談數(shù)學(xué)思想在二次函數(shù)教學(xué)中的滲透

1、談數(shù)學(xué)思想在二次函數(shù)教學(xué)中的滲透安慶市宜秀區(qū)五橫初中戴向陽電話郵日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏說：“我搞了多年的數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們在初中、高中階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識離校后不到一兩年，便很快忘光了，然而，無論他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維方法、研究方法卻隨時的發(fā)生作用，使他們受益終生?！笨梢娊探o學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的重要。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，它游走在基本知識與方法之間，它主導(dǎo)著數(shù)學(xué)方法的方向，并引導(dǎo)合理的方法解剖數(shù)學(xué)知識，作用于已知與未知之間。數(shù)學(xué)思想與方法沒有明顯界限，方法中必有思想，思想中露出方法。思想統(tǒng)帥方法，方法統(tǒng)管基礎(chǔ)知識。數(shù)學(xué)學(xué)什么？知識忘了，可去查閱課本資料，思

2、想丟了，喚回來就難了，因為數(shù)學(xué)思想是建立在廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗上，千錘百煉而成的，不是一蹴而就的。在一定意義上，會了數(shù)學(xué)思想，就會了自我獨立研究能力，高分低能從此說拜拜。二次函數(shù)作為初中教材的特殊地位，表現(xiàn)在它包含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，它擔(dān)負著對這些思想方法進行系統(tǒng)介紹、傳授、滲透與強化的重任，進而完備學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)。其主要有轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、方程思想。、轉(zhuǎn)化思想，就是當(dāng)某個問題不易直接獲解時，可試著轉(zhuǎn)化為另一形式或類型的問題，使問題獲得簡便的解法。利用轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，可把一些代數(shù)或幾何問題化為直觀的二次函數(shù)來解答。例 m為何值時，關(guān)于x的方程有兩個不相等的實根，且一根大于

3、，另一根小于。解：構(gòu)造二次函。因a=1>0，所以函數(shù)圖象是開口向上的拋物。于是，關(guān)于x的方程有兩個不相等的實根，且一根大于，另一根小于，這相當(dāng)于圖拋物線與x軸有兩個交點，且一點在點 （2，0）的左邊，另一點在點（2，0）的右邊，如圖，即相當(dāng)于x=2時，y<0 。所以，故。 、數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合是指把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述結(jié)合起來，使代數(shù)問題幾何化或幾何問題代數(shù)化，從而將抽象的思維與形象思維結(jié)合的一種思想方法。函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的典型內(nèi)容，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)能直觀地反映數(shù)學(xué)問題中“數(shù)”與“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系。正所謂“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百

4、般好，隔離分家萬事休”。二次函數(shù)學(xué)習(xí)是樹立“數(shù)形結(jié)合思想”觀念的最佳時期、關(guān)鍵時期。數(shù)形的辯證統(tǒng)一，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和詣美、統(tǒng)一美。例 求使得不等式當(dāng)x時恒成立的實數(shù)對（p，q）。解：對于函數(shù)，當(dāng)x的值連續(xù)增加時，要使函數(shù)值的變化幅度不大于，只能使x從-變到2（如圖所示）。令，因它與的圖象形狀相同，位置不同，所以由平移可知，當(dāng)x時，要使恒成立，的圖象只能如圖 所示，此時拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，-2）。，。解得p=-6，q=7 。故所求的實數(shù)對只有（-6，7）。 4. 2 2. 1 3 5 -2 -2 2 圖 圖 、函數(shù)思想，是指從函數(shù)的視角審察問題，建立函數(shù)模型，解決方程、不等式、幾何問題、實際問

5、題、方案設(shè)計與面積問題等。下面是一道中考題，大多考生是通過相似建立等量關(guān)系，再用二次函數(shù)求最值。解答比較復(fù)雜，但是用下面函數(shù)方法要簡潔、明了的多。 例 已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖4所示），其中AF=2，BF=1。試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積。 E A F A M P B M P B D N C D N C 圖4 圖5 解：如圖5所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)矩形PNDM面積為S。因P點在線段AB上運動，令P（x，y），則y是x的一次函數(shù)。于是S=xy，顯然S是x的二次函數(shù)，設(shè) 。當(dāng)P點在A點（即x=2）時，S=2×4=8；當(dāng)P點在B點（即x=4

6、）時，S=4×3=12；當(dāng)P點在AB的中點（即x=3）時，S=3×3.5=10.5 。從而有： 4a+2b+c=8 a= -0.5 16a+4b+c=12 解得 b=5 所以（2x4）， 9a+3 b+ c=10.5 c=0 此二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為x=5 。當(dāng)x5時，函數(shù)的值是隨x的增大而增大，對2x4來說，當(dāng)x=4時，S有最大值，S最大=（-1/2）×42+5×4=12 。 另解：如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則有A（2，4）、B（4，3），于是AB的解析式為y=-0.5x+5 ,故令DN=x時，DM=-0.5x+5 。若設(shè)矩形PNDM面積為S，于是S=x（-0.5x+5）=-0.5x2+5x（2x4），此二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為x=5 。當(dāng)x5時，函數(shù)的值是隨x的增大而增大，對2x4來說，當(dāng)x=4時，S有最大值，S最大=（-1/2）×42+5×4=12 。在進行課堂教學(xué)時，教師 不應(yīng)僅重視對數(shù)學(xué)知識的傳授，還應(yīng)注意對其中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想和方法的提煉和總結(jié)，只有這樣才能在教學(xué)中全面地落實數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)教學(xué)