人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)

1、二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象和性質(zhì)圖象和性質(zhì)xyo 一般地，拋物線一般地，拋物線y=a(x-h) +k與與y=ax 的的 相同，相同， 不同不同22形狀形狀位置位置 y=ax2y=a(x-h) +k2上加下減上加下減左加右減左加右減拋物線拋物線y=a(x-h)2+k有如下特點有如下特點:1.當當a0時，開口時，開口 ， 當當a0時，開口時，開口 ，向上向上向下向下 2.對稱軸是對稱軸是 ；3.頂點坐標是頂點坐標是 。直線直線X=h(h,k)二次函數(shù)二次函數(shù)開口方開口方向向?qū)ΨQ軸對稱軸頂點坐標頂點坐標y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2y = 4(x-3)2 +7

2、y = -5(2-x)2 - 6直線直線x=3直線直線x=1直線x=2直線x=3向上向上向上向上向下向下向下向下（3，5）（1，2）（3，7 ）（2，6） 你能說出二次函數(shù)你能說出二次函數(shù)y=x 6x21圖像的特征嗎？圖像的特征嗎？212如何畫出如何畫出 的圖象呢的圖象呢? ?216212xxy 我們知道我們知道,像像y=a(x-h)2+k這樣的函數(shù)這樣的函數(shù),容易確定相應(yīng)拋物線的頂點為容易確定相應(yīng)拋物線的頂點為(h,k), 二次二次函數(shù)函數(shù) 也能化成這樣的形也能化成這樣的形式嗎式嗎?216212xxy配方配方216212xxyy= (x6) +3212你知道是怎樣配你知道是怎樣配方的嗎？方的

3、嗎？ .w怎樣把函數(shù)怎樣把函數(shù)y=3x2-6x+5的轉(zhuǎn)化成的轉(zhuǎn)化成y=a(x-h）2+k的形式的形式? ?函數(shù)函數(shù)y=axy=ax+bx+c+bx+c的圖象的圖象 w配方配方: :5632xxy35232xx提取二次項系提取二次項系數(shù)數(shù)3511232xx配方配方:加上再減去一加上再減去一次項系數(shù)絕對值一次項系數(shù)絕對值一半的平方半的平方32132x. 2132x化簡化簡:去去整理整理:前三項前三項化為平方形式化為平方形式,后兩項后兩項合并同類項合并同類項掉中括號掉中括號老師提示老師提示:配方后的表達配方后的表達式通常稱為式通常稱為配配方式方式或或頂點式頂點式歸納歸納二次函數(shù)二次函數(shù) y= x 6

4、x +21圖象的圖象的畫法畫法：(1)“化化” ：化成頂點式：化成頂點式 ；(2)“定定”：確定開口方向、對稱軸、頂：確定開口方向、對稱軸、頂點坐標；點坐標；(3)“畫畫”：列表、描點、連線。：列表、描點、連線。212.函數(shù)函數(shù)y=3x2-6x+5的圖象特征的圖象特征w2.2.根據(jù)配方式根據(jù)配方式( (頂點式頂點式) )確定開口方向確定開口方向, ,對稱對稱軸軸, ,頂點坐標頂點坐標. .a=30,a=30,開口向上開口向上; ; 對稱軸對稱軸: :直線直線x=1x=1; ; 頂點坐標頂點坐標: :(1,2)(1,2). .2132xy510510Oxyx3) 6(212xy7.553.533

5、.557.56543789函數(shù)函數(shù)y=3x2-6x+5的圖象特征的圖象特征求次函數(shù)求次函數(shù)y=ax+bx+c的對稱軸和頂點坐的對稱軸和頂點坐標標 函數(shù)y=ax+bx+c的頂點是w配方配方: :2yaxbxc2ba xxca提取二次項系數(shù)提取二次項系數(shù)22222bbba xxcaaaa 配方配方:加上再加上再減去一次項系減去一次項系數(shù)絕對值一半數(shù)絕對值一半的平方的平方整理整理:前三項化為平方形前三項化為平方形式式,后兩項合并同類項后兩項合并同類項224.24bacba xaa224.24bacbya xaa這種形式的這種形式的式子通常被式子通常被稱為拋物線稱為拋物線的頂點式的頂點式. 函數(shù)函數(shù)y

6、=axy=ax +bx+c+bx+c的對稱軸、頂點坐標的對稱軸、頂點坐標是什么？是什么？ 22:24:(,)24byaxbxcxabacbaa 的 對 稱 軸 是頂 點 坐 標 是2232288yxxyxx 2221432yxxyxx 1.1. 說出下列函數(shù)的開口方向、對稱軸、頂點坐標：說出下列函數(shù)的開口方向、對稱軸、頂點坐標：. （3）開口方向：當）開口方向：當 a0時，拋物線開時，拋物線開口向上；當口向上；當 a0時，拋物線開口向下。時，拋物線開口向下。4二次函數(shù)二次函數(shù)2yaxbxc的性質(zhì)：的性質(zhì)：（1）頂點坐標）頂點坐標24,;24bacbaa（2）對稱軸是直線）對稱軸是直線2bxa

7、.2bxa 24-,4ac bya最小2bxa 24-;4ac bya最大如果如果a0，當，當時，函數(shù)有最小值，時，函數(shù)有最小值，如果如果a0，當，當時，函數(shù)有最大值，時，函數(shù)有最大值，（4）最值：）最值：.2bxa 2bxa 2bxa 2bxa 若若a0，當，當時，時，y隨隨x的增大而增大；的增大而增大；當當時，時，y隨隨x的增大而減小。的增大而減小。若若a0，當，當時，時，y隨隨x的增大而減??；的增大而減小；當時，時，y隨隨x的增大而增大。的增大而增大。（5）增減性：）增減性：. 與與y軸的交點坐標軸的交點坐標為（為（0，c）(6)拋物線拋物線2yaxbxc與坐標軸的交點與坐標軸的交點拋物

8、線拋物線2yaxbxc2yaxbxc 12,0 ,0 xx12,x x20axbxc拋物線拋物線與與x軸的交點坐標為軸的交點坐標為，其中其中為方程為方程的兩實數(shù)根的兩實數(shù)根.所以當所以當x2 2時，時， 。解法一（配方法）：解法一（配方法）：2281yxx22277x 7y最小值2241xx224441xx例例5 當當x取何值時，二次函數(shù)取何值時，二次函數(shù) 有最大值有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？或最小值，最大值或最小值是多少？2281yxx.因為因為所以當所以當x2 2時，時， 。因為因為a20，拋物線，拋物線 有最低有最低點，所以點，所以y有最小值，有最小值， 2281yxx224

9、 2 18842,722 244 2bacbaa 7y最小值總結(jié)：求二次函數(shù)最值，有兩個方法總結(jié)：求二次函數(shù)最值，有兩個方法(1)用配方法；用配方法；(2)用公式法用公式法解法二（公式法）：解法二（公式法）：.又又例例6已知函數(shù)已知函數(shù) ，當，當x為何值為何值時，函數(shù)值時，函數(shù)值y隨自變量的值的增大而減小。隨自變量的值的增大而減小。211322yxx 解法一：解法一： ， 102a 拋物線開口向下，拋物線開口向下， 21169922xx 21913222x 21352x 對稱軸是直線對稱軸是直線x3，當，當 x3時，時，y隨隨x的增大而減小。的增大而減小。 211322yxx .102a 33

10、1222ba 解法二：解法二：，拋物線開口向下，拋物線開口向下， 對稱軸是直線對稱軸是直線x3，當，當 x3時，時，y隨隨x的增大而減小。的增大而減小。.例例7 已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)212321ymxmxmm的最大值是的最大值是0，求此函數(shù)的解析式，求此函數(shù)的解析式.解：此函數(shù)圖象開口應(yīng)向下，且頂點縱坐解：此函數(shù)圖象開口應(yīng)向下，且頂點縱坐標的值為標的值為0所以應(yīng)滿足以下的條件組所以應(yīng)滿足以下的條件組21041 322041mmmmm ，由解方程得由解方程得121,22mm不合題意，舍去所求函數(shù)解析式為所求函數(shù)解析式為21111232 ,222yxx 。21122yxx 即.32yaxbxc

11、圖象的畫法圖象的畫法 2yaxbxc2ya xhk步驟：步驟：1利用配方法或公式法把利用配方法或公式法把化為化為的形式。的形式。2確定拋物線的開口方向、對稱軸確定拋物線的開口方向、對稱軸及頂點坐標。及頂點坐標。3在對稱軸的兩側(cè)以頂點為中心左在對稱軸的兩側(cè)以頂點為中心左右對稱描點畫圖。右對稱描點畫圖。. 的圖像，利用函的圖像，利用函數(shù)圖像回答：數(shù)圖像回答：例例3 畫出畫出2286yxx (1)x取什么值時，取什么值時，y0？(2)x取什么值時，取什么值時，y0？x取什么值時取什么值時y0？(3)x取什么值時值或最小值？取什么值時值或最小值？.（2,2）x=2（0,6）（1,0）（3,0）（4,6

12、）2286yxx 由圖像知：由圖像知： 當當x1或或x3時，時， y0；(2)當當1x3時，時， y0；(3)當當x1或或x3時，時， y0；(4)當當x2時，時， y有最大值有最大值2。xy. 與與x軸的交點情況軸的交點情況可由對應(yīng)的一元二次方程可由對應(yīng)的一元二次方程2yaxbxc20axbxc(7)拋物線拋物線的根的判別式判定：的根的判別式判定： 0有兩個交點有兩個交點拋物線與拋物線與x軸相交；軸相交； 0有一個交點有一個交點拋物線與拋物線與x軸相切；軸相切； 0沒有交點沒有交點拋物線與拋物線與x軸相離。軸相離。.例例 已知拋物線已知拋物線247,yxkxkk取何值時，拋物線經(jīng)過原點；取何

13、值時，拋物線經(jīng)過原點；k取何值時，拋物線頂點在取何值時，拋物線頂點在y軸上；軸上；k取何值時，拋物線頂點在取何值時，拋物線頂點在x軸上；軸上；k取何值時，拋物線頂點在坐標軸上。取何值時，拋物線頂點在坐標軸上。. ，所以k4，所以當以當k4時，拋物線頂點在時，拋物線頂點在y軸上。軸上。 ，所以k7，所以當，所以當k7時，拋物線經(jīng)過原點；時，拋物線經(jīng)過原點；拋物線頂點在拋物線頂點在y軸上，則頂點橫坐標為軸上，則頂點橫坐標為0，即即解：拋物線經(jīng)過原點，則當解：拋物線經(jīng)過原點，則當x0時，時，y0，所以，所以200407kk4022 1kba . ，所以當以當k2或或k6時，拋物線頂點在時，拋物線頂點

14、在x軸軸上。上。拋物線頂點在x軸上，則頂點縱坐標為0，即拋物線頂點在x軸上，則頂點縱坐標為0，即即224 1744044 1kkacba 24120kk122,6kk ，整理得整理得，解得：解得：由、知，當由、知，當k4或或k2或或k6時，拋物線的頂點在坐標軸上。時，拋物線的頂點在坐標軸上。224 1744044 1kkacba 拋物線位置與系數(shù)拋物線位置與系數(shù)a，b，c的關(guān)系：的關(guān)系：a決定拋物線的開口方向：決定拋物線的開口方向： a0 開口向上開口向上a0 開口向下開口向下 a，b決定拋物線對稱軸的位置決定拋物線對稱軸的位置: (對稱軸是直線對稱軸是直線x = ) a，b同號同號 對稱軸在

15、對稱軸在y軸左側(cè)；軸左側(cè)； b=0 對稱軸是對稱軸是y軸；軸； a，b異號異號 對稱軸在對稱軸在y軸右側(cè)軸右側(cè) 2ab【左同右異】【左同右異】.拋物線拋物線yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(3)c的大小決定拋物線的大小決定拋物線yax2bxc與與y軸軸交點的位置。交點的位置。當當x0時，時，yc，拋物線拋物線yax2bxc與與y軸有且只有一個交點軸有且只有一個交點(0，c)， c0拋物線經(jīng)過原點拋物線經(jīng)過原點；c0與與y軸交于正半軸軸交于正半軸；圖象與；圖象與y軸交點在軸交點在x軸上方；軸上方； c0與與y軸交于負半軸。軸交于負半軸。圖象與圖象與y軸交點在軸交點在x軸下方。軸下方。

16、.例例3 3：指出拋物線：指出拋物線: :254yxx 的開口方向，求出它的對稱軸、頂點坐的開口方向，求出它的對稱軸、頂點坐標、與標、與y軸的交點坐標、與軸的交點坐標、與x軸的交點坐軸的交點坐標。并畫出草圖。標。并畫出草圖。 對于對于y=ax2+bx+c我們可以確定它的開口我們可以確定它的開口方向，求出它的對稱軸、頂點坐標、與方向，求出它的對稱軸、頂點坐標、與y軸的交點坐標、與軸的交點坐標、與x軸的交點坐標（有交軸的交點坐標（有交點時），這樣就可以畫出它的大致圖象點時），這樣就可以畫出它的大致圖象。a=-10, 開口向下，頂點坐標（開口向下，頂點坐標（2.5，9/4），與），與y軸交點坐標為軸

17、交點坐標為（0，- 4），與），與x軸交點為（軸交點為（1,0)、(4,0），），.y=2x2-5x+3y=(x-3)(x+2) 求下列二次函數(shù)圖像的開口、頂點、對稱軸求下列二次函數(shù)圖像的開口、頂點、對稱軸請畫出草圖請畫出草圖:396-1 例例2、已知函數(shù)、已知函數(shù)y = ax2 +bx +c的圖象如的圖象如下圖所示，下圖所示，x= 為該圖象的對稱軸，根為該圖象的對稱軸，根 據(jù)圖象信息你能得到關(guān)于系數(shù)據(jù)圖象信息你能得到關(guān)于系數(shù)a，b，c的的一些什么結(jié)論？一些什么結(jié)論？31 y 1.x13.3. 已知如圖是二次函數(shù)已知如圖是二次函數(shù)yax2bxc的圖象，的圖象，判斷以下各式的值是正值還是負值判斷

18、以下各式的值是正值還是負值(1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2ab；(6)abc；(7)abc.分析：已知的是幾何關(guān)系分析：已知的是幾何關(guān)系(圖形的位置、圖形的位置、形狀形狀)，需要求出的是數(shù)量關(guān)系，所以應(yīng)，需要求出的是數(shù)量關(guān)系，所以應(yīng)發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用.解：解：(1)因為拋物線開口向下，所以因為拋物線開口向下，所以a0；判斷判斷a的符號的符號.(2)因為對稱軸在因為對稱軸在y軸右側(cè)，所以軸右側(cè)，所以02ba，而，而a0，故，故b0；判斷判斷b的符號的符號.(3)因為因為x0時，時，yc，即圖象與，即圖象與y軸交點軸交點的坐標是的坐標是(0，c)，而圖中這

19、一點在，而圖中這一點在y軸正軸正半軸，即半軸，即c0；判斷判斷c的符號的符號.2404acba240acb240bac(4)因為頂點在第一象限，其縱坐標因為頂點在第一象限，其縱坐標 ，且，且a0，所以，所以，故，故。判斷判斷b24ac的符號的符號. ，且且a0，所以，所以b2a，故，故2ab0；(5)因為頂點橫坐標小于因為頂點橫坐標小于1，即，即12ba判斷判斷2ab的符號的符號.(6)因為圖象上的點的橫坐標為因為圖象上的點的橫坐標為1時，點時，點的縱坐標為正值，即的縱坐標為正值，即a12b1c0，故故abc0；判斷判斷abc的符號的符號.(7)因為圖象上的點的橫坐標為因為圖象上的點的橫坐標為

20、1時，時，點的縱坐標為負值，即點的縱坐標為負值，即a(1)2b(1)c0，故，故abc0判斷判斷abc的符號的符號1.1.拋物線拋物線y=2xy=2x2 2+8x-11+8x-11的頂點在的頂點在 （ ） A. A.第一象限第一象限 B. B.第二象限第二象限 C. C.第三象限第三象限 D. D.第四象限第四象限2.2.不論不論k k 取任何實數(shù)，拋物線取任何實數(shù)，拋物線y=a(x+k)y=a(x+k)2 2+k(a0)+k(a0)的頂點都的頂點都在在 （ ） A. A.直線直線y = xy = x上上 B. B.直線直線y = - xy = - x上上 C.x C.x軸上軸上 D.y D.

21、y軸上軸上3.3.若二次函數(shù)若二次函數(shù)y=axy=ax2 2 + 4x+a-1+ 4x+a-1的最小值是的最小值是2,2,則則a a的值是的值是 （ ） A 4 B. -1 C. 3 D.4A 4 B. -1 C. 3 D.4或或-1-1CBA4.4.若二次函數(shù)若二次函數(shù) y=ax2 + b x + c 的圖象如下的圖象如下, ,與與x x軸的一個交點為軸的一個交點為(1,0),(1,0),則下列各式中不成立則下列各式中不成立的是的是 （ ） A.A.b2-4ac0 B. 0 B. 0=0 D. 01xyo-15.5.若把拋物線若把拋物線y = x2 - 2x+1向右平移向右平移2 2個單位個單位, ,再向再向下平移下平移3 3個單位個單位, ,得拋物線得拋物線y=x2+bx+c, ,則（則（ ） A.b=2 A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18 D.b=-8 , c=18 B B-2ab4a4ac-b26.