高數(shù)-chap3-2用微商研究函數(shù)1

1、概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回一、函數(shù)單調(diào)性的判定法一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 二、函數(shù)極值的檢驗(yàn)法二、函數(shù)極值的檢驗(yàn)法3.2 用微商研究函數(shù) 第三章第三章 三、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)三、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)四、函數(shù)的作圖四、函數(shù)的作圖概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回一、一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法定理定理 1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf( )0fx 則則 在在 I 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增)(xf( )0) ,fx (遞減遞減)在在區(qū)間在在區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),若若1.定義定義(略略)2.判定定理判定定理xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)

2、結(jié)束返回定理定理 1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf則則 在在 I 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增)(xf(遞減遞減)證證: 不妨設(shè)不妨設(shè)( )0,fx任取任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0 故故12()().f xfx 這說(shuō)明這說(shuō)明 在在 I 內(nèi)單調(diào)遞增內(nèi)單調(diào)遞增.)(xf在區(qū)間在區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),若若2.判定定理判定定理( )0fx ( )0) ,fx 概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回2.判定定理判定定理注注:1是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)的充分是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)的充分條件，并非必要函數(shù)單調(diào)增條件，并非必要函數(shù)單調(diào)增(減減)可能在

3、個(gè)別點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)可能在個(gè)別點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在不存在.如如13( )f xx 在在(-,+)上遞增但上遞增但(0)f 不存在不存在.注注:2函數(shù)單增與單減的分界點(diǎn)只能是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或函數(shù)單增與單減的分界點(diǎn)只能是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或f(x) 無(wú)意義的點(diǎn)無(wú)意義的點(diǎn). 它們將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)它們將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間.定理定理 1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf則則 在在 I 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增)(xf(遞減遞減)在區(qū)間在區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),若若( )0fx ( )0) ,fx ( )0fx ( )0),f x 概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回例例1. 確定函數(shù)確定函數(shù)31292)(23xxxxf

4、的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令令,0)( xf得得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故故)(xf的的單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為區(qū)間為, ) 1,();,2()(xf的的單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為區(qū)間為).2,1 (或或(,1,2,);或或1, 2.概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回例例2. 確定函數(shù)確定函數(shù)232( )(4)f xx的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.解解:1324( )3(4)xfxx令令,0)( xf得得0;x x)(xf )(xf(,2) 002( 2, 0)(0, 2)0234故故)(xf的的單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為區(qū)間為:)(x

5、f的的單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為區(qū)間為:( )fx 在在x=2處無(wú)意義處無(wú)意義.2(2,)0概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回例例3. 證明：證明：0 x 時(shí)時(shí), 1.xex 證證: 令令( )1,.xf xex xR ( )1xfxe0 x ( )0,fx( )0,f x 總之總之x0時(shí)時(shí),時(shí),( ) ,f x 0 x ( )0,fx時(shí),( ) ,f x ( )(0)0f xf( )(0)0f xf即1.xex 概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回二、函數(shù)極值的檢驗(yàn)法二、函數(shù)極值的檢驗(yàn)法1.定義定義:0( )(),f xf x (1) 則稱則稱 為為 的的極大點(diǎn)極大點(diǎn) ,0 x)(xf稱稱 為函數(shù)的為函數(shù)的極大值

6、極大值 ;)(0 xf0( )(),f xf x (2) 則稱則稱 為為 的的極小點(diǎn)極小點(diǎn) ,0 x)(xf極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn) .極大值與極小值統(tǒng)稱為極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值 .設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) 在在 x0 的某領(lǐng)域內(nèi)的某領(lǐng)域內(nèi)U(x0 ) 有定義有定義,0()xU x 有有,若若稱稱 為函數(shù)的為函數(shù)的極小值極小值 ;)(0 xf概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回例例4. 求函數(shù)求函數(shù)31292)(23xxxxf的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令令,0)( xf得得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2

7、,1 (),2(21故故)(xf的的單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為區(qū)間為, ) 1,();,2()(xf的的單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為區(qū)間為).2,1 (或或(,1,2,);或或1, 2.的極值的極值極大值極大值極小值極小值2) 1 (f1)2(f極小值極小值: 極大值極大值:概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回定理定理 2 (極值第一充分條件極值第一充分條件)0()U x且在空心鄰域且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù)內(nèi)有導(dǎo)數(shù),0時(shí)由小到大通過(guò)當(dāng)xx(1) )(xf “左左正正右右負(fù)負(fù)” ,;)(0取極小值在則xxf(2) )(xf “左左負(fù)負(fù)右右正正” ,.)(0取極大值在則xxf2.極值的必要條件極值的必要條件定理定理 1 (極值

8、的必要條件極值的必要條件)0()f x若若是函數(shù)是函數(shù)f(x)的極值的極值,則則0()0fx或或0()fx不存在不存在.3.極值的充分條件極值的充分條件證明證明(略略)(3) )(xf “不變號(hào)不變號(hào)” ,0()f x則則不是極值不是極值設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在在上連續(xù)上連續(xù),00()U x概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回例例5. 求函數(shù)求函數(shù)32) 1()(xxxf的極值的極值 .解解:1) 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求極值可疑點(diǎn)（駐點(diǎn)或求極值可疑點(diǎn)（駐點(diǎn)或f(x) 無(wú)意義的點(diǎn)）無(wú)意義的點(diǎn)）令令,0)( xf得得;521x3) 列表判別極值點(diǎn)的情況列表判別極

9、值點(diǎn)的情況x)(xf )(xf05200)0,(),0(52),(52極大值為極大值為:0)0(f極小值為極小值為:23322555( )( ) .f 233255( )極大值極大值極小值極小值( )fx在在x=0無(wú)意義無(wú)意義.概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回定理定理3 (極值第二充分條件極值第二充分條件)二階二階 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) , 且且處具有在點(diǎn)設(shè)函數(shù)0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 取極大值取極大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 取極小值取極小值 .)(xf0 x證證: (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfx

10、fxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在存在0(, ),U x 0(, ),xU x 0)(0 xxxf時(shí)，故當(dāng)00 xxx;0)( xf時(shí)，當(dāng)00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判別法知由第一判別法知.)(0取極大值在xxf(2) 類似可證類似可證 .有有概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回例例6. 求函數(shù)求函數(shù)1) 1()(32 xxf的極值的極值 . 解解: 1) 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù),) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn)令令,0)( xf得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)1,0, 1321xxx3) 判別判別因因,06)0( f故故 為極小值為極小

11、值 ;0)0(f又又,0) 1 () 1( ff故需用第一判別法判別故需用第一判別法判別.,1)(左右鄰域內(nèi)不變號(hào)在由于xxf.1)(沒(méi)有極值在xxf概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回極值的判別法極值的判別法( 定理定理2 , 定理定理3) 都是充分的都是充分的. 說(shuō)明說(shuō)明:當(dāng)這些充分條件不滿足時(shí)當(dāng)這些充分條件不滿足時(shí), 不等于極值不存在不等于極值不存在 .,0( )1,0,0 xxf xxxx另外另外1,0( )xfx 1,0 x 0 x 不可導(dǎo)不可導(dǎo),由極值的第一充分條件得由極值的第一充分條件得,(0)1f為極小值為極小值.實(shí)際上實(shí)際上(0)1f為極大值為極大值.xy。（）局部最大概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)

12、計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回三、曲線的凹凸與拐點(diǎn)三、曲線的凹凸與拐點(diǎn)1 定義定義 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf是區(qū)間是區(qū)間 (a,b) 上可微上可微 函數(shù)函數(shù),如果曲線如果曲線( )yf x位于此曲線每一點(diǎn)切線的位于此曲線每一點(diǎn)切線的上上 方，則稱曲線方，則稱曲線( )yf x在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)是內(nèi)是向下凸向下凸的。的。(下下)（向上凸的）（向上凸的）凹的凹的凸的凸的xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA凹的凹的凸的凸的概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回定義定義 2. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間 I 上連續(xù)上連續(xù) ,21Ixx(1) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱則

13、稱的)(xf圖形是圖形是凹的凹的;xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA凹的凹的凸的凸的1212xxxx1212xxxx(2) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱則稱的)(xf圖形是圖形是凸的凸的 .概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回定義：定義：點(diǎn)點(diǎn)M是連續(xù)曲線是連續(xù)曲線yf(x)上的凹凸分界點(diǎn)，且過(guò)上的凹凸分界點(diǎn)，且過(guò)M的切線與曲線相交成十字形，點(diǎn)的切線與曲線相交成十字形，點(diǎn)M稱為稱為拐點(diǎn)拐點(diǎn) .yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyox定理（拐點(diǎn)的必要條件）：定理（拐點(diǎn)的必要條件）：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0處有連續(xù)的處有連續(xù)的二階微商，若點(diǎn)二階

14、微商，若點(diǎn) (x0, f(x0)是拐點(diǎn)，則是拐點(diǎn)，則 f (x0)=0f (x) 在在M可導(dǎo)或?qū)?shù)為無(wú)窮可導(dǎo)或?qū)?shù)為無(wú)窮概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回2. 凹凸判定法凹凸判定法:)(xf(1) 在在 I 內(nèi)內(nèi),0)( xf則則 在在 I 上圖形是凹的上圖形是凹的 ;)(xf(2) 在在 I 內(nèi)內(nèi),0)( xf則則 在在 I 上圖形是凸的上圖形是凸的 .)(xf在區(qū)間在區(qū)間I 上二階可導(dǎo)上二階可導(dǎo)說(shuō)明說(shuō)明:1) 若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為 0 ,則曲線的凹凸性不變則曲線的凹凸性不變 .在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào)在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),2) 根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,

15、可得可得拐點(diǎn)的判別法拐點(diǎn)的判別法如下如下:若曲線若曲線)(xfy 00(,),xy在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)0)(0 xf或不存在或不存在,但但)(xf 在在 兩側(cè)兩側(cè)異號(hào)異號(hào),0 x則點(diǎn)則點(diǎn)00(,)xy是曲線是曲線)(xfy 的一個(gè)拐點(diǎn)的一個(gè)拐點(diǎn).概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回例例7. 求曲線求曲線23(1)yxx凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)凹凸區(qū)間與拐點(diǎn). 解解:1352,3xyx 432(51)9xyx xy y1515(,) 15(,0)0因此曲線因此曲線凹區(qū)間為凹區(qū)間為 :凸凸凹凹0( 0,)凹凹拐點(diǎn)拐點(diǎn)23(1)yxx15,0,0,).凸區(qū)間為凸區(qū)間為 :15(,. 拐點(diǎn)為拐點(diǎn)為:61135525(,).

16、兩區(qū)間不兩區(qū)間不要合并要合并!概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回四、函數(shù)圖形的描繪四、函數(shù)圖形的描繪步驟步驟 :1. 確定函數(shù)確定函數(shù))(xfy 的定義域的定義域 ,2. 求求, )(, )(xfxf 并求出并求出)(xf 及及)(xf 3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點(diǎn)求出極值和拐點(diǎn) ;4. 求漸近線求漸近線 ;5. 作圖作圖為為 0 和不存在的點(diǎn)和不存在的點(diǎn) ;并考察其對(duì)稱性及周期性并考察其對(duì)稱性及周期性 ;(2) 畫出漸近線畫出漸近線(3)描點(diǎn)描點(diǎn):首先是表中的特殊點(diǎn)首先是表中的特殊點(diǎn)(4)結(jié)合單調(diào)性與凹凸性及漸近線分段連線作圖結(jié)合單調(diào)性與凹凸性及漸近線分段

17、連線作圖(必要時(shí)補(bǔ)充一些關(guān)鍵點(diǎn)必要時(shí)補(bǔ)充一些關(guān)鍵點(diǎn))(1)畫出坐標(biāo)系畫出坐標(biāo)系(適當(dāng)確定兩軸的單位適當(dāng)確定兩軸的單位)概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回若若lim( ),xf xb則曲線則曲線)(xfy 有水平漸近線有水平漸近線.by (,)xx 或若若0lim( ),xxf x 則曲線則曲線)(xfy 有鉛直漸近線有鉛直漸近線.0 xx 00(,)xxxx或或斜漸近線斜漸近線有則曲線)(xfy 斜漸近線斜漸近線(0).ykxb k(,)xx或或若若lim ( )0,xf x)(bxk ( )limxf xkxlim ( )xbf xkx(,)xx或或(,)xx 或或水平與鉛直漸近線水平與鉛直漸近線

18、概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回例例8. 描繪描繪22331xxy的圖形的圖形.解解: 1) 定義域?yàn)槎x域?yàn)? ),(無(wú)對(duì)稱性及周期性無(wú)對(duì)稱性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(極大極大)(拐點(diǎn)）拐點(diǎn)）32(極小極小)4)01231無(wú)漸近線無(wú)漸近線,補(bǔ)充點(diǎn)補(bǔ)充點(diǎn)(-1,2/3)、(3,2)5)描點(diǎn)作圖描點(diǎn)作圖概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回例例9. 描繪函數(shù)描繪函數(shù)21y22xe的圖形的圖形. 解解: 1) 定義域?yàn)槎x域?yàn)? ),(圖形對(duì)稱于圖形對(duì)稱于 y 軸軸.2) y21,22xex y2122xe)1 (2x得令0 y;0 x得令0 y1x2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (3)(極大極大)(拐點(diǎn)拐點(diǎn))概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)下頁(yè)結(jié)束返回0limyx0y為水平漸近線為水平漸近線5) 作圖作圖4) 求漸近線求漸近線2221xeyxyoB122100 xyy y10) 1,0(), 1 (極大極大)(拐點(diǎn)拐點(diǎn))概率統(tǒng)計(jì)概率