探索勾股定理（三）教學(xué)設(shè)計

1、第一章勾股定理探索勾股定理（三）成都石室聯(lián)合中學(xué)李穎一、學(xué)生起點分析學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：本節(jié)課內(nèi)容選自義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書北京師范大學(xué)版的數(shù)學(xué)教材八年級上冊的第一章第一節(jié)，本節(jié)課為第三課時，課題為拼圖與勾股定理。在本章的前面幾節(jié)課中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理，了解了勾股定理的廣泛使用，學(xué)習(xí)了利用割補(bǔ)法計算圖形的面積來驗證勾股定理。學(xué)生的活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：學(xué)生在初一學(xué)習(xí)過基本幾何圖形的面積計算的一些方法，例如：割補(bǔ)法等，但運(yùn)用面積法和割補(bǔ)思想解決問題意識和能力還不夠，因此，可能還需要教師有意識的引導(dǎo)；在先前的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了一些拼圖、圖案設(shè)計的實踐活動，如制作七巧板，這些都為本節(jié)課的活

2、動（拼圖對勾股定理進(jìn)行無字的證明）奠定了一定的基礎(chǔ)。二、學(xué)習(xí)任務(wù)分析本課題是學(xué)生初步認(rèn)識了“勾股定理”后，對勾股定理探究的加深與提高，具有一定的挑戰(zhàn)性。課本上設(shè)計了豐富的拼圖活動，讓學(xué)生經(jīng)過自己的操作和思考，既經(jīng)歷驗證勾股定理的過程，獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，又能了解中外多種方法，開闊視野，感受古代人民的聰明才智。為此確定如下教學(xué)目標(biāo)：知識與技能目標(biāo)：1.通過對幾種常見的勾股定理驗證方法的分析和欣賞，理解數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系；2.經(jīng)歷綜合運(yùn)用已有知識解決問題的過程，加深對勾股定理、整式運(yùn)算、面積等的認(rèn)識。過程與方法目標(biāo)： 1經(jīng)歷不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程，體驗解決同一問題方法的多樣性，進(jìn)

3、一步體會勾股定理的文化價值；2通過驗證過程中數(shù)與形的結(jié)合，體會數(shù)形結(jié)合的思想以及數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。3通過豐富有趣的拼圖活動，經(jīng)歷觀察、比較、拼圖、計算、推理交流等過程，發(fā)展空間觀念和有條理地思考和表達(dá)的能力，獲得一些研究問題的方法與經(jīng)驗。情感與態(tài)度目標(biāo)：1. 通過豐富有趣的拼圖活動增強(qiáng)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；通過探究總結(jié)活動，讓學(xué)生獲得成功的體 驗和克服困難的經(jīng)歷，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心；在合作學(xué)習(xí)活動中發(fā)展學(xué)生的合作交流的意識和能力。教學(xué)重點：1通過綜合運(yùn)用已有知識解決問題的過程，加深對勾股定理、整式運(yùn)算、面積等的認(rèn)識。2通過拼圖驗證勾股定理的過程，使學(xué)習(xí)獲得一些研究問題與合作交流的方法與經(jīng)驗。

4、教學(xué)難點：1利用“五巧板”拼出不同圖形進(jìn)行驗證勾股定理。2利用數(shù)形結(jié)合的方法驗證勾股定理。教學(xué)準(zhǔn)備：剪刀、雙面膠、硬紙板、直尺（或三角板）、鉛筆、多媒體課件。三、教學(xué)過程設(shè)計本節(jié)課設(shè)計了七個教學(xué)環(huán)節(jié)第一環(huán)節(jié)驗證方法的收集與整理第二環(huán)節(jié)驗證過程的分析與欣賞第三環(huán)節(jié)嘗試拼圖，驗證定理第四環(huán)節(jié)練習(xí)提升第五環(huán)節(jié)勾股定理的文化價值第六環(huán)節(jié)小結(jié)反思第七環(huán)節(jié)課題拓展第一環(huán)節(jié)驗證方法的收集與整理<一>課前自主探究活動具體的做法是：請各個學(xué)習(xí)小組從網(wǎng)絡(luò)或書籍上，盡可能多地尋找和了解驗證勾股定理的方法，并填寫探究報告：勾股定理證明方法匯總方法種類及歷史背景驗證定理的具體過程知識運(yùn)用及思想方法 

5、;  意圖：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國家總統(tǒng)。同時勾股定理是世界上證法最多的定理，在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，希望學(xué)生能從這些證明方法中學(xué)習(xí)到一些重要的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想。鼓勵同學(xué)們作為新時期的學(xué)習(xí)者，也能探索出自己的證明方法，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。學(xué)生活動需注意的地方：上這節(jié)課前一個星期教師布置給學(xué)生以下活動：查有關(guān)勾股定理的資料（可上網(wǎng)查，也可查閱報刊、書籍）.實行“小組合作制”，各小組中自己推薦一人擔(dān)任“發(fā)言人”，一人擔(dān)任

6、“書記員”，在小組結(jié)束后，由小組的“發(fā)言人”匯報本小組的結(jié)果，提前兩三天由幾位學(xué)生匯總(教師可適當(dāng)指導(dǎo))。可利用“多媒體視頻展示臺”展示本組找到的證明方法，其他小組給予評價，這樣既保證討論的有效性，也調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。<二>探究成果的交流與展示以下是學(xué)生搜集的勾股定理的證明方法:1.趙爽證明2.1876年美國總統(tǒng)Garfield證明3.意大利著名畫家達(dá)·芬奇的證法4.畢達(dá)哥拉斯5.青朱出入圖6.在印度、在阿拉伯世界和歐洲出現(xiàn)的一種拼圖證明7.歐幾里得證明.意圖：使學(xué)生在上這節(jié)課時就對勾股定理歷史背景有全面的理解，從而使學(xué)生認(rèn)識到勾股定理的重要性，學(xué)習(xí)勾股定理是非常必

7、要的，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時，這一活動，也是一次對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育、培養(yǎng)民族自豪感的好機(jī)會，可以激勵他們奮發(fā)向上，同時培養(yǎng)他們的自學(xué)能力、歸類總結(jié)等能力。第二環(huán)節(jié) 驗證過程的分析與欣賞 內(nèi)容：教師引導(dǎo)學(xué)生對收集的驗證方法進(jìn)行歸類整理：第一種類型：以趙爽的“弦圖”為代表，用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)，來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系。第二種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運(yùn)用歐氏幾何的基本定理進(jìn)行證明第三種類型：以劉徽的“青朱出入圖”為代表，“無字證明”分三種類型：意圖：適當(dāng)?shù)臍w類整理有助于學(xué)生提高對有關(guān)驗證方法的認(rèn)識，加深學(xué)生的理解。第三環(huán)節(jié) 嘗試拼圖，驗證定理內(nèi)容：五巧板的制作（動手操作，合

8、作探究）·教師介紹“五巧板”的制作方法，學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的硬紙板制作“五巧板”。·步驟：做一個RtABC，以斜邊AB為邊向內(nèi)做正方形ABDE，并在正方形內(nèi)畫圖，使DFBI，CG=BC，HGAC，這樣就把正方形ABDE分成五部分。沿這些線剪開，就得了一幅五巧板。1利用五巧板拼“青朱出入圖”。2取兩幅五巧板，將其中的一幅拼成一個以C為邊長的正方形，將另外一幅五巧板拼成兩個邊長分別為a、b的正方形，你能拼出來嗎？3用上面的兩幅五巧板，還可拼出其它圖形，你能驗證勾股定理嗎？4利用五巧板還能通過怎樣拼圖來驗證勾股定理？ abcbc可能的拼圖方案：bca意圖：通過前面的展示，學(xué)生可能已經(jīng)

9、基本理解了所謂的“無字證明”，但沒有通過親身的體驗，可能仍有相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生難以認(rèn)同，甚至部分學(xué)生可能還存在一定的懷疑，為此利用五巧板拼圖證明勾股定理，力圖通過學(xué)生的親身實驗進(jìn)一步確認(rèn)“無字證明”的驗證方法。活動注意事項：注意給學(xué)生提供充分的實踐、探索和交流的時間，鼓勵他們積極思考解決問題的方法，并與他人進(jìn)行合作與交流；在學(xué)生活動時，教師需要及時了解學(xué)生拼圖的情況及利用自己的拼圖驗證勾股定理的情況，并對部分小組或?qū)W生進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)。最后需要對這些方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)男〗Y(jié)與提升：以上的證明方法都從幾何圖形的面積變化入手，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，其中第一、三種類型還與拼圖有著密切的關(guān)系。第四環(huán)節(jié)練習(xí)提升

10、1.議一議:觀察下圖,用數(shù)格子的方法判斷圖中三角形的三邊長是否滿足a2+b2=c2_b_a_a_c_b_c2.一個直角三角形的斜邊為20cm ,且兩直角邊長度比為3:4，求兩直角邊的長。意圖：在前面已經(jīng)討論了直角三角形三邊滿足的關(guān)系，那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊是否也滿足這一關(guān)系呢？學(xué)生通過數(shù)格子的方法可以得出：如果一個三角形不是直角三角形，那么它的三邊a,b,c不滿足a2+b2=c2。通過這個結(jié)論，學(xué)生將對直角三角形三邊的關(guān)系有進(jìn)一步的認(rèn)識，并為后續(xù)直角三角形的判別打下基礎(chǔ)。第五環(huán)節(jié) 勾股定理的文化價值(1) 勾股定理是聯(lián)系數(shù)學(xué)中數(shù)與形的第一定理。(2) 勾股定理反映了自然界基

11、本規(guī)律,有文明的宇宙“人”都應(yīng)該認(rèn)識它，因而勾股定理圖被建議作為與“外星人”聯(lián)系的信號。(3)勾股定理導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。(4)勾股定理公式是第一個不定方程，為不定方程的解題程序樹立了一個范式。第六環(huán)節(jié) 小結(jié)反思學(xué)生反思：我最大的收獲；我表現(xiàn)較好的方面；我學(xué)會了哪些知識；我還有哪些疑惑意圖：.鼓勵學(xué)生積極大膽發(fā)言，可增進(jìn)師生、生生之間的交流、互動.通過暢談收獲和體會，意在培養(yǎng)學(xué)生口頭表達(dá)和交流的能力，增強(qiáng)不斷反思總結(jié)的意識. 組織引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課的學(xué)習(xí)活動在知識能力、實踐探究的過程以及情感態(tài)度價值觀等各個方面進(jìn)行總結(jié)，教師再栽學(xué)生的基礎(chǔ)上進(jìn)行總結(jié)性概括。第七環(huán)節(jié) 課題拓展

12、（1）寫數(shù)學(xué)日記并發(fā)揮你的聰明才智，去探索勾股定理、去研究勾股定理，你又有什么新的發(fā)現(xiàn)？（2）習(xí)題：1.3（3）嘗試?yán)靡獯罄嫾疫_(dá)·芬奇的方法驗證勾股定理？板書設(shè)計 1、驗證勾股定理的一些方法展示 課題：拼圖與勾股定理3、勾股定理的文化價值2、利用“五巧板”拼圖驗證勾股定理學(xué)生拼圖作品展示臺： 四 、教學(xué)反思<一>在課堂教學(xué)中，始終注重學(xué)生的自主探究由實例引入，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，然后通過動手操作、大膽猜想、勇于驗證等一系列自主探究、合作交流活動得出定理，并運(yùn)用定理進(jìn)一步鞏固提高，切實體現(xiàn)了學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人的新課程理念。對于拼圖驗證，學(xué)生還沒有接觸過，所以，教學(xué)中，教師給予