由兩道高考解幾題引出的反思

1、由兩道高考解幾題引出的反思 廣東省順德一中 李 堂 以下兩道高考解析幾何題給人的感覺平易近人，樸實(shí)無華，卻又峰回路轉(zhuǎn)，透出新課標(biāo)的理念：知識與技能、過程與方法、態(tài)度情感價(jià)值觀。本文試圖通過對其解題過程的分析，反思我們的教學(xué)。1、試題分析1.1案例呈現(xiàn) 案例1.設(shè)雙曲線C：-y2 =1（a>0）與直線L：X+y=1相交于兩個不同的點(diǎn)A、B（1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍，（2）設(shè)直線 L與y軸的交點(diǎn)為P，且=，求a的值。 解：（1）由C與L相交于兩個不同的點(diǎn)，可知方程組 -y2 =1（1）X+y=1 （2） 有兩個不同的實(shí)數(shù)解，將（2）代入（1）得 （1-a2）x2+2a2x-2a2=

2、0 （3） 從而方程（3）有兩個不同的解，所以 1-a2 0且=4a4+8a2(1-a2 )>0 得 0<a<且a1而離心率e=由0<a<且a1得>且1從而e>且e 即e,)(,+)（2）設(shè)A(x1,y1) B(x2,y2),易知 P(0,1)= (x1,y1-1)=(x2,y2-1)得x1=x2 （4） 又x1，x2是方程（3）的根X1+X2=- (5) X1X2= (6)將(4)代入(5)(6)式得到X2= ，2消去2得a2 a>0, a案例2.設(shè)直線L與橢圓+=1相交于A,B兩點(diǎn)，L又與雙曲線x2-y2=1相交于C,D兩點(diǎn)，C,D三等分線段

3、AB，求直線L的方程解：C.D三等分線段，即=,=設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4)=(x3x1，y31)=（x4x3，y4y3）2x3=x1+x4 （1）=（x4x3y4y3）（x2x4，y2y4） 2x4=x2+x3 （2）（1）+（2）得x3+x4=x1+x2 設(shè)L：y=kx+m由 +=1y = kx + m消去y整理得：（16+25k2）x2+50mkx+25m2400=0 （3）A，B是L與橢圓的交點(diǎn)，x1，x2是方程（3）的解x1+x2= (4)由 x2y2=1 y=kx+m消去y整理得（1k2）x22mkxm21=0 （5）同理 得x3

4、+x4= (6)x1+x2=x3+x4 得0 或k=0（1）若k=0則方程（3）化為16x2+25m2400=0得X1= X2=方程（5）化為：x2m21=0 得x3=，x4= 2x3=x1+x4 -2=-+得m=（2）m=0時方程(3)化為(16+25k2)x2=400得x1= x2=方程（5）化為（1-k2）x2=1得x3= x4=2x3=x1+x4 -得k=L垂直于X軸時，設(shè)L：x=b代入橢圓方程得y1，2=代入雙曲線方程得y3.4=由2y3=y1+y4 得 b=綜上所述直線L的方程為 y= 或y= 或x=1.2 案例分析現(xiàn)在來回顧一下兩個案例的思路探索過程。對案例1來說：條件為雙曲線與

5、直線有兩個交點(diǎn)，求離心率e的范圍?？床怀鰲l件與結(jié)論有何聯(lián)系。這時，這樣想：要求e的范圍（倒推分析），e應(yīng)該是變量，似乎應(yīng)得到e關(guān)于某個變量的函數(shù)（函數(shù)思想在作引導(dǎo)）,而e=（倒推不下去了，然而倒推分析的思維方法告訴我們，此時再看條件，與條件聯(lián)系起來，由條件順推），a為雙曲線方程中的系數(shù),至于c，根據(jù)雙曲線的關(guān)系式c2-a2=b2可得c=（用雙曲線方程的系數(shù)表達(dá)離心率應(yīng)是一個基本的，自動化的過程即基本技能。自然，若關(guān)系式c2-a2=b2記成a2-c2=b2，解題過程將破壞殆盡），于是e=（達(dá)到獲得函數(shù)的目標(biāo)）。這時要得到e的范圍，需要得到a的范圍（求函數(shù)值域的知識），a的范圍是什么？看條件，雙曲

6、線與直線有兩個不同的交點(diǎn)。直線與雙曲線的交點(diǎn)問題，是通過這個過程表達(dá)：方程組一元二次方程判別式，交點(diǎn)數(shù)目即方程的解的個數(shù)，可用判別式確定。（這一過程程序固定，在解析幾何中常用，應(yīng)作基本技能）從而可得a的范圍。 第（2）問增加向量相等條件，求a。這樣想：求未知數(shù)a應(yīng)得到關(guān)于a的方程（方程思想），而相等條件即等量關(guān)系，可用來獲得方程（方程的知識）。相等條件可具體表達(dá)為A，B的坐標(biāo)關(guān)系（向量坐標(biāo)運(yùn)算的知識），而A，B的坐標(biāo)又可通過韋達(dá)定理與雙曲線方程中的a聯(lián)系（由直線與曲線相交的方程組表達(dá)模式可知）。于是，關(guān)于a的方程可以形成，a可求。 在實(shí)現(xiàn)上述思路過程中會遇到障礙。其一、忘記方程（3）中的1a2

7、0（一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)非零規(guī)定在變系數(shù)問題中應(yīng)反復(fù)訓(xùn)練以形成模式，作為基本技能）。其二是在得出關(guān)系式（4）（5）（6）后做不下去，不知如何求a。這時，如果具備方程思想和目標(biāo)意識，視（4）（5）（6）為三元方程組，在解方程組的基本思想消元思想引導(dǎo)下，想到消去不需要的X1、X2，又用消元的基本方法代入消元法，逐步減少元的個數(shù)，從而可求得a 。 對案例2來說，求直線的方程即求直線方程的系數(shù)（倒推分析），從而需要建立關(guān)于系數(shù)的方程（方程的思想），這個想法指引著去尋找等量關(guān)系，這就注意三等分線段的條件，三等分線段如何表達(dá)？用向量關(guān)系，定比分點(diǎn)公式，還是線段長度關(guān)系表達(dá)？（這是個基本技能問題，也是個

8、思維塊問題，若此基本技能熟練的話，就會作出用向量表達(dá)的選擇）。如何具體表達(dá)呢？有如上面解答中表成=且=，也可表成=且=3或其它，但若僅表成=3就有問題了（等價(jià)思想告訴我們此式與“三等分線段”不等價(jià)），得到坐標(biāo)關(guān)系式（1）（2）后，再用解決直線與曲線交點(diǎn)問題的方程組模式得出根與系數(shù)的關(guān)系（4）（6）式，在方程的思想引導(dǎo)下，消去x1、x2、x3、x4得到關(guān)于m、k的方程，這就需要將（1）（2）與（4）（6）式中的x1+x2與x3+x4形式比較，對（1）（2）式用“湊”的思想，結(jié)合成（4）（6）的形式。此題的解答過程有四處難關(guān)，其一是三等分線段表達(dá)的選擇，其二是（1）（2）（4）（6）式的結(jié)合，其三

9、是得出m=0或k=0后，不知所措。此時，若具有等價(jià)思想從而對推出m=0或k=0的過程作等價(jià)性分析：m=0或k=0僅是三等分線段的必要條件。因此需要代入方程求解再檢驗(yàn)。其四，解題過程“長”,運(yùn)算量大，需要良好的運(yùn)算能力及熟練的基本技能。還有一點(diǎn)是易遺漏所求直線垂直于x軸的考慮，對直線方程四種形式的表達(dá)范圍，學(xué)生都會清楚，但使用起來，往往疏忽，這就應(yīng)將此作為基本技能，使其應(yīng)用時程序化。2、對教學(xué)的反思通過如上解讀，我們可以領(lǐng)會到以能力立意，既考查知識，又注重能力考查的高考試題的具體內(nèi)涵。 知識、能力 、創(chuàng)新意識是我們教學(xué)的目標(biāo)。章建躍先生說過：“在解決數(shù)學(xué)問題中體現(xiàn)出來的能力，其實(shí)質(zhì)是能根據(jù)問題情

10、景重組已有數(shù)學(xué)知識，能正確、迅速地檢索、選擇和提取相關(guān)數(shù)學(xué)知識并及時轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)牟僮鞒绦?，從而使問題從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槟繕?biāo)狀態(tài)，”由此可見，解題能力表現(xiàn)為“重組已有數(shù)學(xué)知識”，就是說既要具備知識基礎(chǔ)又會對知識進(jìn)行“重組”。如何重組？這就需要思維方法、思維習(xí)慣和思想方法。而要“正確、迅速”似乎應(yīng)有熟練的基本技能和良好的思維習(xí)慣，“選擇、提取、轉(zhuǎn)化”應(yīng)是運(yùn)用思想方法和思維方法的表現(xiàn)。從以上解題順利完成所需要的要素分析來看，也證實(shí)了上述看法。因此，在我們的教學(xué)過程中應(yīng)從知識、基本技能、思想方法上著力。 2.1 應(yīng)構(gòu)建有機(jī)的知識結(jié)構(gòu) 知識是能力的基礎(chǔ)。知識是發(fā)展能力的基礎(chǔ)，也是能力表達(dá)的基礎(chǔ)。在上述案例

11、1中，若忘記a、b、c的關(guān)系，很難設(shè)想能求出e的范圍。有媒體稱某大數(shù)學(xué)家解不出中學(xué)生請教的奧數(shù)題，實(shí)不為奇。 而要能正確、迅速地檢索、選擇和提取相關(guān)數(shù)學(xué)知識，其前提是具備良好的知識結(jié)構(gòu)。因此，對概念、定理、公式等基礎(chǔ)知識要準(zhǔn)確理解，既要理解概念、定理、公式本身又要理解與其它知識的聯(lián)系。教師要充分認(rèn)識到學(xué)生對知識的理解過程是以自己的經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)新知識的過程。教學(xué)中，對新知識的學(xué)習(xí)要以學(xué)生的認(rèn)知水平為基礎(chǔ)，以適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)形式，幫助學(xué)生同化、順應(yīng)新知，以形成知識結(jié)構(gòu)。這種適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)形式，可以是以舊引新，按照數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的自身擴(kuò)張?zhí)攸c(diǎn)，在舊知基礎(chǔ)上，設(shè)置問題，引出新知從而顯示知識間的聯(lián)系、傳承和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，易

12、于知識的系統(tǒng)化理解。也可以是以生活實(shí)踐例子創(chuàng)設(shè)情境，給學(xué)生以豐富生動的形象感知，調(diào)動學(xué)習(xí)興趣和生活經(jīng)驗(yàn)，為知識建構(gòu)鋪路，又感受數(shù)學(xué)知識的具體、生動、親和性，體會數(shù)學(xué)知識的抽象過程。還可以是以學(xué)習(xí)中解決問題時遇到的矛盾為源泉，設(shè)置矛盾沖突，引起懸念，從而在解決矛盾過程中產(chǎn)生新知。 要認(rèn)識到知識理解的階段性。如一元二次方程的韋達(dá)定理，初學(xué)時直接應(yīng)用沒什么問題，但在處理雙曲線的中點(diǎn)弦問題時，會出現(xiàn)用韋達(dá)定理可求出弦所在直線的斜率，但實(shí)際滿足條件的直線不存在這樣的情況，這就需要在此時讓學(xué)生明白其中的道理。 要認(rèn)識到知識理解的層次性。對知識的理解有感性層面的，有孤立層面的，有系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)層面的。對一些重要

13、的核心基本知識要注意縱橫聯(lián)系，結(jié)成知識網(wǎng)絡(luò)，形成有機(jī)的知識結(jié)構(gòu) 。 教學(xué)中，對概念、定理等知識說文解字式的解讀教學(xué)方法難以使學(xué)生對知識獲得有效的理解。2.2應(yīng)形成熟練的基本技能 “技能的熟練使知識的運(yùn)用不再是孤立的，而是成塊的，可以使思維清晰、準(zhǔn)確、快捷、高效，特別是基本技能的熟練達(dá)到自動化階段，即技巧性技能階段時，就可以把時間和注意力更集中于思考問題的本質(zhì)”（2），由此可見熟練的技能對解題的影響。那么，什么是技能呢？張孝達(dá)先生指出：“數(shù)學(xué)技能是可以按照一定步驟來進(jìn)行的簡單運(yùn)算，基本作圖和畫圖，簡單推理，以及用數(shù)學(xué)符號、語言來表達(dá)的簡單的數(shù)學(xué)事實(shí)”。潘菽主編的教育心理學(xué)稱“技能是順利完成某種任

14、務(wù)的一種活動方式或心智活動方式，它是通過練習(xí)獲得的”。曹才翰先生在他的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論中舉例說“學(xué)生懂得換元法，是知識，學(xué)生掌握換元法的步驟和過程（從活動的性質(zhì)和特點(diǎn)來分析的）是技能；但是判斷什么時候使用換元法，在元不明顯時怎樣構(gòu)造元，則是能力了”。作為基本技能，還應(yīng)具有另一特征，即在解題活動的一定范圍內(nèi)，使用的頻率較高。 據(jù)此，分析上面的解題過程可知：直線與二次曲線的交點(diǎn)數(shù)目用方程的解的數(shù)目繼而用一元方程的解的數(shù)目及判別式判斷，這一過程程序清晰，確定，而且在圓錐曲線問題中大量應(yīng)用，應(yīng)是基本技能。一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)的“非零”規(guī)定，經(jīng)常在相關(guān)問題中應(yīng)用而且常常被學(xué)生忽視也應(yīng)作為基本技能。明

15、白熟練的基本技能對解題活動的影響的意義并不困難，困難而且重要的是如何確定教學(xué)中的基本技能。基本技能不象概念、定理、公式等知識那樣明顯，需要教師按照教學(xué)大綱的要求，在大量解題活動中通過細(xì)心的分析、概括后領(lǐng)會而得出。因此，教師的一項(xiàng)重要工作是確定各教學(xué)單元的基本技能。另一個重要問題就是如何讓學(xué)生獲得熟練的基本技能。由心理學(xué)的“技能”概念可知，技能 是通過練習(xí)獲得的，這就指明了技能獲得的途徑。然而，大量而盲目的練習(xí)是不可取的，它可能會扼殺學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造力。技能的訓(xùn)練貴在一個“效率”，訓(xùn)練 的次數(shù)、訓(xùn)練的過程都需要考慮。筆者以為變式訓(xùn)練是一種有效的方法。2.3應(yīng)領(lǐng)會基本的思想方法 數(shù)學(xué)思想方法是

16、數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括。數(shù)學(xué)思想方法有三個層面：一個層面是帶普遍意義的思想觀點(diǎn)。如數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想、函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想、坐標(biāo)法的思想、根限思想、公理化思想等，它對問題的解決有導(dǎo)向和護(hù)航作用。第二個層面是一般的思維方法和一般解題的思維方法。一般思維方法如分析、綜合、歸納、演繹、類比、聯(lián)想、猜想、推廣、限定等，它形成人的良好的理性思維習(xí)慣，優(yōu)化思考問題的思維方式。一般策略性解題思維方法如模式識別、映射化歸、差異分析、分合并用、進(jìn)退互化、動靜轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合，以美啟真、倒推分析 等，能提高解題思路的探尋水平。 第三個層面是具體解題方法。它可分為如換元法、待定系數(shù)法、割補(bǔ)法、反證法之類的解題的基本方法與解決某類具體問題的方法如二次式問題的配方法，找二面角的平面角的定義法、三垂線定理法。 具體的解題方法的運(yùn)用“看得見，模得著”，學(xué)生易于即時接受。 三個層面的思想方法的抽象性由高到低，適應(yīng)面由寬到窄，可接受性由難到易。第一、二個層面的思想方法的領(lǐng)會具有長期性。而能力要求高的問題的解決順利成功與否與第一、二個層面的思想方法的領(lǐng)會與自覺運(yùn)用水平直接相關(guān)。從前述的案例分析中可以看到，如果缺乏一般思想方法和思維方法，解題思路的切入點(diǎn)、整體走向、過程中的“關(guān)卡”突破將無法獲得。 因此，讓學(xué)生領(lǐng)會乃至自覺運(yùn)用基本的思想方