概率論與數理統(tǒng)計練習題附答案詳解

1、第一章隨機事件及概率練習題、單項選擇題1、設事件A與B互不相容，且RA)>0,P(B)>0,則一定有()(A)P(A)1P(B);(B)P(A|B)P(A);(C)P(A|B)1;(D)P(A|B)1。2、設事件A與B相互獨立，且P(A)>0,P(B)>0,則()一定成立(A)P(A|B)1P(A);(B)P(A|B)0;(C)P(A)1P(B);(D)P(A|B)P(B)。3、設事件A與B滿足P(A)>0,P(B)>0,下面條件()成立時，事件A與B一定獨立(A)P(AB)P(A)P(B);(B)P(AUB)P(A)P(B);(。P(A|B)P(B)；(D

2、)P(A|B)P(A)o4、設事件A和B有關系BA，則下列等式中正確的是()(A)P(AB)P(A);(B)P(AUB)P(A);(C)P(B|A)P(B);(DP(BA)P(B)P(A)5、設A與B是兩個概率不為0的互不相容的事件，則下列結論中肯定正確的是()(A)A與B互不相容；(B)A與B相容；(C)P(AB)P(A)P(B);(D)P(AB)P(A)o6、設A、B為兩個對立事件，且P(A)，0,P(B)，0,則下面關系成立的是()(A)P(AUB)P(A)P(B)；(B)P(AUB)P(A)P(B);(C)P(AB)P(A)P(B);(D)P(AB)P(A)P(B)o7、對于任意兩個事

3、件A與BP(AB)等于()(A)P(A)P(B)(B)P(A)P(B)P(AB)；(C)P(A)P(AB);(D)P(A)P(B)P(AB)。二、填空題1、若AB,AC,RA)=,P(BUC)0.8,則P(ABC)=。2、設P(A)=,P(B)=,P(AB)=,則P(B|A)=,P(B|AUB)=。3、已知P(A)0.7,P(AB)0.3,則P(AB)o4、已知事件A、B滿足P(AB)P(AB),且P(A)p,則P(B)=。5、一批產品，其中10件正品，2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不再放回，則第2次抽出的是次品的概率為。6、設在4次獨立的試驗中，事件A每次出現的概率相等，若已知事

4、件A至少出現1次的概率是6581,則A在1次試驗中出現的概率為。7、設事件A,B的概率分別為P(A)1/3,P(B)1/6,若A與B相互獨立，則P(AUB)；若A與B互不相容，則P(AB)。8、有10個球，其中有3個紅球和7個綠球，隨機地分給10個小朋友，每人1個，則最后3個分到球的小朋友中恰有1個得到紅球的概率為。9、兩射手彼此獨立地向同一目標射擊，設甲擊中的概率為，乙擊中的概率為，則目標被擊中的概率為三、計算題1、某工廠生產的一批產品共100個，其中有5個次品；從這批產品中任取一半來檢查，求取到的次品不多于1個的概率。2、某城市的電話號碼為六位數，且第一位為6或8;求(1)隨機抽取的一個電

5、話號碼由完全不相同的數字組成的概率；(2)隨機抽取的電話號碼末位數是8的概率。3、已知P(A)P(B)P(C)1/4,RAE)=0,P(AC)P(BC)1/16,求A,B,C至少有一個發(fā)生的概率。4、設10件產品中有4件不合格品，從中任取2件，已知所取2件中有一件是不合格品，求另外一件也是不合格品的概率。5、一個工廠有一，二,三3個車間生產同一個產品，每個車間的產量占總產量的45%,35%20%,如果每個車間成品中的次品率分別為5%,4%2%,從全廠產品中任意抽取1個產品，求取出是次品的概率；從全廠產品如果抽出的1個恰好是次品，求這個產品由一車間生產的概率。6、有兩箱同類零件，第一箱裝50只(

6、其中一等品10只)，第二箱裝30只(其中一等品18只)；今從兩箱中任挑一箱，然后從該箱中依次不放回地取零件兩次，每次一只；已知第一次取到的是一等品，求第二次取到的也是一等品的概率。EP-|0.70CATccH0.900.707、右邊是一個串并聯電路小意圖，A、B、C都是電路中的元件，它們下方的數是它們各自獨立正常工作的概率(可靠性)，求電路的可靠性。四、證明：若P(B|A)P(B|A),則事件A與B相互獨立第二、三章隨機變量及其分布練習題、單項選擇題1、設離散型隨機變量X的分布列為X012PF(x)為X的分布函數，則F(1.5)=()(A)0;(B);(C);(D)12.如下四個函數中,哪一個

7、不能作為隨機變量X的分布函數(A)F(x)0,1/3,1/2,1,(C)F(x)0,12x,41,3、當常數b=(A)2;4、設隨機變量,y(A)F(-25、設隨機變量(A)a0,10,)時，Pk(B)1;X的分布函數為(B)(B)F(x)(Dk(k1)(C)1/2;F(x)2,b1,b(k1.2,L(D)3。FX(x),則隨機變量Y0,ln(1x)x0,0,1e0,0)為某一離散型隨機變量的概率分布2X1的分布函數FY(y)是(y嗚1)；(C)2F(y)2、N(a,a)，且YaXbN(0,1)6、設某一連續(xù)型隨機變量叫a,b為(1(D)-F(y)2,則a,b應取()(A)0,/2;7、設隨機

8、變量XN(2；X的概率密度0,；2、-),則隨(A)單調增加；(B)單調減少;(B)a2,b(D)a1,bf(x)在區(qū)間a,b上等于sinx,而在此區(qū)間外等于0,則區(qū)(C)/2,0；的增大，則P|X(0保持不變;(D)(D)0,3增減不定。/2。8、設兩個隨機變量X與丫相互獨立且同分布，PX1PY11/2,PX1PY11/2,則下列式子成立的是(A)PXY1/2；(B)PXY1；(C)PXY01/4；(D)PXY11/4。9、設隨機變量x與丫相互獨立，它們的分布函數分別為Fx(x),Fy(y),則Zmin(X,Y)的分布函數為(A)Fz(z)Fx(z)(B)Fz(z)Fy(z)；(C)Fz(z

9、)minFx(z),Fy(z)(D)Fz(z)11Fx(z)1Fy(z)。二、填空題0,X1,1、設離散型隨機變量X的分布函數f(X)a,13a,11,且PX21/2,x2,ab,x2,X的分布列為b2、設隨機變量X的分布函數F(x)a-,x1,x0,x1,二，P1X2,X的概率密度f(x)=_3、將一顆均勻骰子重復獨立地擲10次，設X表示3點朝上的次數，則X,X的概率分布為一4x3.0x1.一一一一4、設隨機變量X的概率密度為f(x),iM!PXaPXa成立的常數0,其它，5、某一時期在紐約股票交易所登記的全部公司股東所持有的股票利潤率服從正態(tài)分布，期望值為,且具有的標準差，這些公司股東所持

10、有的股票利潤率在15-%之間的概率為6、21.設XN(,),其概率密度f(x)公廠exp2(X3)27、(X,Y)的分布律為X的分布律為PXY時，X與丫相互獨立。8、設隨機變量X與丫相互獨立，且X丫的分布律分別為X-3-21P1/41/41/2則X與丫的聯合分布律為Y123P2/51/52/5Z=X+Y的分布律為9、設D由y=1/x,y=0,X=1,x=e2圍成，(X,Y)在D上服從均勻分布,則(X,Y)的概率密度為10、若X與丫獨立，而XN(1,212),丫N(2,2、一2),則X+Y11、X與y相互獨立，且XU(-1,1),Ye(1)即fY(y)ey,y0,0,y0,則X與丫的聯合概率密度

11、f(x,y)1,X0,X丫，的分布為Y,三、計算題1、3個不同的球,隨機地投入編號為1,2,3,4的四個盒子中，X表示有球盒子的最小號碼，求X的分布律。2、某產品表面的疵點數服從泊松分布，規(guī)定沒有疵點為特等品,1個為一等品，2至4個為二等品，4個以上為廢品，經檢測特等品的概率為，則試求產品的廢品率。一，、,x|1,3、設隨機變量X的概率密度為f(x)V1x20,其它.試求(1)A;(2)P|X|1/2;(3)X的分布函數F(x)。4、設某人造衛(wèi)星偏離預定軌道的距離(米)服從0,4的正態(tài)分布，觀測者把偏離值超過10米時稱作“失敗”，使求5次獨立觀測中至少有2次“失敗”的概率。5、設X的分布列為:

12、X-21/2024P11111848636、設隨機變量X1與X2獨立同分布,1且已知P（Xik）-,（k1,2,3;i31,2),記隨機變量求：（1）X+2;（2）-X+1;（3）X2的分布列Y1maxX1,X2，工minX1,X2求(1)(Y,Y2)的聯合分布列;(2)判斷丫1與Y2是否互相獨立;（3）求P（Yy23）,P（Yy2）7、設(X,Y)的概率密度為f(x,y)2xaxy,0x1,0y2,0,其它，24x,0x1,0yx,0,其它，試求(1)a;(2)PXY1；(3)X與丫是否相互獨立8、已知(X,Y)的聯合概率密度為f(x,y)(D求關于X和Y的邊緣概率密度fX(x),fY(y)

13、；(2)判斷X與Y是否相互獨立；(3)求PX1/2;PX1/2,Y1/29、設隨機變量X的概率密度為1,0x1f(x)0,其它求函數Y=3X+1的概率密度。第四、五章隨機變量的數字特征與中心極限定理練習題一、單項選擇題1、設XRn,p),且RX)=,D(X)=,則()（A）n4,p0.6；（B）n6,p0.4；（C）n8,p0.3；（D）n24,p0.1。2、設隨機變量X與丫滿足E(XY)E(X)E(Y)，則()(A)D(XY)D(X)D(Y)；(B)D(XY)D(X)D(Y)；(C)X與丫獨立；(D)X與Y不獨立。3、隨機變量X服從區(qū)間(a,b)上均勻分布，E(X)1,D(X)1/3,則區(qū)間

14、口，3為()(A)(0,1);(B)(1,3);(C)(0,2)；(D)(0.5,1.5)。4、設X1與X2為兩個隨機變量，且D(X1)5,D(X2)8,D(X1X2)10,則cov(X1，X2)=()(A)3/2；(B)3/2；(C)3;(D)3。5、設隨機變量X與丫獨立同分布，記UXY,VXY,則U與必()(A)獨立；(B)不獨立；(C)不相關；(D)相關系數不為零。21(X1)225、設X的概率箱度f(x)=exp,則E(2X1)()2、28(A)1；(B)6;(Q4;(D)9。二、填空題1、設隨機變量X1，X2，X3相互獨立，且都服從N(,2),而Y(X1X2X3”3,則Y_,12Y。

15、2、設隨機變量X服從參數為的泊松分布，且E(X-1)(X2)=1,則。3、設X與丫相互獨立，且XU(0,2),YU(2,4),則E(XY)一D(XY)。4、設X服從均值為1/2的指數分布，則PXJD(X)。5、若隨機變量X服從區(qū)間(一,一)上的均勻分布，則E(sinX)=。446、一枚硬幣連拋1000次，則正面向上的次數大于等于550的概率為o7、已知D(X)25,D(Y)36,(X,Y)0.4,則D(XY)=。8、設X與丫的相關系數XY0.9,若ZX0.4,則丫與Z的相關系數為。229、設E(X)E(Y)0,E(X2)E(Y2)1,X22,XY0.5,則E(XY)20,0,則D(Y)1,X0

16、,11、（X,Y）的分布律為丫、X、01211/101/207/2023/101/101/10則E(X)，E(Y)，E(XY)三、計算及證明題1、某保險公司規(guī)定：如一年中顧客的投保事件A發(fā)生，則賠a元；經統(tǒng)計一年中A發(fā)生的概率為p,若公司期望得到收益的為a/10,則要求顧客交多少保險費ax,0x2,2、設X的概率密度為f（x）bxc,2x0,其它.4,3、4、5、日X=2,P1<X<3)=3/4,求（1）a、b、c(2)E(eX)。設（X,Y）在以（0,1）,（1,0）,（1,1）為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布，試求xy,0x1,設（X,Y）的概率密度為f（XV）0,其它，飛機在

17、第一次飛行后必須進行檢修的概率是，在以后的兩次飛行中,0y1,D（X丫）。試求XY0每一次飛行后其被檢修的概率各增加，求三次飛行后修理次數的數學期望。數理統(tǒng)計練習題一、單項選擇題1、設總體XN(未知，而已知，（X,X，X）為一樣本,10、設隨機變量XU(1,2),Y0,Xn(Xi1）2,則以下樣本的函數為統(tǒng)計量的是1nX-Xini1,“、1n2,61n-2,eX小、X(A)(Xi)2；(B)(XiX)2；(C)-=；(D)-=oiiiin.Sn2X4Xc2、XN(0,),(X1,X2,X3,X4)為樣本，則統(tǒng)計量12服從的分布為()x2x：2.一(A)N(0,1)；(B)(2)；(0t(2)；

18、(D)F(2,2)。(D)U(1)/2°3、設隨機變量XN(0,1),而u滿足PXu，若PXx，則x()(A)U；2；(B)U1,，2；(C)U12設總體X的二階矩存在(X1,X2,L,Xn)為一樣本，Xi1n一(Xini1-22.X)，則E(X)的矩估計為(A)X；(b)s2；n(C)n(D)二、填空題1、設總體XN(,2),X,X2為一樣本，則XiS2n(Xii1)21n-(Xii1x)22、設總體X:N(1,4),(X1,X2,X3)為樣本，X是樣本均值，S2為樣本方差,E(X),D(X),E(S2)2X23、設息體XN(,),(x，X，x)為一樣本，X是樣本均值。則Un()2

19、服從的分布為。222.4、設X:N(0,4),(X1,X2,X3)為樣本，若要求aXb(X2X3):(2),則a=,b=。的矩估計為5、設總體X在(，1)上服從均勻分布，(X1,X2,L,Xn)為一樣本，則三、計算題1、設總體XN(1,4),Xi,X2,X3是X的樣本,試求E(X：X；x2),D(X1X2X3)。2、設總體X服從方差為4的正態(tài)分布，(X1,X2,L,Xn)是一樣本，求n使樣本均值與總體均值之差的絕對值不超過的概率不小于。3、設總體X-N(4,4),(X1,X2,L,X10)為X的簡單隨機樣本,_1nXXi為樣本均值,ni1s2(XiX)2為樣本方差,1(1)求PS2.908;(

20、2)若S2.5,求PX6.569。4、設總體X的概率密度f(x,)0,其它.1,(x1,x2,L,xn)為一樣本，試求的矩估計。一章練習題參考解答一、單項選擇題1、(D)。2、(A)。3、(B)。4、(B)。5、(D)。6、(A)o7、(C)o二、填空題1、2、2/3,3、4、 1-p51/66、1/37、13/18;1/28、C3C7/Cw21/40。9、三、計算題1、解：PC5Lcc5c；17395010096032、解：令A=抽取的電話號碼由完全不相同的數字組成,田抽取的電話號碼末位數是8,則p(a)P(B)210510421053、解:P(AUBUC)P(A)P(B)P(C)P(AB)

21、P(BC)P(AC)P(ABC)5/84、解：令A=2件中有1件為次品,B=另一件也為次品,欲求P(B|A),2c2而P(AB)C4r,P(A)1P(A)1-2，故P(B|A)(一)CwC2oP(A)55、解：設A=任取一件產品為次品,B=任取一件產品是第i個車間生產的,i=1,2,3,則AB1AUB2AUB3A,且B1A,B2A,B3A兩兩互不相容;已知P(B1)0.45,P(B2)0.35,P(B3)0.20,P(A|B1)0.05,P(A|B2)0.04,P(A|B3)0.02；P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3)0.0405P(B1|A)P(

22、BA)P(A)P(B1)P(A|B1)5P(A)96、解：設A=第i次取到一等品,B=取到第i號箱,i=1,2,110118250230A1B1AlUB2A1,且BA,BA兩兩互不相容，從而P(A1)P(B1)P(A1|B1)P(B2)P(A1|B2)A1A2B1A1A2UB2A1A2,且B1A1A2,B2A1A2兩兩互不相容，從而2227614211a1201A28P(A2)P(B1)P(A1A2|B1)P(B2)P(A1A2|B2)-20282A202A20所求為P(A2|A1)P(AA)P(A1)69014210.4856C相互獨立,7、解：以AB、C分別表示元件A、B、C正常工作之事，

23、由于各元件獨立工作，故AB且P(A)0.90,P(B)0.70,P(C)0.70,所求為P(ABUAC)P(AB)P(AC)P(ABC)P(A)P(B)P(A)P(C)P(A)P(B)P(C)0.819。皿丁P(BA)P(B)P(AB)P(AB)四、證：P(B|A),P(B|A)LP(A)1P(A)P(A)代入P(B|A)P(B|A)得P(AB)P(A)P(B),故A與B相互獨立。隨機變量及其分布練習題參考答案、單項選擇題1、(C)2、(B)3、（B）4、（A）5、（C）6、（A）7、（。8、（A）9、（。二、填空題1、ai/6,b5/6,x的分布為2、ai,b工，P1X23/4,X的概率密度

24、f(x)=馬,x1,x0,x1.X112P1/62/61/21卜5k3、XB(10,1/6),X的概率分布為PXkCko()k(),k0,1,L,10.664、a1/4/2。5、(2.28)(1.5)0.0555。6、3,我。7、X的分布律為X123P1/2a+1/9b+1/18丫的分布律為丫12P1/3a+b+1/31PXYa-;當a=2/9,b=1/9時、X與丫相互獨立8、X與丫的聯合分布律為-3-2111/101/101/521/201/201/1031/101/101/5Z=X+Y的分布律為Z-21012P1/103/207/201/51/510、N(12,2分1.2c1,1xe,0y

25、一9f(x,y)2x0,其它.1ye,1x1,y0,11、f(x,y)2'0,其它.Z01P1-1/2e1/2eZ的分布為ke,k0,1,L,k!已知PX00.4493，故e0.4493,ln0.44930.8,所求為3、解:(1)PX4PXk0k140.8k0.44930.0091。由歸一性得f(x)dx1=x2dxAarcsin令A1,所以三、計算題X1234P(4333)/43(3323)/43(231)/431431、解：X的分布律為)，分布律為PX2、解：令疵點數為X,X(kA1/P|X|1/21/21/21/2f(x)dx1/21fdx1/3。、,1x20,x1,F(x)x

26、f(t)dxdx-arcsinx,1x1.1Mt21,x1.4、解：設某人造衛(wèi)星偏離預定軌道的距離為頭5次獨立觀測中“失敗”的次數為丫,2、則XN(0,4),每次觀測“失敗”的概率為P|X|101P|X/4|2,522(2.5)=,由此得YB(5,0.0124),所求概率為X201/4416P1/81/47/241/36、12311/90022/91/9032/92/91/9(2)兩個邊緣分布列為Y123P1/91/35/9Y123因為P(Y1(3)P(Y1P(Y17、解：(1)PXP5/91/31/915991LL，一，一P(Y11,Y21),所以丫1與丫2不獨立。95811)P(Y21)丫

27、23)P(Yi1,丫2Y2)P(Y1由歸一性得f(x,y)dxdy1dx01)1)20(1)P(Yi1,丫22)P(Y12,丫21)1/3；P(Y12,丫22)P(Y13,Y23)1/3。fx(x)fY(y)2xaxy)dy(2x22ax)dx令a1,f(x,y)dxdy1f(x,y)dyf(x,y)dxf(x,y)的非零區(qū)域內f(x,y)8、(1)fX(x)f(x,y)dy(x20,其它.(x20,其它.fY(y)f(x,y)dx(2)在f(x,y)10dxlx2等)dy36572xyV)dy3xy)dx3fx(x)fY(y),故2x04xdy0,1-4xdx2y0,2x4x3,02x丁&#

28、176;x1,x1,其它.2y,0y1,其它.2,的非零區(qū)域內f(x,y)fX(x)fY(y),故X與丫不獨立。(3)PX1/2)1x2f(x,y)dxdy1/2dx°4xdyx1/21516PX1/2,Y1/21f(x,y)dxdy1/2dx1/21/2x24xdy1/21/4。8/證明:的分布函為0,1,FY(y)P(Yy)P3X、y1ypx七-dxy31,1,14,4.fY(y)FY(y)1/3,14,0,其他.隨機變量的數字特征與中心極限定理復習自測題解答一、單項選擇題1、（B）。2、（B）。4、（B）。5、（C）o6、(D)o二、填空題1、N(,2/3)N(12,42/3)

29、。2、13、3,2/34、122e乜5、06、1(屈)0.0007o7、3710、E(Y2)E(Y)21(1/3)28/9。11、21/201/23/20三、計算及證明題1、解：設保險費為x元，收益丫元，則丫x,A發(fā)生，a,A不發(fā)生丫的分布律為故E(Y)2、解：（1）而E(X)Yxx-aP1-ppXa令aixap，求信xap10由歸一性得f(x)dx102axdx042(bxc)dx2a6b令2c1;2xf(x)dx0xaxdx8a2x(bxc)dx56b令6c2；P1X3f(x)dx1axdx32(bxc)dx3a5b令3萬萬c4'4,c1(2)E(eX)x2xx4xx14121ef(x)dxedxe(1)dx=-ee一。04244243、解：（X,Y）的概率密度為f（x,y）2,0