特殊行列式與行列式計(jì)算方法總結(jié)

1、特殊行列式及行列式計(jì)算方法總結(jié)幾類特殊行列式1. 上（下）三角行列式、對(duì)角行列式（教材 P7例5、例6）2. 以副對(duì)角線為標(biāo)準(zhǔn)的行列式a11a12La1na21a22L0MMMMann000n(n 1)(1) 2弘&2丄ani00L0a1n00La2,n 1a2nMMMMM0an 1,2Lan 1, n 1an 1,nan1an2Lan ,n 1ann0L0a1n0La2,n 100N00an1L003. 分塊行列式（教材P14例10）般化結(jié)果:°m n°n mBm0n mAnCn mAiBmCm nBm0m nBmm n(1)mn AnBm4.范德蒙行列式（教材P

2、18例12）注：4種特殊行列式的結(jié)果需牢記！以下幾種行列式的特殊解法必須熟練掌握！ !！二、低階行列式計(jì)算二階、三階行列式一一對(duì)角線法則（教材P2、P3）三、高階行列式的計(jì)算【五種解題方法】1）利用行列式定義直接計(jì)算特殊行列式；2）利用行列式的性質(zhì)將高階行列式化成已知結(jié)果的特殊行列式;3）利用行列式的行（列）擴(kuò)展定理以及行列式的性質(zhì)，將行列式降階進(jìn)行計(jì)算適用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代數(shù)余子式很容易計(jì)算；4）遞推法或數(shù)學(xué)歸納法;5）升階法（又稱加邊法）【常見(jiàn)的化簡(jiǎn)行列式的方法】1. 利用行列式定義直接計(jì)算特殊行列式例1（ 2001年考研題）00L01000L200M

3、MMMMM01999L00020000 L 00000 L 0 0 2001分析：該行列式的特點(diǎn)是每行每列只有一個(gè)元素,因此很容易聯(lián)想到直接利用行列式定義進(jìn)行計(jì)算解法一：定義法(1)(n 1，n 2，-，2,1，n)2001!z 八0 1 2 . 1999 0(1)2001!2001!解法二：行列式性質(zhì)法 利用行列式性質(zhì)2把最后一行依次與第n-1, n-2,2,1行交換（這里n=2001）,即進(jìn)行2000次換行以后，變成副對(duì)角行列式。(1)2001 102000000M19990L 0 0 2001L010L200MMMML000L0002001 (2001 1)(1 )2001 1( 1 )

4、 22001! 2001!解法三：分塊法00L01000L200M M M M M M01999L00020000L00000L002001利用分塊行列式的結(jié)果可以得到00L0100L202000(2000-1)D=2001MMMMM1=2001 (-1)22000!=2001！01999L0020000L00解法四：降階定理展開(kāi)按照每一行分別逐次展開(kāi)，此處不再詳細(xì)計(jì)算。2. 利用行列式的性質(zhì)將高階行列式化成已知結(jié)果的特殊行列式例2分析：該行列式的特點(diǎn)是1 a11111b1111b很多,可以通過(guò)口r2 和 r3來(lái)將行列式中的很多1化成0.解:aa0011001100 I11 a1111 a11

5、20a11abab00bb0011400111111 b1111 b0011 JD1ab10000110011b2b23 a3 a23a3afa afb2 afbs a：b4病a2b2Os tba4bfb3b：0)分析：該類行列式特點(diǎn)是每行特點(diǎn)與范德蒙行列a的次數(shù)遞減，b的次數(shù)增加。式相似，因此可以利用行列式的性質(zhì)將 D化成范德蒙行列式解:1(P)a1(與a1(當(dāng)a11(蜀a2（蜀2a2(蜀a21隹)a3(與a3世)a31(蟲)a4凸2a4凸a433 3 3a a? a3 a43333V(b,2 ,b3,bi)a a2a3a433 3 3a a?a3a4練習(xí):33 3 3a a?a3a4p)（

6、11-12年IT專業(yè)期末考試題）1 1 1若實(shí)數(shù)x, y,z各不相等，則矩陣Mx y z 的行列式|m| 2 2 2x y z3. 利用行列式的行（列）擴(kuò)展定理以及行列式的性質(zhì)，將行列式降階進(jìn)行計(jì)算Dn分析：該行列式特點(diǎn)是a處于主對(duì)角線,b在a后的一個(gè)位置，最后一行中b是第一個(gè)元素，a是最后一個(gè)元素解：按第一列展開(kāi)：ab0L00b0abL00z ,、11aba ( 1)LL(1)n 1 bOO000Laba b000L0aa (1)n 1b bn1n a(1)n 1bnaDn練習(xí)：（11-12年期中考試題）Dn4. 行（列）和相等的行列式Dna b M bLLML分析：該行列式的特點(diǎn)是主對(duì)角線

7、上元素為其余位置上都是b。可將第2,3，n列加到第1列上（類似題型:教材P12例 8, P27 8(2)解:LLLLL分析：該類行列式特點(diǎn)是第一行、第一列及主對(duì)角上元素不為0,其余位置都為1bLb1bLb1aLb1a bL0MMMMq a (n 1)bMMMM1bLa10La bDn a (n 1)ba （n 1）b（a b）n 0L05. 箭頭形（爪行）行列式0.解此類行列式方法，是將行列式化成上三角行列式。2,3,n列分別乘解：分別從第2,3,n列提出因子2,3，n,然后將第 以-1，再加到第1列上。111n 11110LL23ni 2 i23n110L0010L0n 1D n!n!n!(

8、-)101L0001L0i 2iLLLL100L1000L1注：爪形行列式非常重要，很多看似復(fù)雜的行列式通過(guò)簡(jiǎn)單變化以后都可以化成爪形行列式進(jìn)行計(jì)算！練習(xí)：1) 教材習(xí)題P28: 8(6)2）（ 11-12年期末考試題）(n 1) n0000La00aa 23 L2 a0L3 0aLLn 100Ln00L3）（ 11-12年IT期末考試題）xa1a2x10x02X1a1a2X2a3a3LLDqa2X3LLLa1a2a3LXnan分析：該類行列式特點(diǎn)是每一行只有主對(duì)角線上的元素與第一個(gè)元素不同 解:X1a2a3Lana1x1X2a?0L0Da1x10X3 a3L0LLa1x100LXna(Xi

9、aj(X2 a2)L (x.an)XiX1aix2a2X3a3Xnan100 L 1aia2i 1 XiaiX2a?Xn an(Xi ai)(X2 a2)L (Xnan)01LMMM00Lnn(Xi ai)1i 1i 1 Xiai6. 遞推法或數(shù)學(xué)歸納法該方法用于行列式結(jié)構(gòu)具有一定的對(duì)稱性，教材P15例11就是遞推法的經(jīng)典例題。利用同樣的方法可以計(jì)算教材 P27 87. 升階法通常計(jì)算行列式都采用降階的方法， 是行列式從高階降到低階，但是對(duì)于某些行 列式，可以通過(guò)加上一行或一列使得行列式變成特殊行列式，再進(jìn)行計(jì)算 例 8 (教材 P28 8(6)1+a1111+a2LL11Dn =MMMM11

10、L1+a(a 0)分析：該題有很多解法，這里重點(diǎn)介紹升階法。因?yàn)樾辛惺街杏泻芏?,因此可以增加一行1,使得行列式變成比較特殊或者好處理的行列式。注意：行列式是 方形的，因此在增加一行以后還要增加一列， 以保持行列式的形狀。為了使行列 式的值不改變，因此增加的列為1,0,0,0.111L1111L1定理301+a11L1ri-口-1a10L0n 1= a1a2.an(1+)Dn =011+a2L1=-10a2L0MMMMMMMMMMi=1 ai011L1+an-100Lan例9 （教材P27 6）1111D=a2 a4 abb2b4c d2,2cd4,4cd分析：此行列式可以應(yīng)用性質(zhì)6將行列式化為上三角行列式，也可以對(duì)比范德蒙 行列式的形式，通過(guò)添加一行和一列把行列式變成范德蒙行列式以后再進(jìn)行計(jì) 算。解法114 a2$ a。0baD2 a10b(ba)0,2,22、b (ba )按第一列=開(kāi)（b11cadac(ca)d(da)2 / 22、,2,22、c (ca )d (da )a)(c a)(d1 1a) bc2 2 b (b a) c (c a)d 2(d a)(b a)(c a)(dc3°la) bb2(b a)2 2 2c (c a) b (b a) d (dd b2a) b (b a)按第一行展開(kāi)(b a)(c a)(d a)c2(cc ba) b2(ba)d2