概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)題

1、計(jì)算題1 1、一箱產(chǎn)品共 100100 件,其中次品個(gè)數(shù)從.到 2 2 是等可能的.開箱檢驗(yàn)時(shí),從中隨機(jī)抽取 1010 件,如果發(fā)現(xiàn)有次品,那么認(rèn)為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收.假設(shè)該箱產(chǎn)品已通過驗(yàn)收,求該箱產(chǎn)品中確實(shí)沒有次品的概率.1解：設(shè)A=“箱中有i件次品,由題設(shè),有P(A)=-(i=0,1,2),3又設(shè) B=該箱產(chǎn)品通過驗(yàn)收,由全概率公式,有21c10c101P(B)=P(A)P(B|A)=11+潦+溪=黃2.71i=031C100C100/311故PA0IBJA3PB|A=白1二0.37PB12.713即通過驗(yàn)收的該箱產(chǎn)品確實(shí)沒有次品的概率是0.37.2 2、設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 獨(dú)立同

2、分布,且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),求隨機(jī)變量 Z=JX2+Y2的概率密度解：由于 X 與 Y 獨(dú)立同分布,且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)1_x2寸所以f(x,y)e22二首先求 Z Z 的分布函數(shù)F(z)-P(Zz)-P(X2Y20時(shí),F(z)=JJf(x,y)dxdy=JJe2dxdyx2y2.土2x2-y222二令x=rcos,y=rsin2Hz1z貝上式=de2rdr=e2rdr002:0Y Y 的邊緣概率密度為y一、.一、,66dx,0y1fY(y)=L/(x,y)dx=,yI0,其它63y-y),0y10,其它3顯然fx,y豐fxxfYy,所以 x x 與丫不獨(dú)立.4.4.對(duì)

3、敵人陣地進(jìn)行 100100 次炮擊.每次炮擊命中目標(biāo)的炮彈的數(shù)學(xué)期望是4,4,標(biāo)準(zhǔn)差是 1.5.1.5.求 100100 次炮擊中有 380380 至 420420 顆炮彈命中目標(biāo)的概率解答：設(shè)Xi表示第 i 次炮擊命中目標(biāo)的炮彈數(shù),由題設(shè),有EXi=4,VDX7=1.5(i=1,2,HI,100)100那么100次炮擊命中目標(biāo)的炮彈數(shù)X=ZX-i=1EX100=EXi=400i1100DX=DXi=1001.52i1因X1,X2,III,X100相互獨(dú)立,同分布,那么由中央極限定理知2z所以密度函數(shù)fz=Fz=Jze2,zA00,z023、設(shè)二維隨機(jī)變量X,Y在矩形G=x,y|0 x1,x2

4、yx上服從均勻分布,1求X,Y的聯(lián)合概率密度2求X,Y關(guān)于 X、Y 的邊緣概率密度3判斷 X 與 Y 的獨(dú)立性.1x12!dxdy=1dx2dy=i(x-x)dx=GX X、Y Y的聯(lián)合概率密度為cc26,0 x1,xyx0,其它解：1 1區(qū)域 G G 的面積為f(x)(2)X(2)X的邊緣概率密度為fx(x)=_f(x,y)dy=xf26dy,0cx1x=,0,其它二,2、一,6(x-x),0 x10,其它100X=Xi近似服從正態(tài)分布N(400,100 x1.52)i1于是P,：380XE420：,：y420一400一二,380一400.15.15.應(yīng)用題1、由該商店過去的銷售記錄知道,某

5、種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)九=10的普哇松分布來描述,為了以 95%95%以上的把握保證不脫銷,問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？(供參考：X XP(7J,P(XM14)之0.9166,P(XM15)之0.9513)因而按題意要求為P(a)-0.95由于服從兒=10的普哇松分布,上式也就是二2：.-1=2：,1.33-1=0.8164解設(shè)該商店每月銷售某種商品七件,月底的進(jìn)貨為a件,那么當(dāng)Qa時(shí)就不會(huì)脫銷,由題意,P(X14)：0.9166,P(Xa,F(x)=1、0,x0,有P(|Yn-a|；)=P(Yna；)n=P(Xi-a0)i1nn=IiP(Xi-a；)=II(1-F(a；)=e-

6、l0i1i1故Yn-PTa.計(jì)算題1離散型隨機(jī)變量X的分布列為那么收益為Y=g(XY=g(X)=)= 3t,3t,4X4Xt,t,X_tX_tX X 二 t t由于 X X 的密度為f(x)=12000,2000 x4000otherwise所以oOE(Y)=.g(x)f(x)dx=,40001-g(x)dx20002000/t400011,2,(4x-t)dx+3tdx=(t2-7000t十4000000)2000.2000t1000當(dāng)1=3500時(shí),E(Y)到達(dá)最大證實(shí)題設(shè)隨機(jī)變量序列Xn獨(dú)立同分布,其密度函數(shù)為P(x)=0,x_a,x:a.X-2-1013P1111115651530求

7、Z=X 的分布歹 I.2、設(shè)二維隨時(shí)機(jī)變量X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)為xy,0：x二1,0:：y二1;0,其他.(1)求PX+Y0為未知參數(shù),為？2*3,111,%是一組樣本值,求參數(shù)人的最大似然估計(jì)4、某煉鐵廠在生產(chǎn)正常的情況下,鐵水含碳量X服從正態(tài)分布,具方差為0.03.在某段時(shí)間抽測(cè)了10爐鐵水,測(cè)得鐵水含碳量的樣本方差為0.0375.試問在顯著水平口=0.05下,這段時(shí)間生產(chǎn)的鐵水含碳量方差與正常情況下的方差有無顯著差異？五、證實(shí)題P(x,V)=,x0其它設(shè)Xk為獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,且PXk=4而=1,k=1,2,證實(shí)XJ服從大數(shù)定律.計(jì)算題1、解:1P(ZU0)=P(XU0)二5117P(

8、Z=1)=P(X=1)P(X=1)=二615301P(Z=2)=P(X-2):5上述步驟可以省去11P(Z=1)=P(X=3)F3011-y111212、解：(1)P(X+YM1)=yj0(x+y)dx=()2網(wǎng)=&223PX(x)pY(y)#p(x,y),所以X與Y不獨(dú)立.應(yīng)用題1、解：設(shè)投資組合的收益為Z,那么Z=x1X(1-x1)YEZ=ExX(1-x1)Y=x二(1尸2=為(1-)Z0123c17111P530530所以 Z=X 的分布列為(2)(2)PX(X)=-beLjp(x,y)dy=1o(xy)dy,0:二x；10,其他0:x： ： ：1其他1PY(y)=1%(x,y)

9、dx=(x+y)dx,0y1功0,其他得PY(y)=；y1八,0：y：12即可得Var(Z)=Varx1X(1-x1)Y22=x10.25(1-x1)0.642x1(1-x1)0.40.50.8一2=0.57xi-0.96xi0.64令4Var億)=1.14_0.96=0得駐點(diǎn)x1=0.96電0.842Fx1,1.14-2,一、ccc且cVar(Z)=1.14A0所以當(dāng)x1*0.842時(shí)投資風(fēng)險(xiǎn)最小,即使投資風(fēng)險(xiǎn)漢21.14最小的投資組合為(x1,x2)=(0.842,0.158).2、解：設(shè)各臺(tái)設(shè)備用電量分別為Xi(i=1,2,1000)那么1000臺(tái)設(shè)備的用電量為X=X1+X2+,+X10

10、00依題意知,EXi=(0+60)/2=30,DXi=(60-0)2/12=300,因止匕EX=30000,DX=300000,由中央極限定理,X-30000N(Q1)設(shè)電站需供給a度電,.300000由題意得P(X0)PTidnnlnL(K)=nln(2兒)+21nxi九2xi2(Vi,x0)1 =1i=1n=二z為=0得?=T、x2i1且2=1：或2,2所以參數(shù)人的最大似然估計(jì)為,?=4、x2i=14、解：提出假設(shè)Ho:仃2=0.03HI：T2#0.03選取統(tǒng)計(jì)量2=(n-了22(n.1)拒絕域?yàn)椋?.201414、設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布,其密度函數(shù)為p(x)=0,xQ0v0PV(v)

11、=jPu,V(U,V)du=Juedu=1,0v1二二0所以PUV(u,v)=PU(U)PV(v),知U與V相互獨(dú)立.應(yīng)用題1515、設(shè)供電站供給某地區(qū) 10001000 戶居民用電,各戶用電情況相互獨(dú)立.每戶每天用電量(單位：度)在0,200,20上服從均勻分布.現(xiàn)要以 0.990.99 的概率滿足該地區(qū)居民供給電量的需求,問供電站每天至少需向該地區(qū)供給多少度電？解：設(shè)第 K K 戶居民每天用電量為Xk度,10001000 戶居民每天用電量為X度,EXk=10,10,再設(shè)供給站需供給 L L 度電才能滿足條件,那么即L-10000=2.33,那么 L=10425L=10425 度.10000

12、0/31616、據(jù)預(yù)測(cè),國際市場(chǎng)每年對(duì)我國某種出口商品的需求量X(單位：噸)在區(qū)間300300, ,500500上服從均勻分布.此商品每出口 1 1 噸,可獲利 1.51.5 萬元；但是每積壓 1 1 噸,將虧損 0.50.5 萬元.如果由某公司獨(dú)家經(jīng)營這種商品的出口業(yè)務(wù),問該公司應(yīng)當(dāng)儲(chǔ)藏多少這種商品才能使所獲的平均利潤最大？解：設(shè)該公司應(yīng)當(dāng)儲(chǔ)藏這種商品 a a 噸,顯然300maM500那么所獲利潤為變換的雅可比行列式為V1-V=_uv_u(1_V)=_uDXk20212PX-L-1(L-100010,1000父2012)=0.9915a,X之a(chǎn)1.5a,X之a(chǎn)g(X)=J.5X-0.5(a

13、-X),Xa2X-0.5a,X0,0,有 P|X-|W%z書上有答案計(jì)算題1、一個(gè)機(jī)床有1/3的時(shí)間加工零件A,其余時(shí)間加工零件Bo加工零件A時(shí)停機(jī)的概率是0.3,加工零件B時(shí)停機(jī)的概率是0.4.求假設(shè)該機(jī)床已停機(jī),求它是在加工零件A時(shí)發(fā)生停機(jī)的概率.2、設(shè)二維隨時(shí)機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為3xy2,0MxM2,f(x,y)=2y0,其他.L1(1)求X和Y的邊際密度,并判斷X與Y是否相互獨(dú)立？(2)求P(YX)四、應(yīng)用題1、設(shè)國際市場(chǎng)上對(duì)我國某種出口商品的每年需求是隨機(jī)變量X(單位噸),它服從區(qū)間2000,4000上的均勻分布.每銷售出一噸商品,可為國家賺取外匯3萬元；假設(shè)銷售不出,那

14、么每噸商品需貯存費(fèi)1萬元.問應(yīng)組織多少貨源,才能使所以平均利潤為由于需求量 X 的概率密度是f(x)=4/200,0,300Mx500其它COEg(X)=g(x)f(x)dx31200500g(x)dx3001/a/CCL、(2x-0.5a)dx2003005001.5adx),一a200(a2-900a90000)0y1;國家收益最大?2、設(shè)各零件的重量都是隨機(jī)變量,它們相互獨(dú)立,且服從相同的分布,其數(shù)學(xué)期望為0.5kg,均方差為0.1kg,問5000只零件的總重量超過2510kg的概率是多少？3、設(shè)總體為0,日上的均勻分布,求參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì).4、某切割機(jī)在正常工作時(shí),切割得每段

15、金屬棒長服從正態(tài)分布,且其平均長度為10.5cm,標(biāo)準(zhǔn)差為0.15cm.今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取16段進(jìn)行測(cè)量,計(jì)算平均長度為x=10.48cm.假設(shè)方差不變,問在a=0.05顯著性水平下,該切割機(jī)工作是否正常？證實(shí)題假設(shè)X1,X2,Xn來自均值為N,方差為仃2的總體的樣本,記n22Xi-nX2i1證實(shí)：E(S2)二.2計(jì)算題1、解：設(shè)事件C表示該機(jī)床停機(jī),由貝葉斯公式得P(A)P(CA)30.33P(A)P(C|A)P(B)P(CB)=103204=H332、解:132xydy,fX(x).i-f(x,y)dy=02-0,其他.n-1P(AC)0MxM2;(1)fY(x)=_.f(x,y)dx

16、1X,0 xE2;=二2h其他.32,c.一一xydx,0一y一1;2其他.ZX_a即Y=g(X)=3a,3a,Xa丁XU2000,4000,二f(x)=1/2000,0,2000 x4000其他EYT5001g(x)f(x)dxg(x)-dx-3002000a1(4x-a)2000200040001dx3aa2000dx易得當(dāng)收益最大12(-2a214000a-8000000)2000a=350時(shí),EY取得最大,所以應(yīng)組織3500噸貨源,才能使國家2、設(shè)各零件重量分別為Xi(i=1,2,-5000),那么5000臺(tái)零件的總重量為X=XI+X2+,+X5000依題意知,EX=0.5,DXi=0

17、.12=0.01,因此EX=2500,DX=50,由中央極限定理,可知X真00近似服從 N N(0,1)(0,1)分布,故這5000零件總,50重量超過2510kg的概率為:X-25002510-2500P(X2510)=1P(X三2510)=1P()5050,2510-2500:(50)飛y0ya3201、解：設(shè)該公司組織店a噸貨源,公司收益為Y,那么=1-：(.2)=10.9213=0.07873、解：總體密度f(x)=b0X0,其他1由于E(X)=,令X=,得%=2X22(2)似然函數(shù)為LC)-Jl.nf(Xi)=n,0HxiMu(i=1,2n)也0,其他要使L(6)盡可能大,那么日應(yīng)盡

18、可能小,但6士xi(i=1,2,n),所以此LE=x(n)4、解：H0：N=10.5H1：N#10.5選取統(tǒng)計(jì)量Z=X-10.5N(0,1)二八15拒絕域?yàn)椋篫|Za=1.962把x=10.48cm,仃=0.15cm2代入得接受原假設(shè),即沒有理由認(rèn)為該切割機(jī)在此日工作正常證實(shí)題證實(shí):n21x22E(S)=EXi-nX)n-1i11n-1設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)(1尸)有密度函數(shù)實(shí)測(cè)值t=10.48-10.50.15/16=0.5331.96-2-nEX2)1n-1n(二2i1+:2)-np.2+；2)2np(x,y)求常數(shù)A及(3的密度函數(shù).QQQQ二二p(x,y)dxdy-dxdy)4A二dx二dyA

19、K016x2025y220所以,A=20；xyF(x,y)!Ip(t,s)dtds20 xydtds一_222-二fT(16t)(25s)20 xdtyds一二2(-:16t2)(二二25s2)1x二y二二2(arctg,-)(arctg)二4252rE假設(shè)對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量 J 有E|g(r曾w-LrL.x1r證：p(q9=x泡pKx)dxwx灌/Pe(x)dx1,r=rrW-rLxPt(x)=E-/zoS-如果要估計(jì)拋擲一枚圖釘時(shí)尖頭朝上的概率,為了有95%Z上的把握保證所觀察到的頻率與概率 p 的差小于%,問至少應(yīng)該做多少次試驗(yàn)？解：令a1第n次試驗(yàn)時(shí)圖釘?shù)募忸^朝上一：0其它n、i據(jù)題意選

20、取試驗(yàn)次數(shù)n應(yīng)滿足P(|-p|p)之0.95,由于n比擬大,由中央n10極限定理有解:A2212(16x)(25ynnVi(-p)dP(|-p|:二上)=P(|pk1np)n10.npq10;q2xe2dx_0.95故應(yīng)取上況=2,即n=4009,但圖釘?shù)撞恐?尖頭輕,由直觀判斷有p之1,10qp2因而91,故可取n=400.p一本書共有一百萬個(gè)印刷符號(hào),排版時(shí)每個(gè)符號(hào)被排錯(cuò)的概率為0.0001,校對(duì)時(shí)每個(gè)排版錯(cuò)誤被改正的概率為0.9,求在校對(duì)后錯(cuò)誤不多于15個(gè)的概率.解：令產(chǎn)1第i個(gè)印刷符號(hào)被排錯(cuò)且校對(duì)后仍錯(cuò)誤-i=：0其它由于排版與校對(duì)是兩個(gè)獨(dú)立的工序,因而p=P(i=1)=0.00010.1=10：P(i=0)=q=1一pn.是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,E,=p,令L=彳,其中n=106,由中央i=1極限定理有P(ng=P(-二叩二叩,npqnpq不多于15個(gè)的概率.在一家保險(xiǎn)公司里有10000個(gè)人參加保險(xiǎn),每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi),在一年里一個(gè)人死亡的概率為0.006,死亡時(shí)家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元,問：(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率多大？(2)保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于40000元,60000元,80000元的概率各為多大？解：保險(xiǎn)公司一年的總收入為120000元,這時(shí)(1)假設(shè)一年中死亡人數(shù)120,那么公司虧本；(2)假設(shè)一年中死亡人數(shù)80,那么利潤中死亡人數(shù)240