算法的概念的教學(xué)設(shè)計

1、算法的概念的教學(xué)設(shè)計杭二中分校陳海玲一內(nèi)容和內(nèi)容解析算法是規(guī)那么系統(tǒng)一種循序漸進(jìn)解決問題的過程，尤指一種為在有限步驟內(nèi)解決問題而建立的可 重復(fù)應(yīng)用的計算過程。概念的內(nèi)涵廣義在數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)那么解決某一類問題的明確和有限的步驟?，F(xiàn)在，算法通常 可以編成電腦程序，讓電腦執(zhí)行并解決問題。概念的內(nèi)涵狹義算法概念這一節(jié)，立足于用自然語言描述解決問題過程中的明確順序，是實(shí)現(xiàn)用程序框圖、程 序語言的表示方式的根底。內(nèi)容及在本章的地位算法的思想方法幾乎貫穿整個高中數(shù)學(xué)課程的所有章節(jié)，如解三角形、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)學(xué)建模 等本節(jié)的內(nèi)容能為以后學(xué)習(xí)本章程序框圖、根本算法語句以及選修1-2第四章“框圖內(nèi)

2、容奠定根底.由于程序框圖表達(dá)的是算法的思想，故其思想方法可運(yùn)用到數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域之中.在學(xué)科中地位算法也是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成局部，算法是連接人和電腦的紐帶。是電腦科學(xué)的根底，利用電腦解決問題需要算法。首先研究解決問題的算法的自然語言表達(dá)，再把算法轉(zhuǎn)化為程序，所以 本節(jié)課學(xué)習(xí)用自然語言進(jìn)行算法設(shè)計是使用電腦解決具體問題的一個極為重要的環(huán)節(jié)。表達(dá)其應(yīng)用性 二目標(biāo)和目標(biāo)解析本節(jié)課通過對解決具體問題的過程與步驟的分析，讓學(xué)生體會算法的思想，了解算法的含義。 具體目標(biāo)為：1 要求學(xué)生了解算法的含義，體會算法的思想。2 在分析實(shí)例的根底上了解算法的根本特征。3 能夠用自然語言描述一些具體問題的算法。本節(jié)

3、課教學(xué)重點(diǎn)通過實(shí)例讓學(xué)生體會算法思想，會用自然語言表達(dá)一些具體問題的算法 三.教學(xué)問題診斷本節(jié)算法對學(xué)生來說并不陌生。生活中很多問題是按照指定的要求一步步解決的；小學(xué)的四那么 混合運(yùn)算所遵循的先乘除、后加減的規(guī)那么，括號的處理規(guī)那么等，都是學(xué)生最初接觸到的算法實(shí)例。 初中學(xué)習(xí)的方程組的解法等，也是算法的典型表達(dá)。高中學(xué)習(xí)的必修1中求函數(shù)零點(diǎn)的二分法的解題步驟、必修5中線性規(guī)劃的解題規(guī)律等更成了算法的經(jīng)典問題。還有數(shù)列的求和、質(zhì)數(shù)的判定、 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的求法等，都涉及到算法。同時，在其他學(xué)科、甚至生活中也離不開算法。算法的實(shí)質(zhì)是將人的思維過程處理成電腦能夠一步一步執(zhí)行的步驟，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為

4、一步一步執(zhí)行 的程序。這種處理問題的方式，學(xué)生以往有一些經(jīng)驗(yàn)，如教師對某些題型總結(jié)的較為固定的解題步 驟。不過這種經(jīng)驗(yàn)并沒有得到應(yīng)有的升華。只有在完整地學(xué)習(xí)了算法后，學(xué)生才能把這些知識提升 到新的高度來認(rèn)識。算法是對解題方案的準(zhǔn)確而完整的構(gòu)造性的描述。算法并不是容易理解和掌握 的內(nèi)容。教學(xué)難點(diǎn)是對算法概念的理解和對算法的描述，尤其是對循環(huán)問題的遞歸語言表達(dá)，由于 學(xué)生初次接觸，更加難以掌握。教師可以首先通過實(shí)際生活中的生動有趣的例子幫助學(xué)生了解算法的含義，明白算法是規(guī)那么系統(tǒng)一種循序漸進(jìn)解決問題的過程。在此根底上通過引導(dǎo)學(xué)生在具體情境之下回憶特殊的二元一次方程組的求解，自然展示求解的“步驟，從

5、而幫助學(xué)生進(jìn)一步明白算法是 在有限步驟內(nèi)解決問題而建 立的可重復(fù)應(yīng)用的計算過程，并能夠編成電腦可以執(zhí)行的程序讓電腦執(zhí)行并解決問題的。在建立了算法的概念以后，教師可以通過進(jìn)一步介紹學(xué)生熟悉的例子，并嘗試著讓學(xué)生自己舉 算法的例子，幫助學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)會算法的思想。接著通過例1和例2設(shè)計算法，幫助學(xué)生學(xué)會用自然語言描述算法，質(zhì)數(shù)的判斷是學(xué)生小學(xué)就接觸過的，用二分法求近似解在必修1 中學(xué)生也已經(jīng)學(xué)習(xí)過，因此這兩個問題學(xué)生都是熟悉的。這里重點(diǎn)是通過設(shè)計理解算法概念，而不在于算法所涉及問題本身。教學(xué)時可以先讓學(xué)生回參謀題的 解題過程，再讓他們整理出步驟，并有條理的用自然語言表達(dá)出來。通過這樣的教學(xué)使學(xué)生體會

6、算 法設(shè)計的根本思路。在例題之后，借助課本中的思考，得出算法的特征，并通過練習(xí)促進(jìn)對算法概念的理解與掌握。 通過案例的運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生體會算法的核心是一般意義上的解決問題策略的具體化。本節(jié)課教學(xué)，要圍繞算法概念，立足于用自然語言描述解決問題過程中的明確順序。根據(jù)這節(jié) 課的教學(xué)內(nèi)容、 教學(xué)目標(biāo)， 結(jié)合以上分析， 本節(jié)課建議采用以教師引導(dǎo)分析講授為主， 著重一個 “導(dǎo) 字，并通過適量的練習(xí)加以穩(wěn)固。四教學(xué)支持條件分析 為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，條件許可，可以借助電腦或者計算器來參與運(yùn)算或表達(dá)算法。通過電 腦演示幫助學(xué)生體會算法研究的價值。五教學(xué)過程設(shè)計 一結(jié)合章頭圖對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)史教育，同時讓學(xué)生認(rèn)識算

7、法研究的價值。1看章頭圖， 介紹圖中在春秋時期盛行的算籌； 明朝時期已廣泛使用直至今日仍在發(fā)揮作用的算盤； 當(dāng)今時代已進(jìn)入各個領(lǐng)域的電腦。2提出問題：是什么把這三這聯(lián)系在一起？引出算法。 3從古到今算法始終扮演著重要的時代角色。我國古代數(shù)學(xué)在世界數(shù)學(xué)史中曾一度占領(lǐng)先地位。通 過介紹我國古代局部數(shù)學(xué)成就，加強(qiáng)對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育，同時體會算法的研究價值。4從為了了解電腦的工作原理，引出課題算法的概念。 二問題情境，引出算法概念：問題情境 ：一個農(nóng)夫帶著一條狼、 一頭山羊和一籃蔬菜要過河 , 但只有一條小船 . 乘船時 , 農(nóng)夫只 能帶一樣?xùn)|西 . 當(dāng)農(nóng)夫在場的時候 , 這三樣?xùn)|西相安無事 .

8、一旦農(nóng)夫不在 , 狼會吃羊 , 羊會吃菜 . 請設(shè)計 一個方案 , 使農(nóng)夫能平安地將這三樣?xùn)|西帶過河 .設(shè)計意圖： 通過這個學(xué)生容易感興趣的問題，讓學(xué)生有一個對算法的初步認(rèn)識。師生活動 ：教師可以在學(xué)生看后引導(dǎo)學(xué)生整理出按步驟解決問題的方案，并告訴學(xué)生這就是一 個解決該問題的算法。第一步，農(nóng)夫帶羊過河 .第二步 , 農(nóng)夫單獨(dú)回來 .第三步，農(nóng)夫帶狼過河 .第四步，農(nóng)夫帶羊回來 . 第五步，農(nóng)夫帶蔬菜過河 .第六步，農(nóng)夫單獨(dú)回來 .第七步，農(nóng)夫帶羊過河 .當(dāng)然 , 也有可能學(xué)生提出第二套過河方案 .第一步，農(nóng)夫帶羊過河 .第二步 , 農(nóng)夫單獨(dú)回來 . 第三步，農(nóng)夫帶蔬菜過河 .第四步，農(nóng)夫帶羊回

9、來 .第五步，農(nóng)夫帶狼過河 .第六步，農(nóng)夫單獨(dú)回來 .第七步，農(nóng)夫帶羊過河 .在這里目的不是為了解決這個問題本身,而是為了從這里讓學(xué)生初步了解算法 , 所以不需要兩種方案都講 . 只要在學(xué)生答復(fù)的根底是整理出一個解決問題的步驟即可 .三解決問題，建立算法概念“雞兔同籠 是我國隋朝時期的數(shù)學(xué)著作?孫子算經(jīng)?中的一個有趣而具有深遠(yuǎn)影響的問題，從 學(xué)生熟悉的雞兔同籠問題解決引出數(shù)學(xué)中的算法問題：問題1: 一個籠子里有一些雞和兔，現(xiàn)在知道里面一共有3 5個頭 ,9 4只腳，問雞和兔各有多少只？設(shè)計意圖：通過學(xué)生熟悉的問題的解決，幫助學(xué)生形成按步驟表達(dá)解決問題的想法。為下面學(xué)習(xí)復(fù)雜問題中用自然語言描述算

10、法打好根底。師生活動 ：這個問題學(xué)生容易解決，可以由學(xué)生獨(dú)立思考，之后匯報其解決方案。1 小學(xué)里解決方法：兔的只數(shù)， (942 35)21235 1223可以得到雞的只數(shù)。在此根底上歸納出一般結(jié)論。2中學(xué)解決方法：設(shè)立未知數(shù)，建立方程，解方程。解：設(shè)有 x 只雞，y 只兔，那么x y 35(1) 2x 4y 94(2)(1) 2 (2) 得： 2y 24(3) ，解 3得 y 12將 y 12 代人 1求得 x 23。答：籠子里有雞 23只，兔 12只。3從上述解決問題的過程看，解決以上問題可以分假設(shè)干步完成：第一步，設(shè)有x只雞，y只兔，第二步，列方程：x y 35(1) 2x 4y 94(2

11、)第三步，解方程求得： x 23 ， y 12 第四步，答：籠子里有雞 23 只，兔 12只。教師在學(xué)生答復(fù)的根底上指出上述四個步驟構(gòu)成解決 “雞兔同籠 問題的一個算法。同時指出：第一步， 設(shè). 第二步， 列. 第三步， 解. 第四步， 答.這四個步驟構(gòu)成了一般的列方程解應(yīng)用題的算法。問題 2：你能寫出求解二元一次方程組：x y 352x 4y 94(1)的步驟嗎？(2)設(shè)計意圖 ：在上述 “雞兔同籠 問題中涉及解具體二元一次方程組的問題，通過復(fù)習(xí)所學(xué)過的解 二元一次方程組的根本步驟自然過渡得到解一般的二元一次方程組的步驟，為建立算法概念打下 根底。師生活動 ：教師先提出問題，讓學(xué)生對求解過程

12、一步步表達(dá)出來。 解二元一次方程組的主要思想是消元的思想，有代入消元和加減消元兩種消元的方法，教師引 導(dǎo)學(xué)生用加減消元法寫出它的求解過程，然后讓學(xué)生嘗試用代入消元法表達(dá)出解決問題的步驟。解：第一步： (1) 2 (2) 得： 2y 24(3)第二步：解 3得 y 12第三步：將y 12代人1求得x 23。無任學(xué)生用代入消元法還是加減消元法，在這里目的不是為了解方程的方法，而是為了從這里讓學(xué)生初步了解算法，所以不需要兩種方法都講教師只要和學(xué)生共同整理出一個解方程的步驟即可 教師在學(xué)生答復(fù)的根底上指出：1. 以上求解的步驟就是解二元一次方程組的算法2. 此題的算法也適合一般的二元一次方程組的解法3

13、 在解決某些問題時，需要設(shè)計出一系列可操作或可計算的步驟，通過實(shí)施這些步驟來解決問題, 通常把這些步驟稱為解決這些問題的算法.問題2:寫出求方程組ax by g a2x 鳥 y c2(1)a1b2 a2b|0的解的步驟設(shè)計意圖：在復(fù)習(xí)解具體二元一次方程組根本步驟的根底上進(jìn)一步分析解一般的二元一次方 程組的步驟，并指出上述步驟構(gòu)成了解二元一次方程組的一個算法，從而加深學(xué)生對算法的了解。 通過教師事先編好的程序的演示，讓學(xué)生感受算法研究的價值。師生活動：教師在提出問題后， 可以讓學(xué)生來說出其解題步驟，教師用投影給出求解過程步驟。解：第一步：2x a1 -1x a2，得:aAa2bi ya1c2a2

14、c13第二步:解3得C2ya2Cl;a1b2a2bi第三步:將 ya1 C2aL代入1，得xb1c2a1b2a2b1a1b2a2b1在完成求解一般的二元一次方程組步驟的根底上教師指出：1 此題的步驟就是求一般的二元一次方程組的解法的算法2 在寫出此步驟根底上， 我們將上述步驟進(jìn)一步用電腦能夠識別的語言表達(dá)出來并輸入電腦就可以 解決用電腦求二元一次方程組的解了。這里老師事先按照上述步驟編寫了程序，同學(xué)們可以跟老師起來看看。3 讓學(xué)生輸入數(shù)據(jù)，電腦直接給出方程組的解。四分析歸納，得到算法概念問題3:到底什么是算法？如何表達(dá)算法的含義？設(shè)計意圖：在提出算法這一概念后， 學(xué)生自然想進(jìn)一步了解到底什么是

15、算法。教師在此處設(shè)問， 目的不是要求學(xué)生直接作答，而是為了自然過渡到對算法的更進(jìn)一步研究上。用上面幾個學(xué)生熟悉的問題來幫助學(xué)生建立算法的概念，降低難度，有利于學(xué)生正確理解算法 的概念。培養(yǎng)學(xué)生體會發(fā)現(xiàn)、抽象、總結(jié)的能力。師生活動：教師在提出問題后，可以先讓學(xué)生用自己的語言表達(dá)對算法思想的理解，在學(xué)生答 復(fù)的根底上教師進(jìn)行歸納幫助學(xué)生建立算法的概念。教師指出：算法通常是指按照一定規(guī)那么解決某一類問題的明確和有限的步驟?，F(xiàn)在，算法通?？梢跃幊呻娔X程序，讓電腦執(zhí)行并解決問題。教師可以通過進(jìn)一步從算法的角度介紹學(xué)生熟悉的例子，并嘗試著讓學(xué)生自己舉算法的例子， 幫助學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)會算法的思想。例1.寫出交

16、換兩個大小相同的杯子中的液體A水、B酒的一個算法.例 2寫出求一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 根的算法 .(五) 算法的應(yīng)用：問題 1 設(shè)計一個算法，判斷 7 是否為質(zhì)數(shù)。設(shè)計意圖 ：在給出算法的概念后，教師在此處安排這樣一個問題，目的強(qiáng)化化學(xué)生對算法思想 的領(lǐng)會，使學(xué)生體會到算法并不抽象，實(shí)際上是我們從前解題步驟的總結(jié)。然后通過一連串問題的 追問，由淺入深，由特殊到一般，培養(yǎng)學(xué)生體會發(fā)現(xiàn)、抽象、總結(jié)的能力。通過電腦演示，讓學(xué)生 感受算法研究的價值。師生活動 ：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶質(zhì)數(shù)的概念，提出如下一系列問題幫助學(xué)生形成解決問題的根本 步驟，也就自然完成了一個算法的設(shè)計。1. 什么

17、是質(zhì)數(shù)？2. 如何判斷一個數(shù)是不是質(zhì)數(shù)？3. 你在答復(fù)這個數(shù)是不是質(zhì)數(shù)前，你在頭腦中經(jīng)歷了怎樣的思考、操作過程？ 在學(xué)生答復(fù)這個問題的根底上，教師接著提出問題：4. 電腦如何判斷整除呢 ?從而引導(dǎo)學(xué)生用標(biāo)準(zhǔn)的語言來表達(dá)算法.5. 能否設(shè)計一個算法，判斷 35 是不是質(zhì)數(shù)？6判斷 7是否是質(zhì)數(shù)的算法和判斷 35 是否是質(zhì)數(shù)的算法有什么不同？6. 任意給定一個大于1的整數(shù)n,能否設(shè)計一個算法對n是否為質(zhì)數(shù)做出判斷？這時候?qū)W生知道要判斷一個大于 2 的整數(shù) n 是否為質(zhì)數(shù)，只要根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，用比這個整數(shù) 小的數(shù)去除n，如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整數(shù)整除，那么這個數(shù)便是質(zhì)數(shù)。有了前面的根

18、底，這里學(xué)生多數(shù)可能答復(fù)用2n-1丨去除n,于是將判斷的過程表達(dá)出來就形成了解決問題的這樣一個算法： 第一步，給定大于 2 的整數(shù) n.第二步，用2去除n,得到余數(shù)t假設(shè)t=0 ,貝U 2能夠整除n, n不是質(zhì)數(shù)，算法結(jié)束；否那么，進(jìn)入第 三步 .第三步，用3去除n,得到余數(shù)t假設(shè)t=0 ,貝U 3能夠整除n, n不是質(zhì)數(shù)，算法結(jié)束；否那么，進(jìn)入第 四步 .第n-1丨步，用n-1丨去除n,得到余數(shù)t假設(shè)t=0，那么n-1丨能夠整除n，n不是質(zhì)數(shù)，算法結(jié) 束；否那么 ， n 是質(zhì)數(shù) .教師首先應(yīng)該肯定學(xué)生的做法 ， 但在學(xué)生答復(fù)的根底上向?qū)W生提出這里從2 n-1 都在重復(fù)同一件事 ，象這種情況在

19、設(shè)計算法時經(jīng)常遇到 ，然后教會學(xué)生用遞歸語言進(jìn)行 表達(dá) .在完成上述算法表達(dá)的根底上教師指出：1用自然語言描述一個算法 ， 最便捷的方式就是按解決問題的步驟進(jìn)行描述 ， 每一步做一件事情 . 這 樣描述的算法表達(dá)按部就班程序性的特點(diǎn) . 對于在解決問題過程中反復(fù)進(jìn)行的步驟 ， 同學(xué)們要學(xué)習(xí)用 遞歸語言進(jìn)行描述 . 用遞歸語言進(jìn)行描述時 ，通常分三個步驟 :首先要給一個初始值 ，接著表達(dá)重復(fù) 做的事情 ， 最后要進(jìn)行終止判斷 .2教師用事先按照上述步驟編寫的程序演示,判斷學(xué)生說出的數(shù)是否為質(zhì)數(shù)。問題 2. 用二分法設(shè)計一個求方程 x220的近似根的算法 .設(shè)計意圖 ：二分法是算法中的經(jīng)典問題,具

20、有明顯的順序和可操作的特點(diǎn)。因此在這里安排這 樣一個例題既可以穩(wěn)固前面已形成的用自然語言描述的算法,也可以提高用自然語言描述的算法的 表達(dá)水平。師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶二分法求方程近似根的方法，回憶二分法的根本思想。教師提出 精確度要求，然后引導(dǎo)學(xué)生說出解決該問題的每一個步驟，形本錢例算法。教師可以通過以下一連串問題的設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生完成二分法求方程近似解的算法設(shè)計。1二分法求方程近似解是通過求對應(yīng)函數(shù)的近似零點(diǎn)得到的，所以首先要建立函數(shù)，而且要有 具體精確度要求，因此第一步應(yīng)該怎么做？2 二分法分的是什么？3 如何確定新區(qū)間的端點(diǎn)？4 如何表達(dá)出反復(fù)二分區(qū)間的過程？引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)用遞歸語言表達(dá)

21、解：設(shè)所求近似根與精確解的差的絕對值不超過0.005，算法：2x x 2.給定精確度d .第二步，給定區(qū)間a,b ,滿足f(a)f(b) 0.第三步，取中間點(diǎn)m第四步,假設(shè)f(a)f(m) 0那么含零點(diǎn)的區(qū)間為a,m ；否那么含零點(diǎn)的區(qū)間為m,b 將新得到的含零點(diǎn)的仍然記為 a, b .第五步，判斷a,b的長度是否小于d或者f (m)是否等于o .假設(shè)是，那么m是方程的近似解；否那么, 返回第三步.在得到算法后教師可以帶著學(xué)生看書，閱讀課本第4頁上有關(guān)內(nèi)容，并說明按以上步驟，我們將依次得到課本第4頁的表1-1和圖1.1-1.于是，開區(qū)間1.4140625 ,1.41796875丨中的實(shí)數(shù)都滿足

22、假設(shè)條件的原方程是近似根五小結(jié)：將本節(jié)的主要內(nèi)容以問題的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生通過思考和答復(fù)以下問題，到達(dá)回憶和總結(jié)的目 的.問題1:你能舉出更多算法的例子嗎？設(shè)計意圖：為了學(xué)生掌握算法的思想，所以這里讓學(xué)生充分結(jié)合具體問題，以舉例的形式來表 達(dá)算法，以此評價他們對算法特征的理解情況，并讓他們聯(lián)系已經(jīng)學(xué)習(xí)過的內(nèi)容學(xué)會用算法的思想 方法去解決問題.師生活動：教師應(yīng)盡可能讓更多的學(xué)生舉出不同的實(shí)例，并引導(dǎo)他們認(rèn)識到算法的幾個特征.問題2:與一般解決問題的過程相比，你認(rèn)為算法最重要的特征是什么？設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生思考答復(fù)來評價他們對算法的特征中順序、確定、有限的步驟的領(lǐng)會情 況同時提高學(xué)生的總結(jié)、歸納、表達(dá)能力。師生活動：如果學(xué)生不能答復(fù)提出的問題，可讓他們在本節(jié)課已有問題的根底上進(jìn)行思考并 進(jìn)行歸納總結(jié)算法可以理解為有根本運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算順序所構(gòu)成的完整的解題步驟。或者看成按照要求設(shè) 計好的有限確實(shí)切的計算序列，并且這樣的步驟和序列可以解決一類問題。在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法通常是指可以用電腦來解決的某一類問題是程序或步驟，這 些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成與一般解決問題的步驟相比，算法具有程序性、有限性、構(gòu)造性、精確性等特點(diǎn)。六.目標(biāo)檢測設(shè)計1 課堂檢測 課本第6頁練習(xí)1 2課后檢