橢圓雙曲線中若干個定值定點問題

1、橢圓雙曲線中若干個定值定點問題姓名：指導:日期：橢回和雙曲線都有一個中心，兩條對稱軸，它陽統(tǒng)稱為有心二次曲線.其定義均與兩個定點有關.桶畫是距離之和為定值雙曲線是距離之差的絕對值為定值,由于兩者既有聯(lián)系又有區(qū)別，學習橢圓與雙曲線的性質時可以運用類比推理實現(xiàn)兩者的和諧統(tǒng)一.F面舉幾例加以說明.問題I如圖I，已知橢陰會+方=I<0>bo)f-e是梅陽的兩個"焦點P為橢圓的一個動點過幾作NF/F2的圖I外角平分戰(zhàn)的垂線垂足為M.求證;0M的長為定值.分析延長RM交曰尸的延長淺于點N.因為FP=PN,所以。M=yF.N=«,M猜想雙曲線中會是什么結論呢？r?yl結論已知

2、雙曲線:一R=1(。>0/j>0)F;F2是雙曲線的兩個焦點尸為雙曲線的一個動點過F,作NH尸入的內角平分線的垂線.垂足為乂則CM的長為定值.幅四古物分析精圓的定義是PF.+PFznZa雙曲線的定義是IPEPF"=2a.因此麗圓中是將PF.PF.連在一起.是外角平分線而雙曲線中是在PE上截取一段PR.是內角平分線,所以,QM=<(PF-)=以.圖2問題2如圖2已知/V3冊網(wǎng)了+R=I(0>卜>01.凡產工是橢閱的兩個.焦點,P為橢圜上的動點.作F/幾的旁切圓其中M.N.A為切點闕心是NFBFiNN尸入和NPE八的平分線交點.求證；該園與軸切于定點.分析因

3、為PH+PF2+RFz=pf.+pm+FXFz+F2A1=3N+巳A=2F./A=20+2OA而PF；十PR十HF=2a+2一所。八=a.即點八為橢圓長軸的頂點.若點P在了軸右方則八是右頂點：若點P在y軸左方.則凡是左頂點.猜想雙曲線中會是什么結論呢？Mv2結論已知雙曲線涓一打=1儲0/。）凡12是雙曲線的兩個佳點P為雙曲線上的動點，作匕PFW的內切圓,則該圓與1軸切于定點.分析由于定義不同.J1在雙曲線中應是內切網(wǎng).若*p在右支上如圖3.則PF】一?幾=2”.由切線長定理/得A-F/=2a.設A點坐標為（r0.O）則才。+一，陽3十,=?a，所以.r6=a.即此點是雙曲線的實施右頂點,若點P

4、在左支則是左頂點，會說嬌中日問題3如圖4,己知U橢圓二+±=1Q/，1心lb4“無墳?0）F是橢網(wǎng)的右焦點過74F任作一直線交橢網(wǎng)于A.'b兩點,同在I軸的正半軸圖'上是否存在一定點P.使/KPF=N.APF?分析先假設點P存在,且坐標為（】一0）其中，。0.根據(jù)題意有"尸+兒?=。設過F（r.O）的直線B的方程為，=，”'+代入橢網(wǎng)方程中并化簡得33/十/）/十用*一小=0.女點八和的坐標分別為門.力和八.asas1y列式化荷符4=一所以存在定點P.rr0）.這一點正好是橘質I的右準線與T軸的交點.猜想雙曲線中會是什么結論呢？結論如圖3,已知雙曲線

5、。/:。）F是雙曲線的右焦點過F任傳正通溪交雙曲線的右支于A,n兩點.則在h軸的正半軸上存在一定點P-使/BPF=NAPF.分析先假設存在點P(,ro.0)(,ro。滿足N£PF=/APE根據(jù)題意則有心尸+瓦卯=0.設過R50)的直線A8的方程為少十代入雙曲線方程中化簡得“，/«D/+2/，2，n+"=0.設點,A和8的坐標分別為和(n山.列式化簡得八=%所以存在定由P(y.O),這一點是雙曲線的右推線與I軸的交點.說明這里要強調的是雙曲線的右支如果ra6是兩支就不聯(lián)立1問題4如圖6,已知橢圓+金=154。)afr口為坐標原點.過3作兩條互相垂直的射線CM.C汨交

6、圓于八，片兩點.求證：標+亦為定值；(2)。到八人的距離為定值.分析設()A=rj.OB=r2./"QA=(r,則點A和a的坐標分別為Cncomassinfl).(r2cos(a-90°).r2sinCa90°).rcos1a因為兩點均在桶網(wǎng)上.所以4-arisir/arlcOCa90°)r；5iiF(a9(/)f-=L且不+不=1.即曄+婪=1.aI廣m.11cosats.ih2aI1因此.6Q=7f=T+k.麗=*=sin*atcos2a所以短+盛=5+3為定值.第（2）小題由等積法可得"P=-；=.猜想忍曲線中會是什么結論呢？結論如圖7.

7、己如雙曲線"一六=13>ab0/，>0且a<）.O為坐標原點.過O我漉海展相垂直的射線CAO交雙曲線于八兩點.則(1)去十焉為定值；(2)。到八8的距離為定值.分析仿上可得不§4.；=-r7T.但此式只有在aV力時才成立.<)nab所以若要保證命題成立必須要加Z<這一條件.問題5如圖8己知x2yzAfN是橢網(wǎng)C：f+9=azlr1(«>6>0)上關于原點對稱的兩點點P是橢畫上的任法一點直線PMPN的舞率都存在并分別記為心”和加、.求證：*八一分析設點”和P的坐標分別為和(加y。)則點的坐標為(一.r一山),且/義一，】3%+31JoJi*r.“.kpn=；=-2:-r«-rXi>十#i#q-in猜想雙曲線中會是什么結論呢？結論如圖9已知M.Y是雙曲線一二一a-=|(a>0J,>()匕關于原點對稱的兩百點P是雙曲線上的任意一點.直線PM和PN的斜率都存在并分別記為