計(jì)算力學(xué)復(fù)習(xí)題答案

1、計(jì)算力學(xué)試題答案1.有限單元法和經(jīng)典Ritz法的主要區(qū)別是什么？答：經(jīng)典Ritz法是在整個(gè)區(qū)域內(nèi)假設(shè)未知函數(shù)，適用于邊界幾何形狀簡單的情形；有限單元法是將整個(gè)區(qū)域離散，分散成若干個(gè)單元，在單元上假設(shè)未知函數(shù)。有限單元法是單元一級的Ritz法。2、單元?jiǎng)偠染仃嚭驼w剛度矩陣各有什么特征？剛度矩陣K奇異有何物理意義？在求解問題時(shí)如何消除奇異性？答：單元?jiǎng)偠染仃嚨奶卣鳎簩ΨQ性奇異性主元恒正平面圖形相似、彈性矩陣口厚度t相同的單元，Ke相同Ke的分塊子矩陣按結(jié)點(diǎn)號排列，每一子矩陣代表一個(gè)結(jié)點(diǎn)，占兩行兩列，其位置與結(jié)點(diǎn)位置對應(yīng)。整體剛度矩陣的特征：對稱性奇異性主元恒正稀疏性非零元素呈帶狀分布。IK1為消

2、除K的奇異性，需要引入邊界條件，至少需給出能限制剛體位移的約束條件。4.何為等參數(shù)單元？為什么要引入等參數(shù)單元？答：等參變換是對單元的幾何形狀和單元內(nèi)的場函數(shù)采用相同數(shù)目的結(jié)點(diǎn)參數(shù)及相同的插值函數(shù)進(jìn)行變換，采用等參變換的單元稱之為等參數(shù)單元。借助于等參數(shù)單元可以對于一般的任意幾何形狀的工程問題和物理問題方便地進(jìn)行有限元離散，其優(yōu)點(diǎn)有：對單元形狀的適應(yīng)性強(qiáng)；單元特性矩陣的積分求解方便（積分限標(biāo)準(zhǔn)化）；便于編制通用化程序。5、對于平面4節(jié)點(diǎn)（線性）和8節(jié)點(diǎn)（二次）矩形單元，為了得到精確的剛度矩陣，需要多少個(gè)Gauss積分點(diǎn)？說明理由。答：對于平面4節(jié)點(diǎn)（線性）矩形單元：n色產(chǎn)）如1、。匕！btdb

3、Ri'”2P2,5m1._n=1.52J=常數(shù)所以m=2因而積分點(diǎn)數(shù)為：2M2矩陣對于平面8節(jié)點(diǎn)（二次）矩形單元：工1,2,2,13,4Ni（t,n）oci,t,n,t2n2,£n2,t2nBTDBJ=常數(shù)所以m=4因而積分點(diǎn)數(shù)為：3父3矩陣矩形、正方形、平行四邊形，J|=常數(shù)2、總剛度矩陣K的任一元素kij的物理意義是什么？如何解釋總剛度矩陣的奇異性和帶狀稀疏性？答：K中元素的Kj物理意義：當(dāng)結(jié)構(gòu)的第j個(gè)結(jié)點(diǎn)位移方向上發(fā)生單位位移，而其它結(jié)點(diǎn)位移方向上位移為零時(shí)，需在第i個(gè)結(jié)點(diǎn)位移方向上施加的結(jié)點(diǎn)力大小。奇異性：K=0,力學(xué)意義是對任意給定結(jié)點(diǎn)位移所得到結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)力總體上是滿

4、足力和力矩的平衡。反之，給定任意滿足力和力矩平衡結(jié)點(diǎn)載荷P,由于K的奇異性卻不能解得結(jié)構(gòu)的位移a,因而結(jié)構(gòu)仍可能發(fā)生任意的剛體位移。為消除k】的奇異性，結(jié)構(gòu)至少需給出能限制剛體位移的約束條件。帶狀稀疏性：由于連續(xù)體離散為有限個(gè)單元體時(shí)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)的相關(guān)單元只是圍繞在該結(jié)點(diǎn)周圍為數(shù)甚少的幾個(gè)，一個(gè)結(jié)點(diǎn)通過相關(guān)單元與之發(fā)生關(guān)系的相關(guān)結(jié)點(diǎn)也只是它周圍的少數(shù)幾個(gè)，因此雖然總體單元數(shù)和結(jié)點(diǎn)數(shù)很多，結(jié)構(gòu)剛度矩陣的階數(shù)很高，但剛度系數(shù)中非零系數(shù)卻很少，即為總剛度矩陣的稀疏性。另外，只要結(jié)點(diǎn)編號是合理的，這些稀疏的非零元素將集中在以主對角線為中心的一條帶狀區(qū)域內(nèi)，即為總剛度矩陣的帶狀分布特性。3、以3節(jié)點(diǎn)三角形

5、單元為例證明插值函數(shù)特性答：圖形見課本P105圖3.6a由面積坐標(biāo):Li£（i=i,j,m）插值函數(shù)：Ni所以：nA=L（i=i，j，m）PL,Lj,LmAAjAmA+AjAm1-AAA-A一4、什么是等參單元？等參單元的收斂性如何？答：等參變換是對單元的幾何形狀和單元內(nèi)的場函數(shù)采用相同數(shù)目的結(jié)點(diǎn)參數(shù)及相同的插值函數(shù)進(jìn)行變換，采用等參變換的單元稱之為等參元。等參單元滿足收斂性需滿足兩個(gè)條件：即單元必須是協(xié)調(diào)的和完備的。完備性條件：要求插值函數(shù)中包含完全的線性項(xiàng)（包含常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)）。協(xié)調(diào)性條件：單元邊界上位移連續(xù)，相鄰單元邊界具有相同的結(jié)點(diǎn)，每一單元沿邊界的坐標(biāo)和未知函數(shù)采用相同的插

6、值函數(shù)。5、對于空間8節(jié)點(diǎn)（線性）和如節(jié)點(diǎn)（二次）六面體單元，為了得到精確的剛度矩陣，需要多少個(gè)Gauss積分點(diǎn)？說明理由。答：對于空間8節(jié)點(diǎn)（線性）六面體單元：BDBoc1,x,xy,xz,",x2y2J|=常數(shù)因而積分點(diǎn)數(shù)為：2M2M2矩陣M(,)士1,x,y,z,xy,yz,zx,xyz所以m=2=1.5對于空間20節(jié)點(diǎn)（二次）六面體單元:N(,)f1,x,y,z,x2,y22333222222,z,x,y,z,xy,yz,zx,xy,xy,xz,xz,yz,yz,xyz所以m=4m-1n=2.52BDBoc1,x,xy,xz,，x4J=常數(shù)因而積分點(diǎn)數(shù)為：3M3M3矩陣1、為

7、什么說3節(jié)點(diǎn)三角形單元是常應(yīng)變單元?答：常應(yīng)變單元指的是在一個(gè)單元內(nèi)的應(yīng)變?yōu)槌?shù)，有限元中的常應(yīng)變單元指的是線性三角形單元,線性三角形單元的位移場為線性的，應(yīng)變?yōu)槲灰频囊浑A導(dǎo)數(shù)，故為常數(shù)，因此稱為常應(yīng)變單元。3、何為等參變換？等參元有那些優(yōu)點(diǎn)？答：等參變換是對單元的幾何形狀和單元內(nèi)的場函數(shù)采用相同數(shù)目的結(jié)點(diǎn)參數(shù)及相同的插值函數(shù)進(jìn)行變換，采用等參變換的單元稱之為等參元。借助于等參元可以對于一般的任意幾何形狀的工程問題和物理問題方便地進(jìn)行有限元離散，其優(yōu)點(diǎn)有：對單元形狀的適應(yīng)性強(qiáng)；單元特性矩陣的積分求解方便（積分限標(biāo)準(zhǔn)化）；便于編制通用化程序。結(jié)構(gòu)離散化將連續(xù)體劃分為若干小單元”的集合。在相鄰單元

8、的邊界上應(yīng)滿足一定的連續(xù)條件。單元內(nèi)部的物理量可以用單元節(jié)點(diǎn)”處的相關(guān)物理量來表示。節(jié)點(diǎn)處的這些物理量統(tǒng)稱為"自由度”，其所代表的實(shí)際物理量如：節(jié)點(diǎn)位移、轉(zhuǎn)角、溫度、熱流、電壓、電流、磁通量、流速、流量等。單元節(jié)點(diǎn)的設(shè)置、自由度性質(zhì)、數(shù)目等應(yīng)視問題的性質(zhì)，所描述物理量的變化形態(tài)的需要和計(jì)算精度而定。然后，將各單元的節(jié)點(diǎn)物理量按一定方式組合到一起以代表整個(gè)結(jié)構(gòu)。這樣處理后，整個(gè)結(jié)構(gòu)上的微分方程可以用以有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上的物理量為未知數(shù)的代數(shù)方程來表示。用有限元分析計(jì)算所獲得的結(jié)果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲得的結(jié)果就與實(shí)際情況相符合。單元特性分析單元特性包括：單元中節(jié)點(diǎn)

9、的個(gè)數(shù)及位置，相關(guān)物理量在單元中的分布函數(shù)等。根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點(diǎn)數(shù)目、位置及其含義等：找出單元節(jié)點(diǎn)自由度和單元內(nèi)部二物理量變化的關(guān)系式，這是單元分析中的關(guān)鍵一步。此時(shí)需要應(yīng)用相關(guān)的力學(xué)理論的幾何和物理方程來建立相應(yīng)的方程式，從而導(dǎo)出所需的單元矩陣，這是有限元法的基本步驟之一。對于結(jié)構(gòu)分析，主要是應(yīng)變-位移關(guān)系、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系、應(yīng)變能方程等。=計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力，單元特性分析的另一個(gè)重要內(nèi)容是建立單元的外部"載荷"（包括單元之間的內(nèi)部"載荷"）與單元節(jié)點(diǎn)物理量之間的關(guān)系。物體離散化后，假定力是通過節(jié)點(diǎn)從一個(gè)單元傳遞到另一個(gè)單元。但是，對于實(shí)際

10、的連續(xù)體，力可以作用在單元的任意區(qū)域或位置（體積力、分布面力、集中力等），也可以在一個(gè)單元與相鄰單元的公共邊（線、面）之間進(jìn)行傳遞。因而，這種作用在單元上的表面力、體積力和集中力都需要等效的移到節(jié)點(diǎn)上去，也就是用等效的節(jié)點(diǎn)力來代替所有作用在單元上的力。（3）單元組集即由單元的有限元特性組裝整個(gè)結(jié)構(gòu)的相關(guān)方程。包括施加載荷和各種約束條件等。以結(jié)構(gòu)位移法為例，即是利用節(jié)點(diǎn)處力的平衡條件和邊界條件把各個(gè)單元按原來的結(jié)構(gòu)重新連接起來，形成以整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)物理量為未知數(shù)的有限元代數(shù)方程（4）求解未知節(jié)點(diǎn)位移可以根據(jù)方程組的具體特點(diǎn)來選擇合適的計(jì)算方法。（5）計(jì)算其它物理量在求得整個(gè)結(jié)構(gòu)的位移之后，可以根

11、據(jù)相應(yīng)單元所依據(jù)的的力學(xué)理論計(jì)算其它物理量，例如，一般彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變、梁的截面內(nèi)力（剪力、軸力、彎矩和扭矢I）、約束反力等。1 .加權(quán)殘值法根據(jù)權(quán)函數(shù)的選取不同，一般有以下幾種基本方法：1）最小二乘法，選取權(quán)函數(shù)為R/C2）配點(diǎn)法，選取狄拉克8函數(shù)作為權(quán)函數(shù)；3）子域法，將待求問題的整個(gè)區(qū)域V按任意方式劃分為N個(gè)子域Vi并定義此時(shí)的權(quán)函數(shù)為W=1（=0）為在V內(nèi)（部在V內(nèi)）；4）伽遼金法，權(quán)函數(shù)選取為試函數(shù)中的基函數(shù)；5）矩量法，權(quán)函數(shù)選取為）Xi（i=1,2,3.。2 .有限元法中整體剛度矩陣主要有以下特征：1）K中任一元素Kj的物理意義。當(dāng)Kj為非零元素時(shí)，若彈性體第j序號的自由度發(fā)生

12、單位位移，而其他自由度的位移均為零，則第i自由度必須有節(jié)點(diǎn)力Kj=Fi。對于主對角元素Ki其均為正值。2）K為對稱奇異矩陣。由于總剛度矩陣K是由各單元?jiǎng)偠染仃嚨呢暙I(xiàn)矩陣疊加生成，而單元?jiǎng)偠染仃囀菍ΨQ的奇異矩陣，因而疊加后的K也是對稱的和奇異的。3）K為帶狀稀疏矩陣。在K中只有相關(guān)節(jié)點(diǎn)的行和列上才有非零的元素，對于大量的互不相關(guān)節(jié)點(diǎn)，在K中所對應(yīng)的元素均為零。相對而言，K中非零的元素是稀疏的。非零元素將聚集在K的主對角線附近，并呈帶狀分布。3 .在采用計(jì)算機(jī)進(jìn)行梁的有限差分法數(shù)值計(jì)算中，程序設(shè)計(jì)中一般應(yīng)有1）基本參數(shù)數(shù)據(jù)輸入模塊，輸入諸如梁的長度、厚度、彈性模量、泊松比等，2）離散化，將梁劃分為若干個(gè)節(jié)