概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四版-課后習(xí)題答案_盛驟__浙江大學(xué)

1、完全版概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案第四版盛驟(浙江大學(xué))浙大第四版(高等教育由版社)第一章概率論的基本概念1.一寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間(1)記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(充以百分制記分)(一1)8=(-0,-叱迎；n表小班人數(shù)nnn(3)生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。(一2)8=10,11,12,n,(4)對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”如連續(xù)查出二個(gè)次品就彳止檢查，或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)“0”就停止檢查，或查滿4次才停止檢查。(一(3)8=00,100,01

2、00,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,2.二設(shè)A,B,C為三事件，用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。(1) A發(fā)生，B與C不發(fā)生。表示為：ABC或A(AB+AC)或A(BUC)(2) A,B都發(fā)生，而C不發(fā)生。表示為：ABC或AB-ABC或ABC(3)A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生表本為：A+B+C(4) A,B,C都發(fā)生，表示為：ABC(5) A,B,C都不發(fā)生，表示為：ABC或S(A+B+C)或ATBJC(6) A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生，即A,B,C中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生相當(dāng)于AB,BC,AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：AB+BC+

3、AC0(7) A,B,C中不多于二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于：A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：A+B+C或ABC(8) A,B,C中至少有二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于：AB,BC,AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：AB+BC+AC6.三設(shè)A,B是兩事件且P(A)=0.6,P(B)=0.7.問(1)在什么條件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？(2)在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P(A)=0.6,P(B)=0.7即知ABW。，(否則AB=。依互斥事件加法定理，P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1與P(AUB)<1矛盾).從而由加法定理得P(AB)=P(A

4、)+P(B)-P(AUB)(*)(1)從0WP(AB)WP(A)知，當(dāng)AB=A,即AAB時(shí)P(AB)取到最大值，最大值為P(AB)=P(A)=0.6,(2)從(*)式知，當(dāng)AUB=S時(shí)，P(AB)取最小值，最小值為P(AB)=0.6+0.7-1=0.3。1_7.四設(shè)A,B,C是三事件，且P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=P(BC)=0,41 ,.、,P(AC)=-.求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。8解：P(A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-31一5P(AC)+P(ABC)=-07268 .五在一標(biāo)準(zhǔn)英語(yǔ)字典中具有55

5、個(gè)由二個(gè)不相同的字母新組成的單詞，若從個(gè)英語(yǔ)字母中任取兩個(gè)字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少?記A表“能排成上述單詞”從26個(gè)任選兩個(gè)來(lái)排列，排法有86種。每種排法等可能。字典中的二個(gè)不同字母組成的單詞：55個(gè)_55P(A)母A26(設(shè)后面49 .在電話號(hào)碼薄中任取一個(gè)電話號(hào)碼，求后面四個(gè)數(shù)全不相同的概率。個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能性地取自0,1,2,9)記A表“后四個(gè)數(shù)全不同”后四個(gè)數(shù)的排法有104種，每種排法等可能。后四個(gè)數(shù)全不同的排法有aIa4一一P(A)=T=0.50410410 .六在房間里有10人。分別佩代著從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章，任意選3人記錄其紀(jì)念章的號(hào)碼。(1)求最小

6、的號(hào)碼為5的概率。記“三人紀(jì)念章的最小號(hào)碼為5”為事件A10人中任選3人為一組：選法有I1P;種，且每種選法等可能。3又事件A相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為5,其余2人號(hào)碼大于5。這種組合的種數(shù)有1父51；：'521P(A)f咔3(2)求最大的號(hào)碼為5的概率。記“三人中最大的號(hào)碼為5”為事件B,同上10人中任選3人，選法有.口0；種，且3每種選法等可能,又事件B相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為5,其余2人號(hào)碼小于5,選法有1父4；14P121P(B)=20311 .七某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運(yùn)中所標(biāo)箋脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問一個(gè)定貨4桶白漆，3桶黑漆和2

7、桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？記所求事件為Ao在17桶中任取9桶的取法有C97種，且每種取法等可能。取得4白3黑2紅的取法有C40MC3MC；P(A)=C：0勺qC：7252243112 .八在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品，1100個(gè)正品，任意取200個(gè)。(1)求恰有90個(gè)次品的概率。記“恰有90個(gè)次品”為事件A在1500個(gè)產(chǎn)品中任取200個(gè)，取法有“200j種，每種取法等可能。200個(gè)產(chǎn)品恰有90個(gè)次品，取法有嚅*咪j種90,1104001100P(A)=901101500200(2)至少有2個(gè)次品的概率。記：A表“至少有2個(gè)次品”B0表“不含有次品”，Bi表“只含有一

8、個(gè)次品”，同上，200個(gè)產(chǎn)品不含次品，取法有"用1種，200個(gè)產(chǎn)品含一個(gè)次品，取法有40°工黑：種2001199囚=80+81且80,Bi互不相容。1100、(400、彳100丫|200JI14199)P(A)=1-P(A)=1P(B。)十P(B)=1十、,八、01500)|彳500)|_1200)(200)13.九從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？記A表“4只全中至少有兩支配成一對(duì)”則A表“4只人不配對(duì)”從10只中任取4只，取法有，:1忙每種取法等可能。要4只都不配對(duì)，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有P(A)=44

9、C424C：0一"2?P(A)=1-P(A)=1821132115.H一將三個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，問杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別是1,2,3,的概率各為多少?記Ai表“杯中球的最大個(gè)數(shù)為i個(gè)"i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能對(duì)A1：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法43332種。(選排列：好比3個(gè)球在4個(gè)位置做排列)P(A1)43243=_6_一16對(duì)A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有C3x4x3種。2（從3個(gè)球中選2個(gè)球，選法有C3,再將此兩個(gè)球放入一個(gè)杯中，選法有4種，最后將剩余的1球放入其余的一個(gè)杯中，選法有3種

10、。2P(A2)C343941二存對(duì)A3:必須三球都放入一杯中。放法有4種。（只需從4個(gè)杯中選1個(gè)杯子，放入此3個(gè)球，選法有4種）P(A3)=1616.十二50個(gè)挪釘隨機(jī)地取來(lái)用在10個(gè)部件，其中有三個(gè)挪釘強(qiáng)度太弱，每個(gè)部件用3只挪釘，若將三只強(qiáng)度太弱的獅釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱，問發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？記A表“10個(gè)部件中有一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”。法一：用古典概率作：把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個(gè)釘一組，三個(gè)釘一組去挪完10個(gè)部件（在三個(gè)釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但10組釘挪完10個(gè)部件要分先后次序）對(duì)E:挪法有C30XC37MC：4MC；3種，每種裝法等可能對(duì)A:三個(gè)次釘必須

11、挪在一個(gè)部件上。這種挪法有C-mcMmC2C33X10種-00.000511960C；c47cCc2310P(A)333C30C37C33法二：用古典概率作把試驗(yàn)E看作是在50個(gè)釘中任選30個(gè)釘排成一列，順次釘下去，直到把部件挪完。（挪釘要計(jì)先后次序）對(duì)E:挪法有*種，每種挪法等可能對(duì)A:三支次釘必須挪在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上，或“28,29,30”位置上。這種挪法有a3ma4；+A3mA*+A；+a27=10MA3MA；種P(A)A301=0.00051196017.十三已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(B|AuB)。解一P(A)=1-P(

12、A)=0.7,P(B)=1-P(B)=0.6,A=AS=A(B一B)=AB-AB注意(ab)(aB)=e.故有P(AB)=P(A)P(AB)=0.70.5=0.2。再由加法定理,P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.60.5=0.8是P(B|A_B)=PB(A-學(xué)/P(ABL&-0.25P(A一B)P(A一B)0.8解二：P(AB)=P(A)P(B|A)-0.5505=07P(B|A)P(B|A)=P(B|A);0.777故P(AB)=P(A)P(B|A)=15P(BA)0.25行,定義P(AB)P(A)P(B|A)解：由P(A|B)P(BJ、，、，P(B)113件

13、'有/"=P(B)J定義P(BAJBB)P(B|AB)i=-P(A一B)P(A)P(B)-P(AB)0.70.6-0.5.一111,、18 .十四P(A)=jP(B|A)=,，P(A|B)=,求P(A=B)。432、，由乘法公式，得P(AB)=P(A)P(B|A)=；12由力口法公式，得P(A一B)=P(A)P(B)-P(AB)=-4-6=-319 .十五擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點(diǎn)的概率(用兩種方法)。解：(方法一)(在縮小的樣本空間SB中求P(A|B),即將事件B作為樣本空間，求事彳A發(fā)生的概率)。擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組(x,y)(x

14、,y=1,2,3,4,5,6)并且滿足x,+y=7,則樣本空間為S=(x,y)|(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)每種結(jié)果(x,y)等可能。21A=擲二骰子，點(diǎn)數(shù)和為7時(shí)，其中有一顆為1點(diǎn)。故P(A)=b方法(用公式P(A|B)=P(AB)P(B)S=(x,y)|x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6每種結(jié)果均可能A="擲兩顆骰子，x,y中有一個(gè)為“1"點(diǎn)”，B="擲兩顆骰子,612P(B)4=1,P(AB)=等62662x,+y=7”。則故P(A|B)P(AB)P(B)262162_16"320 .十

15、六據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P(A)=P孩子得病=0.6,P(B|A)=P母親得病|孩子得病=0.5,P(C|AB)=P父親得病|母親及孩子得病=0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解：所求概率為P(ABC)(注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機(jī)事件,這里不是求P(C|AB)P(AB)=P(A)=P(B|A)=0.6P5=0.3,P(C|AB)=1P(C|AB)=10.4=0.6.從而P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=0.3>0.6=0.18.21 .十七已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，作不放回抽樣，

16、求下列事件的概率。(1)二只都是正品(記為事件A)法一：用組合做在10只中任取兩只來(lái)組合，每一個(gè)組合看作一個(gè)基本結(jié)果，每種取法等可能。P(A)=CCi”=0.6245法二：用排列做在10只中任取兩個(gè)來(lái)排列，每一個(gè)排列看作一個(gè)基本結(jié)果，每個(gè)排列等可能。P(A)=28Ai2045法三：用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來(lái)作。記A1,A2分別表第一、二次取得正品。P(A)=P(AA)=P(A)P(A2|Ai)=旦102845(2)二只都是次品(記為事件B)法一:P(B)=C；C120145法二:Ap(b)=A2A10145P(B)=P(A4)=P(Ai)P(A2|A)=21x109145(3)一只是正品，一

17、只是次品(記為事件C)法一:P(C)=C8mc216C12045P(C)=一1一12(C8mC；)mA；A20竺45法三：P(C)=P(AA2+'兒)且%八2與aa2互斥=P(A)P(A2|A)P(Ai)P(A21Al)=*浦=1|10910945(4)第二次取出的是次品(記為事件D)法一：因?yàn)橐⒁獾谝?、第二次的順序。不能用組合作，法二：P(D)=A9"二"Alo5法三：P(D)=P(A1A2+凡人)且為人與人八2互斥=P(A)P(A2|A)P(A)P(A2|A)8:1=109109522.十八某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號(hào)，求他撥號(hào)不超過(guò)三次而

18、接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？記H表?yè)芴?hào)不超過(guò)三次而能接通。Ai表第i次撥號(hào)能接通。注意：第一次撥號(hào)不通，第二撥號(hào)就不再撥這個(gè)號(hào)碼。;H=A1+A1A2+A1A2A3三種情況互斥P(H)=P(Ai)P(A)P(A|Ai)P(Ai)P(A2|Ai)P(A|A1A2)1919813=rX十XX=10109109810如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)(記為事件B)問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H再發(fā)生的概率。P(H|B)=PA1|BA1A2|BA1A2A3|B)=P(A|B)P(AjB)P(A2|BA)P(A|B)P(A2|BA)P(A|BA1A2)141431

19、3=十X十XX=554543524.十九設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，問取?即從乙袋中取到)白球的概率是多少？(此為第三版19題(1)記Ai,A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記B表“再?gòu)囊掖腥〉冒浊颉?。B=A1B+A2B且A1,A2互斥P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=nN1mN"nmNM1nmNM1十九(2)第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取

20、到白球的概率。記為“從第一盒子中取得2只紅球”。C2為“從第一盒子中取得2只白球”。C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球”，D為“從第二盒子中取得白球”，顯然OnC2,C3兩兩互斥，C1UC2UC3=S,由全概率公式，有P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)+P(C3)P(D|O3)_2_2_1_1O55O47O5C4653=*r-r=C；11Cg11C；119926.二H一已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？解：A=男人,A2=女人,B=色盲,顯然AUA2=S,

21、A1A2=(f)由已知條件知P(A1)=P(A2)=2P(B|A1)5%,P(B|A2)0.25%由貝葉斯公式，有P(A|B)=P(A1B)P(B)15P(A)P(B|Ai)2W0_20P(A1)P(B|A)P(A2)P(B|A2)-15125-212100210000二十二一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P,若第一次及格則第二次及格的概率也為P;若第一次不及格則第二次及格的概率為P(1)若至少2有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。(2)若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。解：Ai=他第i次及格,i=1,2已知P(A1)=P(A21A1)=P,P(

22、A21A1)=%(1)B=至少有一次及格所以B=兩次均不及格=A,A2-p(b)=1-p(B)=1-p(&A2)=1-p(A)p(A|Af=1-1-P(A)1-P(4|A)P312=1-(1-P)(1-)=-P-P222PM三*(*)P(A2)由乘法公式，有P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=P2由全概率公式，有P(A2)=P(A1)P(A21Al)P(A1)P(A2|A1)P=PP(1-P)fP2P='十'22將以上兩個(gè)結(jié)果代入(*)得P(A1|A2)=1P一=且-52，P2PP128 .二十五某人下午5:00下班，他所積累的資料表明:到家時(shí)間5:355:39

23、5:405:445:455:495:505:54遲于5:54乘地鐵到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽車到家的概率某日他拋一枚0.30:硬幣決定乘地專0.35夫還是乘汽車，W0.20告果他是0.105:47到家的，i0.05,式求他是乘地鐵回家的概率。解：設(shè)A="乘地鐵”，B=“乘汽車"，C="5:455:49到家”，由題意,AB=（）,AUB=S已知：P(A)=0.5,P(C|A)=0.45,P(C|B)=0.2,P(B)=0.5由貝葉斯公式有=0.692313P(C|A)P(A)_0.50.450.45P(C)P(C|A)-2-P(C|B)-

24、20.6529 .二十四有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：設(shè)Bi表示“第i次取到一等品"i=1,2A表示“第j箱產(chǎn)品"j=1,2,顯然AiUA2=SAiA2=(),1101182(1)P(B1)=+一=0.4(Bi=AiB+A2B由全概率公式解)25023051W_9_11817P(B2|B1)=心理=鼻/三鼻30元=0.4857P(B

25、i)25(先用條件概率定義，再求P(B1B2)時(shí)，由全概率公式解)R32.二十六（2）如圖1,2,3,4,5表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率為p,且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)立，求L和R是通路的概率。記Ai表第i個(gè)接點(diǎn)接通記A表從L到R是構(gòu)成通路的。A=A1A2+A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥P(A)=P(AiA2)+P(A1A3A5)+P(A4A5)+P(A4A3A2)P(AiA2A3A5)+P(A1A2A4A5)+P(A1A2A3A4)+P(A1A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)P(A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+P(A1A2AA4A5

26、)+(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)P(A1A2A3A4A5)又由于A1，A2,A3,A4,A5互相獨(dú)立。故P(A)=p2+p3+p2+p3p4+p4+p4+p4+p5+p4+p5+p5+p5+p5p5=2p2+3P35p4+2p5二十六（1）設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4。它們的可靠性分別為P1,P2,P3,P4,將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。4記Ai表示第i個(gè)元件正常工作，i=1,2,3,4,A表不系統(tǒng)正常。'''A=A1A2A3+A1A4兩種情況不互斥P(A)=P(A1A2A3)+P(A1A4)P(A1A2A3A4)(加法公

27、式)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=P1P2P3+P1P4-P1P2P3P4(A1,A2,A3,A4獨(dú)立)34.三H一袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽）在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國(guó)徽。問這只硬幣是正品的概率為多少？解：設(shè)“出現(xiàn)r次國(guó)徽面”=Br"任取一只是正品”=A由全概率公式，有m1rnrP(Br)=P(A)P(Br|A)P(A)P(Br|A)=()r1rmn2mnP(A)P(Br|A)P(A|Br)-P(Br)mmn2rm1r()mn2(與mn2mn（條件概率定義與乘法

28、公式）35 .甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7。飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。解：高Hi表示飛機(jī)被i人擊中，i=1,2,3。Bi,B2,B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)Hi=BiB2B3+B1B2B3+B1B2B3,三種情況互斥。H2=B1B2B3+B1B2B3+B1B2B3三種情況互斥H3=B2B2B3又B1,B2,B2獨(dú)立。P(H1)=P(B1)P(B2)P(B3)P(B1)P(B2)P(B3)P(B1)P(B2)P(B3)=0.40.50.30.60.50

29、.30.60.50.7=0.36P(H2)=P(B1)P(B2)P(B3)P(B1)P(B2)P(B3)P(B0P(B2)P(B3)=0.40.50.3+0.4(X50.7+0.6050.7=0.41P(H3)=P(Bi)P(B2)P(B3)=0.4P50.7=0.14又因:A=H1A+H2A+H3A三種情況互斥故由全概率公式，有P(A)=P(Hi)P(A|Hi)+P(H2)P(A|H2)+P(H3)P(AH3)=0.360.2+0.410.6+0.141=0.45836 .三十三設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%(這一事件記為A1),10%(事件A2),90%(事件A3)的概

30、率分別為P(Ai)=0.8,P(A2)=0.15,P(A2)=0.05,現(xiàn)從中隨機(jī)地獨(dú)立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的(這一事件記為B),試分另求P(Ai|B)P(A2|B),P(A3|B)(這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相獨(dú)立地)B表取得三件好物品。B=A1B+A2B+A3B三種情況互斥由全概率公式，有P(B)=P(Ai)P(B|Ai)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.8和.98)3+0.15p.9)3+0.050.1)3=0.8624P(AIB)=.=p(A)p(B1AJ=也土=0.8731P(B)P(B)0.86

31、24P(A2IB)=P(A2B)P(A2)P(B|A2)0.15(0.9)P(B)P(B)0.86243=0.1268_一一一3P(B)0.8624P(A3)P(B1A3)=0.05父(0.1)=0.000137 .三十四將A,B,C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為a,而輸出為其它一字母的概率都是(1a)/2。今將字母串AAAA,BBBB,CCCC之一輸入信道，輸入AAAA,BBBB,CCCC的概率分別為Pi,p2,p3(p1+p2+p3=1),已知輸出為ABCA,問輸入白是AAAA的概率是多少？(設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的。)解：設(shè)D表示輸出信號(hào)為ABCA,Bi、B2、B

32、3分別表示輸入信號(hào)為AAAA,BBBB,CCCC,則Bi、B2、B3為一完備事件組,且P(Bi)=Pi,i=1,2,3。再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A,其余類推，依題意有P（A收|A發(fā)尸P（B收|B發(fā)尸P（C收|C發(fā)尸a,一，如，、一，如，、，一，如、一，、一，如、一，一、1aP（A收|B發(fā)尸P（A收|C發(fā)尸P（B收|A發(fā)尸P（B收|C發(fā)）=P（C收|A發(fā)）=P（C收|B發(fā)）=2又P(ABCA|AAAA)=P(D|B)=P(A收|A發(fā))P(B收|A發(fā))P(C收|A發(fā))P(A叫A發(fā))21-a2a(2)，同樣可得P(D|B)=P(D|B)=a(三)3于是由全概率公式，得3P(D)=.1P(

33、Bi)P(D|Bi)i1=pia2(?)2+(丹+P3)”(號(hào))3由Bayes公式，得P(Bi)P(D|Bi)P(AAAA|ABCA)=P(Bi|D)=1P(D)2“R(1-a)(P2P3)二十九設(shè)第一只盒子裝有3只藍(lán)球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只藍(lán)球，3只綠球，4只白球。獨(dú)立地分別從兩只盒子各取一只球。（1）求至少有一只藍(lán)球的概率，（2）求有一只藍(lán)球一只白球的概率，（3）已知至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一只白球的概率。解：記ArA2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球，BrB2、B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。（1）記C=至少有一只藍(lán)球C=

34、A1B1+A1B2+A1B3+A2B1+A3B1,5種情況互斥由概率有限可加性，得P(C)=P(AiBi)P(AiB2)P(AB3)P(A2Bi)P(AaBi)±=±P(Ai)P(Bi)-P(Ai)P(B2)P(Ai)P(B3)P(A2)P(Bi)PA)P(Bi)32333422225_i-iP(Di)=j,P(D2)=P(D3)(i)P(無(wú)人接電話)=P(DiD2D3)=P(Di)P(D2)P(D3)iiii=itrI*-1ii,_179797979799(2)記D=有一只藍(lán)球，一只白球,而且知D=AiB3+A3Bi兩種情況互斥P(D)=P(AB3P(A3Bi)-P(Ai

35、)P(B3)P(A3)P(Bi)3422i61+I-1797963(3)P(D|C)P(CD)P(C)_P(D)一P(C)-35(注意至ICD=D)三十A,B,C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據(jù)統(tǒng)計(jì)知，打給A,B,C的電話的概率分別為4432(2)記G="被呼叫人在辦公室"，G=CiD7+C2DI+C3DZ三種情況互斥，由有限可加性與乘法公式,-,工。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬觯珹,B,C三人外出的概iii555,率分另1J為i,ii,設(shè)三人的行動(dòng)相互獨(dú)立，求244(i)無(wú)人接電話的概率；(2)被呼叫人在辦公室的概率；若某一時(shí)間斷打進(jìn)了3個(gè)電話，求(3)這3個(gè)電話打給同一

36、人的概率；(4)這3個(gè)電話打給不同人的概率；(5)這3個(gè)電話都打給B,而B卻都不在的概率。解：記Ci、C2、C3分別表示打給A,B,C的電話Di、D2、D3分別表示A,B,C外出注意到Ci、C2、C3獨(dú)立，且P(Ci)=P(C2)=,P(C3)=155P(G)=P(CiDJP(C2D2)P(C3D3)=P(g)P(Di|G)P(C2)P(D2IC2)P(C3)P(D3IC3)1.2313=2352545420出于某人外出與'否和來(lái)電話無(wú)關(guān)儂P(D；|Ck)=P(D；)>(3)H為“這3個(gè)電話打給同一個(gè)人”P(H)J22222!155555555517125(4)R為“這3個(gè)電話打

37、給不同的人”R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A,B,C的三個(gè)電話，每種情況的概率為2214555125于是P(R)=64125二24二諉B電話而B不在(5)由于是知道每次打電話都給B,其概率是1,所以每一次打給的概率為1,且各次情況相互獨(dú)立4P(3個(gè)電話都打給B,B都不在的概率)=(1)3='4，64第二章隨機(jī)變量及其分布1.一一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1、2、3、4、5,在其中同時(shí)取三只，以X表示取出的三只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律解：X可以取值3,4,5,分布律為P(X.一.一1O9=3)=P(一球?yàn)?號(hào),兩球?yàn)?,2號(hào))110O5P(X=4)=P(一球?yàn)?號(hào)，再在

38、1,2,3中任取兩球)P(X=5)=P(一球?yàn)?號(hào)，再在1,2,3,4中任取兩球1Os3C53_21c4"OT106105610也可列為下表X:3,4,13P,10103.二設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次,每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù),(1)求X的分布律，(2)畫出分布律的圖形。X可能為0,1,2個(gè)。解：任取三只，其中新含次品個(gè)數(shù)C3322p(x=。)=/=1|C1535P(X=1)=o2C23O1I_12一3521O2C13P(X=2)=23O15|1V,*x再列為下表O12X:0,1,222121P:.35'35'354.四

39、進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為p,失敗的概率為q=1p(0<p<1)(1)將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。(此時(shí)稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。)(2)將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求Y的分布律。(此時(shí)稱Y服從以r,p為參數(shù)的巴斯卡分布。)(3) 一籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為45%,以X表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù),寫出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率。解：(1)P(X=k)=qk1Pk=1,2,(2) Y=r+n=最后一次實(shí)驗(yàn)前r+n-1次有n次失敗，且最后一次成功P(Y=r+2=。鼠4為一=。鼠小與，n=0,1,

40、2,，其中q=>P，或記r+n=k，則PY=k=c；Wpr(1p)k,，k=r,r+1,(3) P(X=k)=(0.55)k10.45k=1,2oOod一2k111P(X取偶數(shù))=£P(X=2k)=£(0.55)0.45=11k1k4316.六一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時(shí)刻t每個(gè)設(shè)備使用的概率為0.1,問在同一時(shí)刻(1)恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？P(X=2)=C；2p2q5=C2(0.1)2(0.9)3=0.0729(2)至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？33_24455P(X-3)=C；(0.1)3(0.9)2-Cs(0.1)4(0.9)-

41、C5(0.1)5=0.00856(3)至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？_05_14_223P(X<3)=C5(0.9)+C5M0.1父(0.9)+C5M(0.1)父(0.9)C3(0.1)3(。9)2=0.99954(4)至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？P(X-1)=1-P(X=0)=1-0.59049=0.40951五一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來(lái)飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機(jī)的。(1)以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。(2)戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥

42、，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說(shuō)是確實(shí)的，試求Y的分布律。(3)求試飛次數(shù)X小于Y的概率；求試飛次數(shù)Y小于X的概率。解：(1)X的可能取值為1,2,3,n,PX=n=P前n-1次飛向了另=)/n=1，(2)Y的可能取值為1,2,32扇窗子，第n次飛了出去2,PY=1=P第1次飛了出去PY=2=P第1次飛向另=32扇窗子中的一扇，第2次飛了出去,211二一323PY=3=P第1,2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去_2!1二一3!33|,卷概率公式并注PX:Y|Y=1=0注意到X,Y獨(dú)立即PX:二Y|Y=k二PX:二kPX二YP

43、Y=kPX二Y|Y=kk13八PY=kPX二Y|Y=kk=23='、.PY=kPX二kk=2=11.11.21=8”333|l_333273同上,PX二Y="PY二kPX=Y|Y二kk11981一一一一111214="PY"kPX=k=1-3339327k1故PY:二X=1-PX:二Y-PX=Y)=史818.八甲、乙二人投籃，投中的概率各為0.6,0.7,令各投三次。求(1)二人投中次數(shù)相等的概率。記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨(dú)立，且彼此投籃也獨(dú)立。P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=2)+P(X

44、=3,Y=3)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)=(0.4)3x(0.3)3+C3M0.6M(0.4)2MC3父0.7父(0.3)2C；(0.6)20.4C；(0.7)2.3(0.6)3(0.7)3=0.321(2)甲比乙投中次數(shù)多的概率。P(X>Y)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(

45、X=3)P(Y=2)=Cm0.6m(0.4)2m(0.3)3+Cf父(0.6)2父0.4父(0.3)8+_22_12_3C3M(0.6)M0.4MC3M0.7M(0.3)+(0.6)33_12_3(0.3)(0.6)C30.7(0.3)(0.6)_2_2_C3(0.7)0.3=0.2439.十有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來(lái)，算是試驗(yàn)成功一次。(1) 某人隨機(jī)地去猜，問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少？(2) 某人聲稱他通過(guò)品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次。試問他是猜對(duì)的，還是他確有區(qū)分的能力(設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。)解：(1)P(一次成

46、功)=二2C8470(3) P(連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次尸C130(工)3(里)7=一。此概率太小，按實(shí)707010000際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。九有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先做第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)驗(yàn)收無(wú)次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無(wú)次品時(shí)接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%,求(4) 這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率(5) 需作第二次檢驗(yàn)的概率(6) 這批產(chǎn)品按第2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率(7) 這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過(guò)的概率(8) 這批產(chǎn)品被接受的概率解：X表示10件中次品的個(gè)數(shù)

47、，Y表示5件中次品的個(gè)數(shù)，由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故XB(10,0.1),YB(5,0.1)(近似服從)(9) PX=0=0.910=0.349(10) PX<2=PX=2+PX=1=C10.120.98+C；00.10.99兩0.581(11) PY=0=0.9%0.590(12) P0<X<2,Y=0(0<X<2與Y=2獨(dú)立)=P0<XW2PY=0=0.5810.590x0.343(13) PX=0+P0<X<2,Y=00.349+0.343=0.69212.十三電話交換臺(tái)每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求(1)每分鐘恰有8次呼喚的概率48

48、法一：P(X=8)=4"e"=0.029770(直接計(jì)算)8!法二：P(X=8)=P(X>8)-P(X>9)(查入=4泊松分布表)。=0.051134-0.021363=0.029771(2)每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。P(X>10)=P(X>11)=0.002840(查表計(jì)算)十二(2)每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。PX3=PX_4=0.566530十六以X表示某商店從早晨開始營(yíng)業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時(shí)間(以分計(jì))，X的分布函數(shù)是fx(x)-1-eJ3.4x0x,0x：0求下述概率：(1)P至多3分鐘;(2)P至少4分鐘;(3)P3分鐘至4分

49、鐘之間;(4) P至多3分鐘或至少4分鐘;(5)P恰好2.5分鐘解：(1)P至多3分鐘=PXW3=FX(3)=1e.2(2) P至少4分鐘P(X>4)=1FX(4)=e/.6(3) P3分鐘至4分鐘之間=P3<XW4=FX(4)FX(3)=e'2e”，(4) P至多3分鐘或至少4分鐘=P至多3分鐘+P至少4分鐘,-4.2.4.6=1-ee(5) P恰好2.5分鐘=P(X=2.5)=00,x:：1,18.十七設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為FX(x)=飾x,1Mx<e,1,x-e.求(1)P(X<2),P0<X<3,P(2<X<%)；(2)求概率密

50、度f(wàn)x(x).解：(1)P(X<2)=Fx(2)=ln2,P(0<X<3)=Fx(3)Fx(0)=1,P(2二X：=Fx(|)-Fx(2)=ln|ln2=l吟(2)f(x)=F'(x)<X<e,0,其它20.十八(2)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)(X)為(1)f(x)=*<1-X2JT0-1<X<1其它彳一x0Mx：二1(2)f(x)=2-x1<x<20其他求X的分布函數(shù)F(x),并作出(2)中的f(x)與F(x)的圖形。解：當(dāng)一1wxw1時(shí):F(x)=f0dx+f<1-x2dx=2|x.，1-x222-arcsinx21d

51、21-1=x.1-xarcsinx一222112xx當(dāng)1<x時(shí)：F(x)=f0dx+<1-x2dx+110dx=1,二：,111故分布函數(shù)為：012F(x)=1x、1-xn11.1一arcsinx一x：-1-1_x_11:xx解：(2)F(x)=P(XEx)=(f(t)dtx當(dāng)x：二05t,F(x)=j0dt=0*00x當(dāng)0Mx：二1時(shí)，F(xiàn)(x)=_0dtotdt01當(dāng)1MxM2時(shí)，F(xiàn)(x)=0dttdt(2t)dt=2xx-1-012012x當(dāng)2：xt,F(x)=i0dttdt(2t)dt，10dt=1.二二012故分布函數(shù)為F(x)=<02x2x：00<x<1

52、2x2x21MxM22:x(2)中的f(x)與F(x)的圖形如下22.二十某種型號(hào)的電子的壽命X(以小時(shí)計(jì))具有以下的概率密度:1000f(x)=丁0x1000其它現(xiàn)有一大批此種管子(設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立)。任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少?解：一個(gè)電子管壽命大于1500小時(shí)的概率為1500P(X1500)=1-P(X<1500)=1100010002xdx=11000(2)150010001L.914/154八1/I41"一)+C5,(一),(一)二1一15235二1一1123224324322二二)=3令Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時(shí)的個(gè)數(shù)”。則yB(5,Z),'3P(Y-2)=1-P(Y<2)=1-滬(Y=0)P(Y=1)=23.二H-其概率密度為：設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(以分計(jì))服從指數(shù)分布,1-XFx(x)=5e-5,x.0、0,其它某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過(guò)10分鐘他就離開。他一個(gè)月要到銀行5次。以丫表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出丫的分布律。并求P(Y>1)o解：該顧客“一次等待服務(wù)未成而離去”的概率為1_x2P(X>10)=fX(x)dx=1%e5dx=-eF藍(lán)=e/因此YB(5,e/).即P(Y=k)=Qe*(1e)5"