橢圓典型題型歸納總結

1、橢圓典型題型歸納題型一.定義及其應用22例1:已知一個動圓與圓C:(x4)y100相內(nèi)切，且過點A(4,0),求這個動圓圓心M的軌跡萬程;練習：1.方程Jx3)2y2J(x3)2A.直線B.線段2.方程J(x3)2y2,(x3)2A.直線B.線段2y6對應的圖形是(C.橢圓D.圓2y10對應的圖形是(C.橢圓D.圓3.方程Jx2(y3)2Jx2(y3)210成立的充要條件是(2xA.252X1162xB.25C.22士上11625D.2X1254.如果方程&(ym)26(ym)21表示橢圓，則m的取值范圍是225 .過橢圓9x24y21的一個焦點Fi的直線與橢圓相交于A,B兩點，則A,

2、B兩點與橢圓的另一個焦點F?構成的ABF2的周長等于226 .設圓(x1)y25的圓心為C,A(1,0)是圓內(nèi)一定點，Q為圓周上任意一點，線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M,則點M的軌跡方程為題型二.橢圓的方程(一)由方程研究曲線22xy的距離之和等于的點的軌跡例1.方程U1的曲線是到定點1625(二)分情況求橢圓的方程例2.已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點P(3,0),求橢圓的方程;(三)用待定系數(shù)法求方程例3.已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P(J6,1)、P2(J3,J2),求橢圓的方程;例4.求經(jīng)過點(2,3)且與橢圓9x24y236有共同

3、焦點的橢圓方程;(四)定義法求軌跡方程；例5.在ABC中，A,B,C所對的三邊分別為2巾工，且8(1,0),C(1,0),求滿足bac且b,a,c成等差數(shù)列時頂點A的軌跡；練習：22221、動圓P與圓G:(x4)y81內(nèi)切與圓C2：(x4)y1外切，求動圓圓心的P的軌跡方程。_.、一,2、已知動圓C過點A(2,0)，且與圓C2：(x2)y64相內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為；(五)相關點法求軌跡方程;2例6.已知x軸上一定點A（1,0）,Q為橢圓y21上任一點，求AQ的中點M的軌跡方程；4（六）直接法求軌跡方程；例7.設動直線l垂直于x軸，且與橢圓x22y24交于A,B兩點，點P是直線l上滿足P

4、A?PB1的點，求點P的軌跡方程；（七）列方程組求方程1例8.中心在原點，一焦點為F（0,相）的橢圓被直線y3x2截得的弦的中點的橫坐標為一，求此橢圓2的方程；題型三.焦點三角形問題橢圓中的焦點三角形：通常結合定義、正弦定理、余弦定理、勾股定理來解決；一一、，2.,2,橢圓x2y_1（ab0）上一點P（x°,y°）和焦點Fi（c,0）,F2（c,0）為頂點的PF1F2中，F(xiàn)1PF2，則ab當P為短軸端點時最大，且 PF1PF22a；c22H 4c2PF1PF22PF1IPF2cos; SPFif2g|PF111PF2sin=b2tan,。“短軸長）225例：知橢圓士上1上一

5、點P的縱坐標為，橢圓的上下兩個焦點分別為F2、F1,求PF1、PF2及16253cosF1PF2；練習：x2y2,一.一一1、橢圓x-y-1的焦點為E、F2,點P在橢圓上，若|PFi4,則|pf;92F1PF2的大小為;x2y2_o2、P是橢圓1上的一點，F(xiàn)i和F2為左右焦點，若F1PF2600。259（1）求F1PF2的面積；（2）求點P的坐標。題型四.橢圓的幾何性質(zhì)x2y2,5八，,例1.已知P是橢圓一彳1上的點，的縱坐標為5,Fi、F2分別為橢圓的兩個焦點，橢圓的半焦距為ab3c,則PF1?PF2的最大值與最小值之差為22xy例2.橢圓一7%1（ab0）的四個頂點為A,B,C,D,若四邊

6、形ABCD的內(nèi)切圓恰好過焦點，則橢ab圓的離心率為;22.xy1例3.若橢圓1的離心率為一，則k；k14222例4.若P為橢圓'L1(ab0)上一點，F(xiàn)l、F2為其兩個焦點，且PF1F215O,PF2F175°,ab則橢圓的離心率為題型五.求范圍22例1.方程0y21焦點在x軸的橢圓，求實數(shù)m的取值范圍;m(m1)題型六.求離心率2x例1.橢圓a線AB的距離為2yb2b丁2x例2.若P為橢圓a1(ab0)的左焦點為F1(c,0),A(a,0),則橢圓的離心率e241(ab0)上一點，F(xiàn)1、F2為其兩個焦點,bB(0,b)是兩個頂點，如果F1到直且PF1F2,PF2F12則橢圓

7、的離心率為例3.F1、F2為橢圓的兩個焦點，過F2的直線交橢圓于P,Q兩點，PF1PQ,且PFJ|PQ,則橢圓的離心率為練習221、(2010南京二模)以橢圓今彳1(ab0)的右焦點為圓心的圓經(jīng)過原點O,且與該橢圓的右準ab線交于A、B兩點，已知OAB是正三角形，則該橢圓的離心率是;222、已知ABC分別為橢圓>41(ab0)的右頂點、上頂點、和左焦點，若ABC900,ab則該橢圓的離心率為;x2v23a3、(2012年新課標)設F1F2是橢圓E：-2%1(ab0)的左、右焦點，P為直線x上一ab2點，F(xiàn)2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為()A.B.C.-D.一

8、234、橢圓2x2a241(a>b>0)的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1,F2.若|AF1|,|F1F2IJF1B|b2成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為題型七.直線與橢圓的關系(1)直線與橢圓的位置關系22例1.當m為何值時，直線l:yxm與橢圓9x16y144相切、相交、相離？222yAPkOB例2.曲線2xy2a(a0)與連結A(1,1),B(2,3)的線段沒有公共點，求a的取值范圍。例3.過點P(73,0)作直線l與橢圓3x24y212相交于A,B兩點，O為坐標原點，求OAB面積的最大值及此時直線傾斜角的正切值。例4.求直線xcosysin2(0)和橢圓x23y2

9、6有公共點時，的取值范圍(二)弦長問題例1.已知橢圓x22y212,A是x軸正方向上的一定點，若過點A,斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為413,求點A的坐標。3例2.橢圓ax2by21與直線xy1相交于A,B兩點，C是AB的中點,2若|AB|2J2,O為坐標原點，OC的斜率為二，求a,b的值。222例3.橢圓乂y-1的焦點分別是Fi和F2,過中心O作直線與橢圓交于A,B兩點，若ABF2的面積是452020,求直線方程。(三)弦所在直線方程22,xy例1.已知橢圓1641,過點P(2,0)能否作直線l與橢圓相交所成弦的中點恰好是P；22例2.已知一直線與橢圓4x9y36相交于A,B兩點，弦AB的

10、中點坐標為M(1,1),求直線AB的萬程；12例3.橢圓E中心在原點O,焦點在x軸上，其離心率e一，過點C(1,0)的直線l與橢圓E相交于A,B,3兩點，且c分有向線段AB的比為2.(1)用直線l的斜率k(k0)表示OAB的面積；(2)當OAB的面積最大時，求橢圓E的方程.(四)關于直線對稱問題22,，一xy例1.已知橢圓一1,試確定m的取值范圍，使得橢圓上有兩個不同的點關于直線y4xm對稱;例2.已知中心在原點，焦點在y軸上，長軸長等于圓交于不同兩點A,B,且線段AB恰被直線x存在，請說明理由。6,離心率e2.2,試問是否存在直線31，E4一平分？若存在，求出直線l傾斜角的取值范圍；若不24

11、3例1.若P(2,J3),F2為橢圓2x252y161的右焦點，點M在橢圓上移動，求MPMF2的最大值和最小值。M1題型八.最值問題22xV結論1:設橢圓一y為1的左右焦點分別為F1,F2,P(Xo,Vo)為橢圓內(nèi)一點，M(x,V)為橢圓上任意ab點，則MPMF2的最大值為.x2例2.P(2,6),F2為橢圓一25值。2a|PFi,最小值為2a|PF,；MPMF2的最大值和最小21的右焦點，點M在橢圓上移動，求1622XV結論2設橢圓-y彳1的左右焦點分別為F1,F2,P(Xo,Vo)為橢圓外一點，M(x,V)為橢圓上任意ab點，則MPMF2的最大值為2aPF1,最小值為PF2；2.二次函數(shù)法

12、22例3.求定點A(a,0)到橢圓二、1上的點之間的最短距離。ab22結論3:橢圓41上的點M(x,V)到定點A(m,0)或B(0,n)距離的最值問題，可以用兩點間距離公ab式表示|MAI或|MBI,通過動點在橢圓上消去V或x,轉化為二次函數(shù)求最值，注意自變量的取值范圍。3 .三角函數(shù)法2例4.求橢圓xyV21上的點M(x,V)到直線l:x2v4的距離的最值；424 .判別式法例4的解決還可以用判別式法結論5:橢圓上的點到定直線l距離的最值問題，可轉化為與l平行的直線m與橢圓相切的問題，利用判別式求出直線m方程，再利用平行線間的距離公式求出最值。題型九.軌跡問題例1.到兩定點(2,1),(2,

13、2)的距離之和為定值5的點的軌跡是例2.已知點A(3,0)，點P在圓x2y21的上半圓周上(即y>0),ZAOP的平分線交PA于Q,求點Q的軌跡方程。22例3.已知圓C:(x3)y100及點A(3,0),P是圓C上任一點，線段PA的垂直平分線l與PC相交于Q點，求Q點的軌跡方程。橢圓典型題型歸納題型一.定義及其應用橢圓定義：平面內(nèi)一動點到兩定點即PM|MF1mf22a注：當ac時軌跡為橢圓；當F1,F2的距離和等于常數(shù)2a(大于F1F2=2c)點的集合叫橢圓;ac時軌跡為線段F1F2；當ac時無軌跡。2例1:已知一個動圓與圓C:(x4)2、.，._.y100相內(nèi)切，且過點A(4,0),求

14、這個動圓圓心M的軌跡方程;練習：1 .方程x3)2y2J(x3jy6對應的圖形是()A.直線B.線段C.橢圓D.圓2 .方程J(x3)27J(x3)2y210對應的圖形是()A.直線B.線段C.橢圓D.圓3 .方程x2(y3)2,x2(y3)210成立的充要條件是(222222“xy.xy.xy.A.1b.1C.125162591625D.亡1254.如果方程&(ym)2&(ym)21表示橢圓，則m的取值范圍是5.過橢圓9x24y21的一個焦點F1的直線與橢圓相交于A,B兩點，則A,B兩點與橢圓的另一個焦點F2構成的ABF2的周長等于;6.設圓(x1)2y225的圓心為C,A(

15、1,0)是圓內(nèi)一定點，Q為圓周上任意一點，線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M,則點M的軌跡方程為;題型二.橢圓的方程(一)由方程研究曲線22例1.方程乙1的曲線是到定點和的距離之和等于的點的軌跡；(二)1625分情況求橢圓的方程例2.已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點P(3,0),求橢圓的方程；(三)用待定系數(shù)法求方程例3.已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P(J6,1)、P,(瓜J2),求橢圓的方程;例4.求經(jīng)過點(2,3)且與橢圓9x24y236有共同焦點的橢圓方程;2222注：一般地，與橢圓x241共焦點的橢圓可設其方程為-1(kb2)；a2b2

16、a2kb2k(四)定義法求軌跡方程;例5.在ABC中，A,B,C所對的三邊分別為2巾工，且8(1,0),C(1,0),求滿足bac且b,a,c成等差數(shù)列時頂點A的軌跡；2222練習1、動圓P與圓C1：(x4)y81內(nèi)切與圓C2：(x4)y1外切，求動圓圓心的P的軌跡萬程。22練習2、已知動圓C過點A(2,0),且與圓C2：(x2)y64相內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程(五)相關點法求軌跡方程；2X2例6.已知x軸上一定點A(1,0),Q為橢圓一y1上任一點，求AQ的中點M的軌跡方程；4(六)直接法求軌跡方程；例7.設動直線l垂直于x軸，且與橢圓x22y24交于A,B兩點，點P是直線l上滿足PA?P

17、B1的點，求點P的軌跡方程；(七)列方程組求方程例8.中心在原點，一焦點為F(0,J50)的橢圓被直線y3x2截得的弦的中點的橫坐標為、，求此橢圓的方程；題型三.焦點三角形問題橢圓中的焦點三角形：通常結合定義、正弦定理、余弦定理、勾股定理來解決；x2y2橢圓一221(ab0)上一點P(x0,y0)和焦點Fi(c,0),F2(c,0)為頂點的PF1F2中，a2b2F1PF2,則當P為短軸端點時最大，且PFi匹4c2PF122a；PF222PF11PF2cosSPF1F212PF1PF2sin2=btan0（b短軸長）2例：知橢圓2251上一點P的縱坐標為5,橢圓的上下兩個焦點分別為16253F2

18、、Fi,求PF1、PF2及cosFFF2;練習:X21、(2009北京)橢圓-9F1PF2的大小為1的焦點為Fi、F2,點P在橢圓上，若PR4,則PF2222、P是橢圓土匕1上的一點，F(xiàn)1和F2是焦點，若F1PF230°,則F1PF2的面積等于2516()(A)16-(B)4(2,3)(C)16(2.3)(D)16(2-,3)3一.一x2v2_°3、P是橢圓一匚1上的一點，冗和F2為左右焦點，若F1PF260°。259(1)求F1PF2的面積；(2)求點P的坐標。題型四.橢圓的幾何性質(zhì)225例1.已知P是橢圓今與1上的點，的縱坐標為5,FvF2分別為橢圓的兩個焦點

19、，橢圓的半焦距為a2b23c,則IPF1gPF2的最大值與最小值之差為22,一Xv例2.橢圓一彳1(ab0)的四個頂點為A,B,C,D,若四邊形ABCD的內(nèi)切圓恰好過焦點，則橢ab圓的離心率為；22Xv1例3.若橢圓1的離心率為一，則k；k14222例4.若P為橢圓41(ab0)上一點，F(xiàn)1、F2為其兩個焦點，且PF1F215°,PF2F175°,ab則橢圓的離心率為題型五.求范圍22例1.方程與v21焦點在X軸的橢圓，求實數(shù)m的取值范圍;m2(m1)2題型六.求離心率22,，一xv例1.橢圓二匕1(ab0)的左焦點為F(c,0),A(a,0),B(0,b)是兩個頂點，如果

20、F1到直ab線AB的距離為主，則橢圓的離心率e22xy例2.若P為橢圓二二1(aba2b20)上一點，F(xiàn)1、52為其兩個焦點，且PF1F2，PF2F12,例3.F1、F2為橢圓的兩個焦點，過52的直線交橢圓于P,Q兩點，PF1PQ,且PFiPQ,則橢圓則橢圓的離心率為的離心率為練習2x1、(2010南東二模)以橢圓a211(ab0)的右焦點為圓心的圓經(jīng)過原點O,且與該橢圓的右準b2線交于A、B兩點，已知OAB是正三角形，則該橢圓的離心率是;222、已知ABC分別為橢圓xy41(ab0)的右頂點、上頂點、和左焦點，若ABC90°,ab則該橢圓的離心率為;223、(2012年新課標)設F

21、1F2是橢圓E:當與1(ab0)的左、右焦點，P為直線ab點，F(xiàn)2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為()1A.一22x4、橢圓2aB.-C.-D.一3241(a>b>0)的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是b2F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為題型七.直線與橢圓的關系(1)直線與橢圓的位置關系222例2.曲線2x例1.當m為何值時，直線l:yxm與橢圓9x16y144相切、相交、相離?y22a2(a0)與連結A(1,1),B(2,3)的線段沒有公共點，求a的取值范圍。例3.過點P($3,0)作直線I與橢圓3

22、x24y212相交于A,B兩點，O為坐標原點，求OAB面積的k(xv13),則要求l最大值及此時直線傾斜角的正切值。分析：若直接用點斜式設I的方程為y0的斜率一定要存在，但在這里I的斜率有可能不存在，因此要討論斜率不存在的情形，為了避免討論，我們可以設直線I的方程為xmy城3,這樣就包含了斜率不存在時的情形了，從而簡化了運算。解：設A(x,y1)，B(x2,y?),l：xmy<3SAOB510P11y11-1OP|myj3代入橢圓方程得：|Y2|-3(|yi|y2|)-3(yiy2)(3m24)y2673my30,3(m2y22.3my3)6,3m4y2yiy2|yiy212108m21

23、223m1-,N1V24120,即33m24(3m24)23m23m24.144x2484、9m233m24433m21433m213m242(3m1)34、3m寸3m2133m212.3V3,此時J3m21令直線的傾角為3：6_3_.3m2192即OAB面積的最大值為J3,此時直線傾斜角的正切值為、.6O例4.求直線XCOS2ysin2和橢圓x23y26有公共點時，的取值范圍(0(二)弦長問題2例1.已知橢圓x2y212,A是x軸正方向上的一定點，若過點A,斜率為1的直線被橢圓截得的弦上必4、13十人長為,求點3分析：若直線yA的坐標。kxb與圓錐曲線f(x,y)0相交于兩點P(X1,y1)

24、、Q(X2,y2),則弦PQ的長度的計算公式為|PQ|V1k2|x1x2|,11.證1yly21,而|x1x2|(Xx2)24x1x2,因此只要把直線ykxb的方程代入圓錐曲線f(x,y)0方程，消去y(或x),結合二次方程根與系數(shù)的關系即可求出弦長。解：設A(%,0)(%0),則直線l的方程為yxx0,設直線l與橢圓相交于P(xy1)、Q(x2,y)，x2xx22y2124x°一一2_2_，可得3x4x0x2x0120,2x。23|x1x2(xx2)24x1x216x0298x。24834.1432x0山x2|x1x2|,即414322,362x023122例2.橢圓axby1與直

25、線xA(2,0)；y1相交于A,B兩點，C是AB的中點,若|AB|2五,0為坐標原點，OC的斜率為,求a,b的值。22例3.橢圓土上一1的焦點分別是Fi和F2,過中心O作直線與橢圓交于A,B兩點，若ABF2的面積是452020,求直線方程。(三)弦所在直線方程22例1.已知橢圓1,過點P(2,0)能否作直線l與橢圓相交所成弦的中點恰好是P;164例2.已知一直線與橢圓4x29y236相交于A,B兩點，弦AB的中點坐標為M(1,1),求直線AB的方程；例3.橢圓E中心在原點O,焦點在x軸上，其離心率e2,過點C(1,0)的直線l與橢圓E相交于A,B.3兩點，且C分有向線段AB的比為2.(1)用直

26、線l的斜率k(k0)表示OAB的面積；(2)當OAB的面積最大時，求橢圓E的方程.22一解：(1)設橢圓E的方程為斗41,由e-J-,.-.a2=3b2aba.3222故橢圓萬程x3y3b；設Alx,%),B(x2,y2),由于點C(1,0)分有向線段AB的比為2.Xi2x21.1即Xi12(X21)y12y20Vi2y23222x3y3b由y消去y整理并化簡得(3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0yk(x1)由直線l與橢圓E相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點A36k4X1X2X1X23k24(3k21)(3k22b2)06k23k213b2而SSOAB3k221y1,1,y

27、21-|2y2y21221y2|33-|k(X21)|-|k|X21|22由得：X2(2)因SOAB_23k23|k|3k21-,代入得:1313|k|k|SOAB_3_2.3"k0).3k21,2當且僅當k此時XiX2、.3_,SOAB取得最大值.3,-X12X2)1,又丁1,X131,X22;1，、代入得3b2=5,.橢圓方程33y22X例4.已知A(X1,y1),B(1,yo),C(X2,y)是橢圓一4點，F(xiàn)為橢圓的左焦點，且AF,BF,CF成等差數(shù)列，則AC的垂直平分線是否過定點？請證明你的結論。（四）關于直線對稱問題2X例1.已知橢圓一1,試確定m的取值范圍,使得橢圓上有兩

28、個不同的點關于直線y4xm對稱;例2.已知中心在原點，焦點在y軸上，長軸長等于圓交于不同兩點A,B,且線段AB恰被直線X存在，請說明理由。6,離心率e2.2試問是否存在直線1,平分？若存在，求出直線傾斜角的取值范圍；若不2題型八.最值問題因為2a10,PFi|2,所以(MP|MF2)max12,(MP|MF2：U8；22xy結論1:設橢圓41的左右焦點分別為Fi,F2,P(X0,y0)為橢圓內(nèi)一點，M(x,y)為橢圓上任意一ab點，則MP|MF2的最大值為2a|PF1，最小值為2a伊用；22_xy例2.P(2,6),F2為橢圓1的右焦點，點M在橢圓上移動,求MPMF2的最大值和最小25162值

29、。分析：點P在橢圓外，PF2交橢圓于M,此點使MPMF2值最小，求最大值方法同例1。解：MP|MF2|MP2aMF1,連接PF1并延長交橢圓于點M1,則M在M1處時MPMF1取最大值PF1；MPMF2最大值是10+歷，最小值是歷。22xy結論2設橢圓/1的左右焦點分別為F1,F2,P(x0,y0)為橢圓外一點，M(x,y)為橢圓上任意ab點，則|MPMF2的最大值為2a|PF1,最小值為PF2；2.二次函數(shù)法22例3.求定點A(a,0)到橢圓與1上的點之間的最短距離。ab分析：在橢圓上任取一點，由兩點間距離公式表示PA,轉化為x,y的函數(shù)求最小值。解：設P(x,y)為橢圓上任意一點，PA2(xa)2y2(xa)211x21(x2a)21a222由橢圓方程知x的取值范圍是72,72(1)若a|。，貝Ux2a時，1PAmin。1a2(2)若a返，則x五時PAmirla石1min11(3)若a，貝UPAminaV2|22結論3：橢圓將1上的點M(x,y)到定點A(m,0)或B(0,n)距離的最值問題，可以用兩點間距離公ab式表示|MAI或|MBI,通過動點在橢圓上消去y或x,轉化為二次函數(shù)求最值，注意自變量的取值范圍。2y4的距離的最值;x2cosRysin2當sin(,452.10,/1時dminJ；當sin(,452、10)1時,dmax-結論4：若橢圓452x-2a2I