概率分布期望方差(大全)

1、1.編號(hào)1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為1,2,3的三個(gè)座位,每位學(xué)生坐一個(gè)座位,設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的個(gè)數(shù)是X.(1)求隨機(jī)變量X的分布列；(2)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差.解(1)P(X=0)=_L=1;a33c1p(x=d=C3=1；p(x=3)=A=1；a32a36;隨機(jī)變量X的分布列為X013P131216(2) E(X)=1x1+3X1=1.26D(X)=(1-0)21+(1-1)21+(3-1)2-1=1.3262某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng),抽獎(jiǎng)規(guī)那么是：從裝有9個(gè)白球、1個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球,記下顏色后放回,摸出一個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金10元；摸出兩個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金5

2、0元.現(xiàn)有甲、乙兩位顧客,規(guī)定：甲摸一次,乙摸兩次,令X表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎(jiǎng)金總額.求：(1) X的分布列；(2) X的均值.解(1)X的所有可能取值為0,10,20,50,60.p(x=0)=i2=729；101000P(X=10)=工xI'±1+Axc12XxA=4；10101010101000P(X=20)=±Xc2X-X_9=8-;1010101000P(X=50)=-9XJ-=9101021000110001P(X=60)=三103故X的分布列為X010205060P729100024310001810009100011000E(X)=0X729+

3、10X243+20X18+50X9+60X_1_=3,3(元).100010001000100010003(本小題總分值13分)為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量,采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件,測(cè)量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量(單位：毫克).下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測(cè)量數(shù)據(jù)：編P12345x169178166175180y7580777081(1)甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件,求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；(2)當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x>175,且y>75時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品.用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；(3)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取2件

4、,求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)七的分布列極其均值(即數(shù)學(xué)期望).解：(1)98=7,5父7=35,即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件.14(2)易見只有編號(hào)為2,5的產(chǎn)品為優(yōu)等品,所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的2優(yōu)等品2,52故乙廠生廠有大約35尺一=14(件)優(yōu)等品,5(3)亡的取值為0,1,2.P(=0)磊磊,P(土管C32:2)噌10所以的分布列為012P3611010103314故*的均值為Et=0乂一+1X+2父一+=.1051054湖南理18.本小題總分值12分某商店試銷某種商品20天,獲得如下數(shù)據(jù):日銷售量件0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變,設(shè)某天開始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商

5、品3件,當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨,假設(shè)發(fā)現(xiàn)存貨少于2件,那么當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充,至3件,否那么不進(jìn)貨.,將頻率視為概率.I求當(dāng)天商品不進(jìn)貨的概率；n記X為第二天開始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期型.4.解IP“當(dāng)天商品不進(jìn)貨=P"當(dāng)天商品銷售量為0件"+P一一153“當(dāng)天商品銷售量為1件"=+.202010n由題意知,X的可能取值為2,3.51PX=2=P"當(dāng)天商品銷售量為1件"=上-=；204PX=3=P"當(dāng)天商品銷售量為0件"+P“當(dāng)天商品銷售量為2件"+P“當(dāng)天商品銷售量為3件1953=rr=.202020

6、4故X的分布列為X2313P441311X的數(shù)學(xué)期望為EX=2父1+3父3=U.4445、江西理16.本小題總分值12分某飲料公司招聘了一名員工,現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行一項(xiàng)測(cè)試,以使確定工資級(jí)別,公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯,其顏色完全相同,并且其中4杯為A飲料,另外4杯為B飲料,公司要求此員工一一品嘗后,從8杯飲料中選出4杯A飲料,假設(shè)4杯都選對(duì),那么月工資定為3500元,假設(shè)4杯選對(duì)3杯,那么月工資定為2800元,否那么月工資定為2100元,令X表示此人選對(duì)A飲料的杯數(shù),假設(shè)此人對(duì)A和B兩種飲料沒有鑒別水平.(1)求X的分布列；(2)求此員工月工資的期望.(本小題總分值12分)解：(1)X的所有可能

7、取值為：0,1,2,3,4C；C：,P(X=i)=4Hi=0,1,2,3,4)C5即X01234P1163616117070707070(2)令Y表示新錄用員工的月工資,那么Y的所有可能取值為2100,2800,3500那么P(Y=3500)=P(X=4)=P(Y=2800)=P(X=3)=電3553P(Y=2100)=P(X<2)=一7011653EY=350028002100=2280.707070所以新錄用員工月工資的期望為2280元.6、遼寧理(19)(本小題總分值12分)某農(nóng)場(chǎng)方案種植某種新作物,為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種(分別稱為品種家和品種乙)進(jìn)行田間試驗(yàn).選取兩大塊地,每大

8、塊地分成n小塊地,在總共2n小塊地中,隨機(jī)選n小塊地種植品種甲,另外n小塊地種植品種乙.(I)假設(shè)n=4,在第一大塊地中,種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(II)試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊,即n=8,試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個(gè)小塊地上的每公頃產(chǎn)量(單位：kg/hm2)如下表:品種甲403397390404388400412406品種乙419403412418408423400413分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果,你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？附：樣本數(shù)據(jù)x1,X2,xn的的樣本方差s2J(x1-X)2+(x2-X)2+十(xn-X)2

9、,其中X為樣本平均數(shù).n6 .解：(1) X可能的取值為0,1,2,3,4,且P(X1701=0)4C8P(XC4c335P(X=2)C4C41835P(X=3)c3c4"CT835P(X=4)C；170即X的分布列為XD1234P170】835r35元4分X的數(shù)學(xué)期望為£小)=0+1父2+2父生+3父旦+4=2.70353535706分(II)品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：1海=-(403397390404388400412406)=400,8_1_2_222_22_2_2_S?=(3(-3)(-10)4(-12)0126)=57.25.88分品種乙的每

10、公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：1/CCC",CCCCCCC"、應(yīng)=-(419403412418408423400413)=412,8?二；(72(-9)20262(-4)2112(-12)212)=56.10分由以上結(jié)果可以看出,品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù),且兩品種的樣本方差差異不大,故應(yīng)該選擇種植品種乙7、山東理18.(本小題總分值12分)紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、日C進(jìn)行圍棋比賽,甲對(duì)A,乙對(duì)B,丙對(duì)C各一盤,甲勝A,乙勝B,丙勝C的概率分別為0.6,0,5,0,5,假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(I)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；(n)用.表示

11、紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù),求亡的分布列和數(shù)學(xué)期望E.7 .解：設(shè)甲勝A的事件為D,乙勝B的事件為E,丙勝C的事件為F,TT那么D,E,F分別表示甲不勝A、乙不勝B,丙不勝C的事件.由于P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,由對(duì)立事件的概率公式知T-TP(D)=0.4,P(E)=0.5,P(F)=0.5,紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有：T-TDEF,DEF,DEF,DEF.由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立,因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為T-TP=P(DEF)P(DEF)P(DEF)P(DEF)=0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.5-0.55

12、.(II)由題意知可能的取值為0,1,2,3.又由()知DEf,Def4,dEF*是兩兩互斥事件,且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立,因此P(=0)=P(DEF4)=0.40.50.5=0.1,P(=1)=P(DeF)P(De7)P(dET)=0.40.50.50.40.50.50.60.50.5=0.35P(=3)=P(DEF)=0.60.50.5=0.15.由對(duì)立事件的概率公式得P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(-3)=0.4,所以U的分布列為：0123P0.10.350.40.15因此E=00.110.3520.430.15=1.6.20.解(I)A表示事件“甲選擇路徑L時(shí),40分鐘內(nèi)趕

13、到火車站,B表示事件“乙選擇路徑Li時(shí),50分鐘內(nèi)趕到火車站,i=1,2.用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率可得P(A)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A0=0.1+0.4=0.5,'/P(Ai)>P(A),二甲應(yīng)選擇LP(Bi)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(=0.1+0.4+0.4=0.9,二"P(R)>P(Bi),二乙應(yīng)選擇L2.(n)A,B分別表示針對(duì)(I)的選擇方案,甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站,由(I)知P(A)=0.6,P(B)=0.9,又由題意知,A,B獨(dú)立,HH.P(X=0)"(AB)=P(A)P(B)=0.40.1=0.0

14、4-TTP(X=1)=P(ABAB)=P(A)P(B)P(A)P(B)=0.40.90.60.1=0.42P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.60.9=0.54二X的分布列為X012P0.040.420.54EX=00.0410.4220.54=1.5.8、四川理18.(本小題共12分)本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來(lái)越多.某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi),超過(guò)兩小時(shí)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元(缺乏1小時(shí)的局部按1小時(shí)計(jì)算).有人獨(dú)立來(lái)該租車點(diǎn)那么車騎游.各租一車一次.設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車的概率.,1111分別為1,1;兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車的概率

15、分別為1,1;4224兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí).(I)求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；(n)求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量之,求之的分布列與數(shù)學(xué)期望EU；8.解析：,一一一一,一.111(1)所付費(fèi)用相同即為0,2,4兀.設(shè)付0兀為P=,付2428111111兀為B=一1=,付4兀為B=一-=24844165那么所付費(fèi)用相同的概率為P=P+P2+P3=16(2)設(shè)甲,乙兩個(gè)所付的費(fèi)用之和為J自可為0,2,4,6,8P(=0)P(=2)P(=4)11十一421151611P(=6)P(=8)4414142121162431616分布列02468P155318161616169、

16、天津理16.(本小題總分值13分)3個(gè)白球、2學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲工程：甲箱子里裝有個(gè)黑球,乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球,這些球除顏色外完全相同,每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球,假設(shè)摸出的白球不少于2個(gè),那么獲獎(jiǎng).(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)(I)求在1次游戲中,(i)摸出3個(gè)白球的概率；(ii)獲獎(jiǎng)的概率；(n)求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).9.本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、互斥事件和相互獨(dú)立事件等根底知識(shí),考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題的水平.總分值13分.(I)(i)解：設(shè)“在1次游戲中摸出i個(gè)白球?yàn)槭录嗀=(

17、i=0,1,2,3),P(A)=C；C；1,=C；C32(ii)解：設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)為事件B,那么B=A2U人,又P(A2)=C3C5c2c2c2c2i-T-=C32C；C；2'且A2,A互斥,所以(II)解：由題意可知11P(B)=P(A2)P(A3)二25X的所有可能取值為0,1,2.10P(X72=0)=(1一常9100P(X215049100所以X的分布列是X012P9214910050100921497X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0M2+1父21+2父=710050100510重慶理17.(本小題總分值13分)(I)小問5分,(n)小問8分)某市公租房的房源位于A,B,C三個(gè)片

18、區(qū),設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源,且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的求該市的任4位申請(qǐng)人中：(I)恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率；(n)申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)七的分布列與期望10.(此題13分)解：這是等可能性事件的概率計(jì)算問題.(I)解法一：所有可能的申請(qǐng)方式有34種,恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的申請(qǐng)方式C2,22種,從而恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為c222_834"27'解法二：設(shè)對(duì)每位申請(qǐng)人的觀察為一次試驗(yàn),這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)一,一,1記“申請(qǐng)A片區(qū)房源為事件A,那么P(A)=1.從而,由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰發(fā)生k次的概率計(jì)算公式知,恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的

19、概率為212228R(2)=C2()2()2=一.3327(II)E的所有可能值為1,2,3.又31PC=1)=F=,327P(=2)=C；(C2C：CjC；)3414,、=一(或P?=2)=27C；(24-2)143427七C；C：c24_d.C2A34、P(-=3)=-4=;(或P(-=3)=-=)3939綜上知,E有分布列123P114427279從而有E=121434=-272792711.(2021全國(guó)I理,20)5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病,需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定患病的動(dòng)物.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為患病動(dòng)物,呈陰性的即沒患病.下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定患病動(dòng)物

20、為止.方案乙：先任取3只,將它們的血液混在一起化驗(yàn).假設(shè)結(jié)果呈陽(yáng)性那么說(shuō)明患病動(dòng)物為這3只中的1只,然后再逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定患病動(dòng)物為止；假設(shè)結(jié)果呈陰性那么在另外2只中任取1只化驗(yàn).(1)求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；(2)E表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù),求口的期望.解(1)設(shè)之、號(hào)分別表示依方案甲和依方案乙需化驗(yàn)的次數(shù),P表示對(duì)應(yīng)的概率,貝U方案甲中以的分布列為1234P154u115454.311A-54355435方案乙中M的分布列為G123p0空力通二c53c35-2C4乂22C535假設(shè)甲化驗(yàn)次數(shù)不少于乙化驗(yàn)次數(shù),那么P=P(U1=1)XP(t2=1)+P(t

21、1=2)XP(t2=1)+P(2=2=2)+P(t1=3)XP(蜃=1)+P(=2)+P(匕2=3)+P(&=4)=0+1X(0+厘)+1X(0+3+2)+2=18=0.72.55555525(2)E(t)=1X0+2X3+3X2=12=2.4.55512.甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)發(fā)動(dòng)互不影響地在同一位置投球,命中率分別為二與p,且乙投2球2次均未命中的概率為.16(1)求乙投球的命中率p；(2)假設(shè)甲投球1次,乙投球2次,兩人共命中的次數(shù)記為之,求之的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)設(shè)“甲投球一次命中為事件A,“乙投球一次命中為事件B.由題意得(1-P(B)2=(1-p)2=,16解彳導(dǎo)p=

22、67;或p=5(舍去),所以乙投球的命中率為-444(2)由題設(shè)和(1)知P(A)=1,P(A)=1,P(B)=3,224P(B)=1.4t可能的取值為0,1,2,3,故1P(=0)=P(A)P(B«B)=1X2P(=1)=P(A)P(BBJ+C2P(B)P(B)P(A)=1X212732P(=3)=P(A)P(BP(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)=25.32巴的分布列為0123P1715932323232t的數(shù)學(xué)期望E(與=0X工+1X+2X15+3X-9=2.3232323213.設(shè)在12個(gè)同類型的零件中有2個(gè)次品,抽取3次進(jìn)行檢驗(yàn),每次抽取一個(gè),并且取出不再放回

23、,假設(shè)以E和4分別表示取出次品和正品的個(gè)數(shù).(1)求E的分布列、期望值及方差；(2)求的分布列、期望值及方差.解(1)的可能值為0,1,2.假設(shè)巴=0,表示沒有取出次品,其概率為：P(=0)=.=-6；C3211同理,有P(t=1)=C2C20=_9-；P(t=2)=c2c10=Lc；222C；222,亡的分布列為:5012P69171"22"22E(t)=0X_6+1X_9_+2X122D«)=(0-211二+2.X一.2221221122=3+2+2=巴22888844+=3.(2)的可能值為1,2,3,顯然22P(=1)=P(=2)=J_,P(=2)=P(=

24、1)=-9,22P(=3)=P('=0)=911:的分布列為:n123p19622"2271E(n)=E(3-t)=3-E(七)=3-1=5.22n=-£+3,D(*!)=(-1)2d(七)=15-.4414.某地區(qū)的一個(gè)季節(jié)下雨天的概率是0.3,氣象臺(tái)預(yù)報(bào)天氣的準(zhǔn)確率為0.8.某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)天怕雨,假設(shè)下雨而不做處理,每天會(huì)損失3000元,假設(shè)對(duì)當(dāng)天產(chǎn)品作防雨處理,可使產(chǎn)品不受損失,費(fèi)用是每天500元.(1)假設(shè)該廠任其自然不作防雨處理,寫出每天損失之的分布列,并求其平均值；(2)假設(shè)該廠完全按氣象預(yù)報(bào)作防雨處理,以“表示每天的損失,寫出的分布列.03000P0

25、.70.3計(jì)算的平均值,并說(shuō)明按氣象預(yù)報(bào)作防雨處理是否是正確的選擇？解(1)設(shè)U為損失數(shù),分布列為：.E(,)=3000X0.3=900(元).(2)設(shè)“為損失數(shù),那么P("=0)=0.7X0.8=0.56.P(4=500)=0.3X0.8+0.7X0.2=0.38.P("=3000)=0.3X0.2=0.06.分布列為:n05003000p0.560.380.06E(n)=0+500X0.38+3000X0.06=370平均每天損失為370元.:370<900,：按天氣預(yù)報(bào)作防雨處理是正確的選擇.15.(2021湖北理,17)袋中有20個(gè)大小相同的球,其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè)(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,七表示所取球的標(biāo)號(hào).(1)求E的分布列、期望和方差；(2)假設(shè)*1=