等式 ab a 2b關(guān)系，由此想到不等式-b= 3, a= 6 時，等號成立。30 ab2J2 ab5；2 u0，b0, ab (a+ b) = 1，求 a+ b 的最小值。2.若直角三角形周長為 1,求它的面積最大值。 技巧九、取平方5、已知 x, y 為正實數(shù)，3x+ 2y = 10,求函數(shù) W 3x + 2y的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系,a+bw2，本題很簡單3x+2yw2 C. 3x)2+(, 2y)2設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化

9、函數(shù)式為積的形=2 3x+ 2y = 2 5解法二：條件與結(jié)論均為和的形式,式，再向“和為定值”條件靠攏。W 0, W= 3x+ 2y + 2 3x 2y=10+2 3x2yw10+( . 3x )2( 2y )2=10+(3x+ 2y) = 20, 20 = 2 5變式:求函數(shù)y15一2x(15)的最大值。百度文庫-讓每個人平等地提升自我29解析：注意到2x 1與5 2x的和為定值。y2G. 2x 12x)24 2、. (2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8又y 0，所以0 y 2、2當(dāng)且僅當(dāng)2X 1=5 2X，即 X 3 時取等號。故 ymax2 2。評注：本題將解析

10、式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些 變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式1.已知a, b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2b2c2ab bc ca1)正數(shù) a，b，c 滿足 a+ b+ c = 1，求證：(1 a)(1 b)(1 c) 8abc111例 6:已知 a、b、c R，且 a b c 1。求證：一1一1一18a b c分析：不等式右邊數(shù)字 8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2”連乘,又一12 bc，可由此變形入手。a a a a上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得111111迄|逅8。當(dāng)且僅當(dāng) a b c1時取等號。a b ca b c3應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題19例：已知x 0, y 0且1，求使不等式 x y m 恒成立的實數(shù)m的取值范圍。x y19, xy9x9y,10y9x,解：令x y k,x 0, y 0,1，1.1x ykx kyk kx ky10312。 k 16 ，m ,16kk應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：-