2020屆二輪復(fù)習(xí)簡單的線性規(guī)劃學(xué)案全國通用

1、簡單的線性規(guī)劃【考綱要求】1. 了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實際背景。2. 會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型。3. 會從實際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示元一次不等式組;4. 會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決。5. 熟練應(yīng)用不等式性質(zhì)解決目標函數(shù)的最優(yōu)解問題?！局R網(wǎng)絡(luò)】不等式（組）的應(yīng)用背景簡單的線性規(guī)劃口NU二兀一次不等式（組）表示的區(qū)域簡單應(yīng)用【考點梳理】不等式與不等關(guān)系394841知識要點】考點一:用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域二元一次不等式Ax+By+d0在平面直角坐標系中表

2、示直線Ax+By+C=O某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）要點詮釋：畫二元一次不等式AxByC0（0）或AxByC0（0）表示的平面區(qū)域的基本步驟： 畫出直線l:AxByC0（有等號畫實線，無等號畫虛線）； 當C0時，取原點作為特殊點，判斷原點所在的平面區(qū)域；當C0時，另取一特殊點判斷； 確定要畫不等式所表示的平面區(qū)域。簡稱："直線定界，特殊點定域”方法?？键c二：二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法因為對在直線Ax+By+c=0同一側(cè)的所有點（x,y），實數(shù)Ax+By+c的符號相同，所以只需在此直線的某一側(cè)任取一點（X。，y。）（若原點不在直線上，則取原點（

3、0,0）最簡便）.把它的坐標代入Ax+By+c,由其值的符號即可判斷二元一次不等式Ax+By+c>0（或<0）表示直線的哪一側(cè).要點訟釋:（或<0）表示直線的哪一側(cè)的方法:判斷二元一次不等式Ax+By+c>0因為對在直線Ax+By+C=O同一側(cè)的所有點（x,y），數(shù)Ax+By+C的符號相同，所以只需在此直線的某一側(cè)任取一點（xo,yo）（若原點不在直線上，則取原點（0,0）最簡便），它的坐標代入Ax+By+c,由其值的符號即可判斷二元一次不等式Ax+By+c>0（或<0）表示直線的哪一側(cè).考點三：線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件：在一個問題中，不等式組是一組

4、變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于X、y的一次不等式，故乂稱線性約束條件. 線性目標函數(shù)：關(guān)于x、y的一次式z=ax+by（a,b?R）是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標函數(shù). 線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題. 可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解.由所有可行解組成的集合叫做可行域.使目標函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解.要點訟釋：在應(yīng)用線性規(guī)劃的方法時，一般具備下列條件： 一定要能夠?qū)⒛繕吮硎鰹樽畲蠡O大）或最小化（極?。┑囊?。 一定要有達到目標的

5、不同方法，即必須要有不同的選擇的可能性存在； 所求的目標函數(shù)是有約束（限制）條件的； 必須將約束條件用代數(shù)語言表示成為線性等式或線性不等式（組），并將目標函數(shù)表示成為線性函數(shù)?？键c四：解線性規(guī)劃問題總體步驟：設(shè)變量T找約束條件，找目標函數(shù)作圖，找出可行域運動變化求出最優(yōu)解要點訟釋：線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用： 在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務(wù)【典型例題】類型一：二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域例1.用平面區(qū)域表示不等式組y3x12.x2y【解析】不等式y(tǒng)3x1

6、2表示直線y3x12右下方的區(qū)域，x2y表示直線x2y右上方的區(qū)域,取兩區(qū)域重疊的部分，如圖的陰影部分就表示原不等式組的解集。舉一反三:【變式1】畫出不等式組xy30xy0表示的平面區(qū)域并求其面積x3【命軍析】如圖，面積為4iIy/JjT1*KL卜.JBLo_J【變式2】由直線xy20,x2y20和x10圍成的三角形區(qū)域（如圖）用不等式組可表小為【解析】x【變式3】求不等式組0表示平面區(qū)域的面積【解析】不等式所表示的平面區(qū)域如圖2y55、11121所以SABC-ABh11xc2'x-y+5=(jN例2.畫出下列不等式表示的平面區(qū)域(xy)(xy1)2x【解析】(1)聯(lián)立方程得或xy0(

7、無解),原不等式等價轉(zhuǎn)化為A(3,8),B(3.3),C(內(nèi)，如圖:故點(x,y)在區(qū)域(2)原不等式等價為2x2xy0舉一反三:【變式1】用平面區(qū)域表示不等式(1)yx1【解析】例3,求滿足不等式組2x60的整數(shù)解.°yk11./-/r|，<1jrjT-/,(3)3x150【解析】設(shè)1i：2xy30,12：2x3y3:3x5y150,則±2x3y6由y2xy3,2xy3由3x5y15±2x3y6由3x5y1512190/口153A(,)08400得B(0,3)0zb750得C(,19丁是看出區(qū)域內(nèi)點的橫坐標在(0,75)內(nèi),取x191,2,3y1當x1時，

8、代入原不等式組有412.y，即y得y=-2,3512y-5?區(qū)域內(nèi)有整1,2)同理可求得另外三個整點(2,0)(2,1)、(3,1).舉一反三:0,3x2y2【變式1】求不等式組x4y40,的整數(shù)解。2xy60【解析】如圖所示,作直線h:3x2y20,x4y40,|3:2xy60,在直角坐標平面內(nèi)畫出滿足不等式組的區(qū)域，此三角形區(qū)域內(nèi)的整點(2,1),(1,0),(2,0),(1,-1),(2,-1),(3,1)即為原不等式組的整數(shù)解。類型二：圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題？例4.設(shè)變量x,y滿足約束條件不等式與不等關(guān)系394841基礎(chǔ)練習(xí)一】xy1,則目標函數(shù)z4x2y的最大值為(A.12B.

9、10C.8D.2【解析】由約束條件1可知可行域如圖:答案：B4x5y21【變式1】求zx2y的最大值和最小值，使式中的x,y滿足約束條件x3y702xyy0【解析】在平面直角坐標系內(nèi)作出可行域(如圖所示)0作直線l:x2y0，把I向右上方平移至|1位置，即直線I經(jīng)過可行域上點A時，I距原點距離最大，且x2y0,這時目標函數(shù)zx2y取得最大值？4x5y210由方程組y，解得A(1,5),?Zmax12511.2xy70把直線I向左下方平移至|2位置，即直線I經(jīng)過可行域上點B時，由丁x2y0,這時目標函數(shù)zx2y取得最小值.4x5y210由方程組，解得B(4,1),?Zmin4212.x3y70【

10、變式2】給出平面區(qū)域如圖所示，若使目標函數(shù)zaxy(a0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮個則a的值為.占（仁-9A【命軍析】由題意結(jié)合圖形可知，線性目標函數(shù)與可行域的一邊界平行【變式31如果點（y2）21上，那么PQ的最5P在平面區(qū)域x小1V0上，點Q在曲線x22y2V0C.2.212xy2>0【命軍析】不等式組2y1V0表小的平面區(qū)域如圖所小,小值為（要求PQ的最小值只需求出圓心（0,2）到平面區(qū)域的最小值再減去半徑1即可。由圖象可以知道圓心（0,2）到平面區(qū)域的最小值就是圓心(0,2)到直線x2y10的距離（垂足為A）所以d102(2)1|5，故選A,12(2)2例5（2015春衡陽校級期

11、末）若x,y滿足xy3(1)z2xy的最小值；22(2)zxy的范圍；z乞上的最大值.X【解析】作出滿足已知條件的可行域為ABC內(nèi)（及邊界）區(qū)域，如圖其中A1,2,B2,1,C3,4（1）目標函數(shù)z2xy表示直線l:y2xz,z表示該直線縱截距，當l過點A1,2時縱截距有最小值，故zmin4目標函數(shù)zx2y2表示區(qū)域內(nèi)的點到坐標系點的距離的平方，乂原點d3.2目標函數(shù)z即y2即Zmaxxmax舉一反三：3322g3,3在線段AB上，故OD2zOC2，即zg,252表示區(qū)域中的點與坐標原點連線的斜率,當直線過點xA時，斜率最大,【變式】（2015春龍海市期末）變量x,y滿足約束條件x2y20若z

12、2xy的最大值為mxy2,則實數(shù)m等丁.【答案】1【解析】作出約束條件x2y20所對應(yīng)的可行域（如圖陰影）變形目標函數(shù)可得y2xz,平移直線經(jīng)過點A時,目標函數(shù)取最大值2,聯(lián)立x2y20可解得22m1即點A2m2m12m2m1'2m122m22m1解得類型三：某些實所沛1線性規(guī)劃問題例6.某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件要消耗煤3個，獲9噸，電力4千瓦，使用勞動力利7000元：生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件要消耗煤4噸，電力5千瓦，使用勞動力10個，獲利12000元。有一個生產(chǎn)日，這個廠可動用的煤是360噸，電力是200千瓦，勞動力是300個，問應(yīng)該如何安排甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，才能使工廠在

13、當日的獲利最大，并問該廠當日的最大獲利是多少【解析】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品94y36045y200約束條件：31030xy0xN,yN目標函數(shù)：z=7000x+12000y如圖：目標函數(shù)經(jīng)過A點時，z取得最大值1HJt-Uh（：l'i4x5y200x20（20,24）3x10y300y24?W=20,y=24時，Zma=7000X20+12000X24=428000（元）。元。答：安排甲產(chǎn)品20件，乙產(chǎn)品24件時，利潤最大為428000舉一反三:【變式1】某運輸公司有7輛載重量為6t的A型卡車與4輛載重量為10t的B型卡車，9名駕駛員,在建筑某段高速公路中，此公司承擔(dān)了每天至少搬運3

14、60t瀝宵的任務(wù)，已知每輛卡車每天往返的次數(shù)為型卡車8次，B型卡車6次，每輛卡車每天往返的成本費為A型卡車160元，B型卡車252元，每天派出A型車與B型車各多少輛,【解析】設(shè)派出A型車x輛，B型車y輛，所花成本費為z=160x+252yxy9xy96810y360即4x5y300x7且xN,0x7且xN0y4且yN0y4ELyN才能使公司所花的成本費最低?，且x、y滿足給條件如如圖所示，作出不等式表示的區(qū)域，10$*MJT話產(chǎn)AJ?rft當直線I'經(jīng)過可行域內(nèi)A點時,40作直線l:160x252y0，即y竺x6340作直線I的平行線I':yxb63I'縱截距最小，可得A點坐標為(7-),5z=160x+252y,.y40x-A，式中一仝代表