專題4第2講空間中的平行、垂直及夾角

1、第 2 講空間中的平行、垂直及夾角(建議用時： 50 分鐘 )一、選擇題1(2013 安徽卷 )在下列命題中，不是公理的是()A 平行于同一個平面的兩個平面相互平行B過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面C如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)D如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線解析選項 A 是面面平行的性質(zhì)定理答案A2(2014 濟(jì)南模擬 )已知兩條直線a， b 與兩個平面，b，則下列命題中正確的是()若 a，則 ab；若 a b，則 a；若 b，則 ；若 ，則 b.A CBD解析過直線 a 作平面 使 c，則 ac，再根

2、據(jù) b可得 bc，從而 ba，命題是真命題；下面考慮命題，由b，b，可得 ，命題為真命題故正確選項為A.答案A3(2014 遼寧卷 )已知 m，n 表示兩條不同直線， 表示平面下列說法正確的是()A 若 m， n，則 m nB若 m， n? ，則 m nC若 m， mn，則 nD若 m， mn，則 n解析法一若 m， n，則 m， n 可能平行、相交或異面，A 錯；若 m，n? ，則 mn，因為直線與平面垂直時， 它垂直于平面內(nèi)任一直線，B 正確；若 m，mn，則 n或 n? ，C 錯；若 m， mn，則 n 與 可能相交，可能平行，也可能n? ，D 錯；法二如圖，在正方體ABCD ABCD中

3、，用平面 ABCD 表示 .A 項中，若 m 為 A B ，n 為 BC，滿足 m， n，但 m 與 n 是相交直線，故 A 錯B 項中， m，n? ，mn，這是線面垂直的性質(zhì)，故 B 正確C 項中，若 m 為 AA，n 為 AB，滿足 m， mn，但 n? ，故 C 錯D 項中，若 m 為 AB ，n 為 B C ，滿足 m，mn，但 n，故 D 錯答案B4已知 m 和 n 是兩條不同的直線， 和 是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出m的是()A ，且 m? Bm n，且 nC ，且 mD m n，且 n解析根據(jù)定理、性質(zhì)、結(jié)論逐個判斷 因為 ，m? ? 可能平行、相交、m 在

4、 面內(nèi)， 故 A 錯誤；由線面垂直的性質(zhì)定理可知B 正確；若 ，m，則 m，的位置關(guān)系也不確定，故C 錯誤；若 mn，n，則 m，的位置關(guān)系也不確定，故D 錯誤答案B5已知兩條不同的直線m， n 和兩個不同的平面，給出下列四個命題：若 m，n ，且 ，則 mn；若 m，n，且 ，則 m n；若 m，n，且 ，則 m n；若 m，n，且 ，則 mn.其中正確的個數(shù)有()A 1B2C 3D 4解析中 m，n 可能異面或相交，故不正確；因為m， n且 成立時， m，n 兩直線的關(guān)系可能是相交、平行、異面，故不正確；因為m，可得出 m，再由 n可得出 mn，故正確；分別垂直于兩個垂直平面的兩條直線一定

5、垂直，正確故選B.答案B6(2013 新課標(biāo)全國卷 )已知 m，n 為異面直線， m平面 ，n平面 .直線 l滿足 lm， ln，l?，l?，則()A 且 l B 且 l C 與 相交，且交線垂直于 lD與 相交，且交線平行于 l解析 假設(shè) ，由 m平面 ，n平面 ，則 mn，這與已知 m， n 為異面直線矛盾，那么 與 相交，設(shè)交線為 l 1，則 l1m， l1n，在直線 m 上任取一點作 n 平行于 n，那么 l和 l 都垂直于直線 m 與 n所確定的平面， 所以 l1111l.答案 D7如圖，在斜三棱柱11 1 中，BAC 90，BC1ABCA B C AC，則 C1 在面 ABC 上的

6、射影 H 必在A直線 AB 上B直線 BC 上C直線 AC 上D ABC 的內(nèi)部解析 ACAB，ACBC1 ， BC1 ， 平面1又AC?平面，ABB ACABC .ABC平面ABC1平面ABC，C1 在面 ABC 上的射影 H 必在兩平面交線 AB 上，故選 A.答案 A二、填空題8設(shè) 和 為兩個不重合的平面，給出下列四個命題：若 內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則 平行于 ；若外一條直線 l 與 內(nèi)的一條直線平行，則 l 和 平行；設(shè) 和 相交于直線 l，若 內(nèi)有一條直線垂直于 l，則 和 垂直；直線 l 與 垂直的充分必要條件是 l 與 內(nèi)的兩條直線垂直其中為真命題的是 _(寫出

7、所有真命題的序號 )解析由知 內(nèi)兩條相交直線分別平行于平面，則兩條相交直線確定的平面平行于平面 ，故為真命題；由線面平行的判定定理知，為真命題；對于，如圖， l ，a? ，al，但不一定有 ，故為假命題；對于，直線 l 與平面 垂直的充分必要條件是l 與 內(nèi)的兩條相交直線垂直，故為假命題綜上所述，真命題的序號為.答案9(2014 金麗衢十二校聯(lián)考 )下列四個正方體中， A，B 為正方體的兩個頂點， M，N， P 分別為其所在棱的中點，能得出直線 AB平面 MNP 的圖形的序號是_(寫出所有符合要求的圖形序號)解析對于，注意到該正方體的面中過直線AB 的側(cè)面與平面 MNP 平行，因此直線 AB

8、平行于平面 MNP；對于，注意到直線AB 和過點 A 的一個與平面 MNP 平行的平面相交，因此直線AB 與平面 MNP 相交；對于，注意到此時直線AB 與平面 MNP 內(nèi)的一條直線MP 平行，且直線AB 位于平面MNP 外，因此直線 AB 與平面 MNP 平行；對于，易知此時 AB 與平面 MNP相交綜上所述，能得出直線AB 平行于平面 MNP 的圖形的序號是 .答案10(2014 衡陽質(zhì)檢 )在正方體 ABCD A1B1C1D1 中， E 是 DD 1 的中點，則 BD1 與平面 ACE 的位置關(guān)系為 _解析如圖連接 AC，BD 交于 O 點，連接 OE，因為 OEBD1，而 OE? 平面

9、 ACE，BD1 ?平面 ACE，所以 BD1平面ACE.答案平行11(2014 陜西師大附中模擬 )如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1 中，E、 F、 G、H 分別是棱 CC1、C1D1、D1D、 DC 的中點， N 是 BC 的中點，點 M 在四邊形 EFGH 及其內(nèi)部運動，則 M 滿足條件 _時，有 MN平面 B1BDD 1.解析如圖，連接 FH ，HN， FN，由題意知 HN面B1BDD 1，F(xiàn)H面B1BDD1.且 HNFHH，面NHF 面B1BDD 1.當(dāng)M 在線段 HF 上運動時，有 MN面B1BDD1.答案M線段 HF12如圖，在長方形 ABCD 中， AB 2， BC 1，

10、E 為 DC 的中點， F 為線段 EC 上一動點現(xiàn)將 AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD平面 ABC.在平面 ABD 內(nèi)過點 D 作 DK AB， K 為垂足設(shè) AK t，則 t 的取值范圍是 _解析如圖，過 D 作 DGAF，垂足為 G，連接 GK，平面ABD平面ABC，DKAB，DK 平面ABC，DK AF.又 DGAF，AF平面DKG ，AFGK.AB容易得到，當(dāng) F 運動到 E 點時， K 為 AB 的中點， t AK 2 1；當(dāng) F 運動到 C 點時，在RtADF中，易得AF5，且AG1 ，GF54 ，又易知5AGABRtAGKRtABF，則 AK AF，又AB 2，AKt，則

11、1t2.t 的取值范圍是12，1 .答案12，1三、解答題13(2013 山東卷 )如圖，在四棱錐PABCD 中， AB AC， AB PA，ABCD，AB2CD，E，F(xiàn)， G， M，N 分別為 PB， AB，BC，PD，PC 的中點(1)求證： CE平面 PAD；(2)求證：平面 EFG平面 EMN.證明(1)法一如圖 1，取 PA 的中點 H，連接 EH， DH .圖 1因為 E 為 PB 的中點，1所以 EH AB，EH 2AB.1又 ABCD ，CD2AB，所以 EH CD， EH CD.所以四邊形 DCEH 是平行四邊形所以 CE DH.又 DH? 平面 PAD，CE?平面 PAD，

12、所以 CE平面 PAD.法二如圖 2，連接 CF.圖 2因為 F 為 AB 的中點，1所以 AF2AB.1又 CD2AB，所以 AF CD.又 AFCD，所以四邊形 AFCD 為平行四邊形所以 CF AD.又 CF?平面 PAD，所以 CF平面 PAD.因為 E， F 分別為 PB，AB 的中點，所以 EFPA.又 EF?平面 PAD，所以 EF平面 PAD.因為 CF EFF，故平面 CEF平面 PAD.又 CE? 平面 CEF，所以 CE平面 PAD.(2)因為 E，F(xiàn) 分別為 PB， AB 的中點，所以 EFPA.又 AB PA，所以 ABEF.同理可證 ABFG.又 EFFGF，EF?

13、 平面 EFG，F(xiàn)G? 平面 EFG，因此 AB平面 EFG.又 M，N 分別為 PD，PC 的中點，所以 MNDC.又 ABDC ，所以 MNAB，所以 MN平面 EFG. 又 MN? 平面 EMN，所以平面 EFG平面 EMN.14如圖，在菱形 ABCD 中， DAB60，PA底面ABCD，PA DA，E，F(xiàn) 分別是 AB，PD 的中點(1)求證： PCBD；(2)求證： AF平面 PEC；(3)在線段BC 上是否存在一點M ，使 AF 平面PDM？若存在，指出點M 的位置；若不存在，說明理由解 (1)連接 AC，則 ACBD.PA平面 ABCD，PA BD.又 AC 與 PA 相交于點

14、A，BD平面 PAC.PC? 平面 PAC，PCBD.(2)取 PC 的中點 K ，連接 FK ，EK，則四邊形 AEKF 是平行四邊形，AF EK，EK? 平面 PEC，AF?平面 PEC，AF平面 PEC.(3)當(dāng) M 是 BC 的中點時，可使AF平面 PDM ，證明如下：PA DA， F 是 PD 的中點，AFPD.在菱形 ABCD 中， DAB 60， BCD 為等邊三角形， DMBC.又 ADBC， DMAD.PA底面 ABCD，PADM，DM 平面 PAD，又 AF? 平面 PAD，DMAF，又 PDDMD，AF平面 PDM .15.如圖，四棱錐 PABCD 的底面 ABCD 是平

15、行四邊形， BA BD 2，AD2，PAPD 5，E，F(xiàn) 分別是棱 AD，PC 的中點(1)證明： EF平面 PAB；(2)若二面角 P ADB 為 60，證明：平面 PBC平面 ABCD；求直線 EF 與平面 PBC 所成角的正弦值(1)證明如圖，取 PB 中點 M，連接 MF，AM.1因為 F 為 PC 中點，故 MF BC 且 MF 2BC.由已知有 BC AD， BC AD.又由于 E 為 AD 中點，因而 MF AE 且 MF AE，故四邊形 AMFE 為平行四邊形，所以 EF AM.又 AM? 平面 PAB，而 EF?平面 PAB，所以 EF平面PAB.(2)證明 連接 PE，BE.因為 PAPD， BABD，而 E 為 AD 中點，故 PE AD，BEAD，所以 PEB 為二面角 PADB 的平面角在 PAD 中，由 PAPD 5，AD 2，可解得 PE 2.在 ABD 中，由 BABD 2，AD2，可解得 BE1.在 PEB 中， PE2，BE1， PEB60，由余弦定理，可解得 PB 3，從而