2019屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)--解析幾何--圓錐曲線中的最值、范圍、證明問(wèn)題帶答案

1、2019屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解析幾何一圓錐曲線中的最值、范圍、證明問(wèn)題(帶答案)第16講圓錐曲線中的最值、范圍、證明問(wèn)題1.2018?全國(guó)卷I設(shè)橢圓C:+y2=1的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：/OMA=OMB.試做2.2016?全國(guó)卷H已知橢圓E:+=1的焦點(diǎn)在x軸上,A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上,MAJ_NA.(1)當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時(shí)，求AAMN的面積;(2)當(dāng)21AM|=|AN|時(shí)，求k的取值范圍.試做3.2013?全國(guó)卷H平面直

2、角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓M:+=1(a>b>0)右焦點(diǎn)的直線x+y-=0交M于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為.(1)求M的方程；(2)C,D為M上兩點(diǎn)，若四邊形ACBD勺對(duì)角線CDLAB,求四邊形ACB畫積的最大值.試做命題角度圓錐曲線中的證明、范圍與最值問(wèn)題(1)解析幾何證明題綜合性較強(qiáng)，一般涉及位置關(guān)系、范圍、定值、定點(diǎn)等，常用方法為：證明兩直線平行或垂直的方法：a.若兩直線的斜率均存在且兩直線不重合，則一定有l(wèi)1IIl2?k1=k2;b.若兩直線斜率均存在，則一定有l(wèi)1H2?k1?k2=-1.解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的證明問(wèn)題，其常規(guī)思路是先把直線方程與圓錐曲線

3、方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn),得到一元二次方程，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程(組)，解決問(wèn)題.(2)求解范圍問(wèn)題的常見(jiàn)方法：利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的值域求范圍.(3)求圓錐曲線面積的最值問(wèn)題的方法：轉(zhuǎn)化為面積與某參量的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值；得到關(guān)于面積的關(guān)系式后，利用基本不等式或求導(dǎo)求最值；結(jié)合圓錐曲線的幾何性質(zhì)求最值.解答1最值問(wèn)題1已知P為橢圓C:+=1長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直

4、線l與C交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)M在第一象限，且3+=0.(1)若點(diǎn)N為C的下頂點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOMN勺面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).聽(tīng)課筆記【考場(chǎng)點(diǎn)撥】求圓錐曲線中三角形面積的最值的關(guān)鍵：(1)公式意識(shí)，把求三角形的面積轉(zhuǎn)化為求距離、求角等；(2)方程思想，即引入?yún)?shù),尋找關(guān)于參數(shù)的方程；(3)不等式意識(shí)，尋找關(guān)于參數(shù)的不等式，利用基本不等式等求最值.【自我檢測(cè)】已知拋物線C:y=-x2,點(diǎn)A,B在拋物線上，且橫坐標(biāo)分別為-,點(diǎn)P在曲線段AB上(不包括點(diǎn)A,B),過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.(1)求直線AP的斜率k的取值范圍；(2)求|PA|?|PQ|的最大值.解答2

5、范圍問(wèn)題2已知橢圓E:+=1(a>b>0)的焦距為2c,且b=c,圓O:x2+y2=r2(r>0)與x軸交于點(diǎn)M,N,P為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)，|PM|+|PN|=2a,PMN®積的最大值為.(1)求圓O與橢圓E的方程；(2)設(shè)圓O的切線l交橢圓E于點(diǎn)A,B,求|AB|的取值范圍.聽(tīng)課筆記【考場(chǎng)點(diǎn)撥】圓錐曲線的范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系或不等關(guān)系或已知參數(shù)與新參數(shù)之間的等量關(guān)系等，則可利用這些關(guān)系去求參數(shù)的范圍.【自我檢測(cè)】已知拋物線y

6、2=4x的焦點(diǎn)為F,zABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且+=.(1)求B,C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積；(2)設(shè)入=?,求入的取值范圍.解答3證明問(wèn)題3已知橢圓G:+=1的左焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,離心率為e,點(diǎn)M(t,0)(t<-2)滿足條件=e.(1)求實(shí)數(shù)t的值;設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓G交于P,Q兩點(diǎn)，記AMP林口zMQF勺面積分別為S1,S2,證明：=.聽(tīng)課筆記【考場(chǎng)點(diǎn)撥】圓錐曲線的證明問(wèn)題，常表現(xiàn)為證明相等、定值、過(guò)定點(diǎn)、點(diǎn)在曲線上等，一般是以直線與圓錐曲線為載體，綜合使用圓錐曲線的性質(zhì)及位置關(guān)系進(jìn)行論證.【自我檢測(cè)】已知點(diǎn)A是拋物線C:x2=2py上一點(diǎn)，且A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為.(1

7、)求拋物線C的方程；(2)若P是C上一動(dòng)點(diǎn)，且P不在直線l:y=2x+9y0上,l交C于A,F兩點(diǎn)，過(guò)P作直線垂直于x軸且交l于點(diǎn)M,過(guò)P作l的垂線，垂足為N,證明：二|AF|.第16講圓錐曲線中的最值、范圍、證明問(wèn)題典型真題研析1.解:(1)由已知得F(1,0),l的方程為x=1.由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,或1,-,所以AM的方程為y=-x+或y=x-.(2)證明：當(dāng)l與x軸重合時(shí),/OMA=OMB=0.當(dāng)l與x軸垂直時(shí),OM為AB的垂直平分線，所以/OMA=OMB,當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k30),A(x1,y1),B(x2,y2),則x1<,x2

8、<,直線MA,MB勺斜率之和為kMA+kMB=+.由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=.將y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=,x1x2=,貝U2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=0,從而kMA+kMB=0,故直線MA,MB勺傾斜角互補(bǔ)，所以/OMA=OMB.綜上，/OMA=OMB.2.解:(1)設(shè)M(x1,y1),則由題意知y1>0,當(dāng)t=4時(shí)，橢圓E的方程為+=1,A(-2,0),由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線AM的傾斜角為，因此直線AM的方程為y=x+2,將x=y-2代入+=1得7y2-12y=0,

9、解得y=0或y=,所以y1=.因此4AMN勺面積$AMN=2XX=.(2)由題意知t>3,k>0,A(-,0).將直線AM的方程y=k(x+)代入+=1得(3+tk2)x2+2?tk2x+t2k2-3t=0.由x1?(-尸得x1=,故|AM|=|x1+|=.由題設(shè)知，直線AN的方程為y=-(x+),故同理可得|AN|=.由21AM|=|AN|得=,即(k3-2)t=3k(2k-1).當(dāng)k=時(shí)上式不成立，因此t=.t>3等價(jià)于=<0,即<0,由此得或解得<k<2.因此k的取值范圍是(，2).3.解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y

10、0),則+=1,+=1.=-1.由此可得=-=1.因?yàn)閤1+x2=2x0,y1+y2=2y0,=,所以a2=2b2.又由題意知,M的右焦點(diǎn)為(,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.所以M的方程為+=1.(2)由解得或因止匕|AB|二.由題意可設(shè)直線CD的方程為y=x+n-<n<,設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4).由得3x2+4nx+2n2-6=0,于是x3,4=.因?yàn)橹本€CD的斜率為1,所以|CD|=|x4-x3|=.由已知，四邊形ACBD勺面積S=|CD|?|AB|=.當(dāng)n=0時(shí),S取得最大值，最大值為.所以四邊形ACB畫積的最大值為.考點(diǎn)考法探究解答1例1解:(

11、1)易知N(0,-),由3+=0可得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為.由點(diǎn)M在C上且M在第一象限，得M的橫坐標(biāo)為，從而l的方程為y=x-,令y=0,得x=,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0).(2)由題意可設(shè)P(n,0)(-2<n<2),直線l:x=my+n(m#0).將x=my+n與+=1聯(lián)立，可得(3m2+4)y2+6mny+3n2-12=0，由=48(3m2-n2+4)>0,得3m2-n2+4>0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y2=.由3+=0得y2=-3y1,所以y1=,y2=.因?yàn)閥1?y2=,所以=,得n2=.OMN勺面積S=|n|y1-y2|=<=,當(dāng)且僅當(dāng)m

12、2=時(shí)等號(hào)成立，止匕時(shí)n2=,滿足A>0.又因?yàn)閤1=my1+n=n>0,所以n=，故當(dāng)OMN勺面積最大時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為.【自我檢測(cè)】解:(1)由題可知A,B，設(shè)P(xP,-),-<xP<,所以k=-xP+6(-1,1),故直線AP的斜率k的取值范圍是(-1,1).(2)由題，直線AP:y=kx+k-,直線BQ:x+ky+k-=0,聯(lián)立直線AP,BQ的方程可知點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)xQ=,聯(lián)立直線AP的方程和y=-x2可知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP=-k.所以|PQ|=(xQ-xP)=,|PA|=(1-k),所以|PA|?|PQ|=(1-k)3(1+k).令f(x)=(1-x)3(1+x)

13、,-1<x<1,則f(x)=(1-x)2(-2-4x)=-2(1-x)2(2x+1),當(dāng)-1<x<-時(shí),f(x)>0,當(dāng)-<x<1時(shí),f'(x)<0,故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故f(x)max=f=,即|PA|?|PQ|的最大值為.解答2例2解:(1)因?yàn)閎=c,所以a=2c.因?yàn)閨PM|+|PN|=2a,所以點(diǎn)M,N為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),所以r2=c2=a2.設(shè)P(x0,y0),貝U-bWy0Wb,所以SzPMN=r?|y0|=a|y0|,當(dāng)|y0|=b時(shí),SzPMNt得最大值，所以ab=,所以可得a=2,b=,c=1.所以圓O

14、的方程為x2+y2=1，橢圓E的方程為+=1.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨取直線l的方程為x=1,A,B,所以|AB|=3.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m,因?yàn)橹本€l與圓相切，所以=1,即m2=1+k2.由消去y可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,=48(4k2+3-m2)=48(3k2+2)>0,設(shè)A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),則x1+x2=-,x1x2=.|AB|=?=4?=?.令t=,則0<t=&,所以|AB|=?=?,又0Vt&,所以3<|AB|<.綜上,|AB|的取值范圍是.【自我檢測(cè)】解:

15、(1)設(shè)A,B,C.F(1,0),則=,=,=.+=,即.(y1+y2)2=,即+2y1y2=,.+4+2y1y2=,得y1y2=-2,即B,C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為-2.(2)方法一：=,=,入=?=+(y1-y0)(y2-y0)=(y1+y0)(y2+y0)+16=y1y2+y0(y1+y2)+16=(-2+16)=-<-,故人的取值范圍是.方法二：由+=得四邊形ABFC平行四邊形，故入=?=?=+(-y1)(-y2)=1-+y1y2=1-+-2=-W-,故入的取值范圍是.解答3例3解:(1)由題知，a=2,b=,c=1,則e=,|FA|=1,|AM|=-2-t,;=,.t=-4.(2)

16、證明:若直線l的斜率不存在，則S1=S2,|MP|=|MQ|,等式成立.若直線l的斜率存在，則可設(shè)直線l的方程為y=k(x+1),P(x1,y1),Q(x2,y2).由消去y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,/.x1+x2=-,x1x2=.kMP+kMQ=+=+=0,./PMFNQMF.S1=|MF|MP|sin/PMF,S2=|MF|MQ|sin/QMF,.二.綜上可知，=成立.【自我檢測(cè)】解:(1)依題意得.+=,又p>,書=1,故拋物線C的方程為x2=2y.(2)證明:由(1)知y0=,由得4x2-16x-9=0,解得x1=-,x2=,.|AF|=x=5.設(shè)Pm#-

17、且m，則M的橫坐標(biāo)為m,：|AM|=.由題可知直線PN的方程為y-=-(x-m),與y=2x+聯(lián)立，可得xN=,.|AN|=,則=5,故=|AF.備選理由例1為考查點(diǎn)到直線的距離的最值問(wèn)題,本題的難點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化條件得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，對(duì)于四邊形ABCM面積為2的轉(zhuǎn)化，最好是把這個(gè)四邊形的面積分成兩個(gè)三角形的面積來(lái)求解；例2為考查向量數(shù)量積的取值范圍的問(wèn)題，是求圓錐曲線中范圍問(wèn)題的鞏固訓(xùn)練；例3的本質(zhì)是證明線段相等，涉及橢圓的軌跡問(wèn)題,運(yùn)算量大，字母量多，綜合考查學(xué)生的推理能力、運(yùn)算求解能力.例1配例1使用已知橢圓M:+=1(a>b>0)的離心率為，A,B分別為M的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且|A

18、B|=.(1)求橢圓M的方程；若C,D分別是x軸負(fù)半軸、y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，且四邊形ABCD勺面積為2,設(shè)直線B5口AD勺交點(diǎn)為P,求點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值.解:(1)由=,c2=a2-b2,得a=2b.又|AB|=,所以b=1,a=2.所以橢圓M的方程為+y2=1.(2)設(shè)P(x0,y0),C(s,0),D(0,t),其中s<0,t<0.因?yàn)锳(2,0),B(0,1),所以=,=,得t=-,s=-.由四邊形ABCD勺面積為2,得(2-s)(1-t)=4,即=4,即(x0+2y0-2)2=4(x0-2)(y0-1),整理得+4=4,所以易知，點(diǎn)P在第三象限的橢圓弧上.設(shè)與AB平

19、行的直線y=-x+m(m<0)與橢圓M相切.由消去y得x2-2mx+2m2-2=0，令=8-4m2=0，得m=-.所以點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為=.例2配例2使用已知曲線2y2=4x,曲線M:(x-1)2+y2=4(x21),直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若？=-4,求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn);(2)若直線l與曲線M相切，求？的取值范圍.解:(1)證明：由已知，可設(shè)l:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-4my-4n=0,.y1+y2=4m,y1?y2=-4n,.x1+x2=4m2+2n,x1?x2=n2.二由?=-4,可得x1?x2+y1?y2=n2-4n=-4,解得n=2.二直線l的方程為x=my+2,直線l恒過(guò)定點(diǎn)(2,0).(2)直線l與曲線M相切,M(1,0),顯然nA3,=2,整理得4m2=n2-2n-3.由(1)及可得,？=(x1-1,y1)?(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=n2-4m2-2n+1-4n=n2-4m2-6n+1=4-4n,/n>3,/.?<-8,即?的取值范圍是(-8.例3配例3使用ABC中,0是BC