[推薦學(xué)習(xí)]全國(guó)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第章三角函數(shù)解三角形第講解三角形的應(yīng)用舉例學(xué)案

1、生活的色彩就是學(xué)習(xí)第7講解三角形的應(yīng)用舉例板塊一知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí)必備知識(shí)考點(diǎn)1仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖)考點(diǎn)2方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖)考點(diǎn)3方向角指北或指南方向線與目標(biāo)方向所成的小于90°的角叫做方向角，如北偏東，南偏西.特別地，假設(shè)目標(biāo)方向線與指北或指南方向線成45°角稱為西南方向，東北方向等(1)北偏東，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向(如圖)；(2)北偏西，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向；(3)南偏西等其他方向角類似考點(diǎn)4坡角與坡度1坡角

2、：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖，角為坡角)2坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖，i為坡度)坡度又稱為坡比必會(huì)結(jié)論1仰角與俯角是相對(duì)水平視線而言的，而方位角是相對(duì)于正北方向而言的2“方位角與“方向角的區(qū)別：方位角大小的范圍是0,2)，方向角大小的范圍是.考點(diǎn)自測(cè)1判斷以下結(jié)論的正誤(正確的打“，錯(cuò)誤的打“×)(1)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系()(2)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，那么，的關(guān)系為180°.()(3)假設(shè)點(diǎn)P在Q的北偏東44°，那么Q在P的東偏北46°.()(4)如果在測(cè)量中，

3、某渠道斜坡坡比為，設(shè)為坡角，那么cos.()答案(1)(2)×(3)×(4)×2課本改編兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，那么燈塔A在燈塔B的()A北偏東10° B北偏西10°C南偏東10° D南偏西10°答案B解析由題可知ABC50°，A，B，C位置如圖應(yīng)選B.3.2021·沈陽(yáng)模擬如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，測(cè)量者在A的同側(cè)，選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°，那么A

4、，B兩點(diǎn)的距離為()A50 m B50 mC25 m D. m答案A解析由正弦定理得AB50(m)4.如下圖，D，C，B三點(diǎn)在地面的同一直線上，DCa，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為60°，30°，那么A點(diǎn)離地面的高度AB等于()A. B.C.a D.答案B解析因?yàn)镈30°，ACB60°，所以CAD30°，故CACDa.所以ABasin60°.5一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在

5、B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°，那么水柱的高度是_m.答案50解析設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，那么在ABC中，A60°，ACh，AB100，BCh，根據(jù)余弦定理得(h)2h210022·h·100·cos60°，即h250h50000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.板塊二典例探究·考向突破考向測(cè)量距離問(wèn)題例1如下圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，在岸邊定一基線CD，現(xiàn)已測(cè)出CDa和ACD60°，BCD30°，BDC105°，ADC60°，試求A

6、B的長(zhǎng)解在ACD中，CDa，ACD60°，ADC60°，所以ACa.在BCD中，由正弦定理可得BCa.在ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又因?yàn)锳CB30°，所以利用余弦定理可以求得A，B兩點(diǎn)之間的距離為ABa.觸類旁通求距離問(wèn)題的考前須知(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)立的三角形，首先確定所求量所在的三角形，假設(shè)其他量那么直接解；假設(shè)有未知量，那么把未知量放在另一確定的三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如都可用，就選便于計(jì)算的定理【變式訓(xùn)練1】2021·四川高考如下圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此

7、時(shí)氣球的高是46 m，那么河流的寬度BC約等于_m(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位參考數(shù)據(jù)：sin67°0.92，cos37°0.39，sin37°0.60，cos37°0.80，1.73)答案60解析根據(jù)的圖形可得AB.在ABC中，BCA30°，BAC37°，由正弦定理，得.所以BC2××0.6060(m)考向測(cè)量高度問(wèn)題例22021·湖北高考如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°

8、;的方向上，仰角為30°，那么此山的高度CD_m.答案100解析如下圖，由得BAC30°，AB600 m，EBC75°，CBD30°，在ABC中，ACBEBCBAC45°，由，得BC300(m)在RtBCD中，CDBC·tanCBD300×100(m)觸類旁通處理高度問(wèn)題的考前須知(1)在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，正確理解仰角、俯角是一個(gè)關(guān)鍵(2)在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò)(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化

9、為平面問(wèn)題【變式訓(xùn)練2】某人在C點(diǎn)測(cè)得塔底O在南偏西80°，塔頂A的仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10米到D處，測(cè)得塔頂A的仰角為30°，那么塔高為()A15米 B5米 C10米 D12米答案C解析如圖，設(shè)塔高為h，在RtAOC中，ACO45°，那么OCOAh.在RtAOD中，ADO30°，那么ODh.在OCD中，OCD120°，CD10，OD2 OC2 CD22OC×CD×cosOCD，即(h)2h21022h×10×cos120°，所以h25h500，解得h10

10、 或h5(舍去)，應(yīng)選C.考向測(cè)量角度問(wèn)題例3在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，假設(shè)紅方偵察艇以每小時(shí)14 n mile的速度，沿北偏東45°方向攔截藍(lán)方的小艇假設(shè)要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角的正弦值解如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，那么AC14x，BC10x，ABC120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos120°，解得x2.故AC28，BC2

11、0.根據(jù)正弦定理，得，解得sin.所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角的正弦值為.觸類旁通解決測(cè)量角度問(wèn)題的考前須知(1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義(2)分析題意，分清與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步(3)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂使用【變式訓(xùn)練3】如圖，位于A處的信息中心得悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，求cos的值解在ABC中，AB40，AC20，BAC120

12、76;，由余弦定理得，BC2AB2AC22AB·AC·cos120°2800BC20.由正弦定理，得sinACB·sinBAC.由BAC120°，知ACB為銳角，那么cosACB.由ACB30°，得coscos(ACB30°)cosACBcos30°sinACBsin30°.核心規(guī)律利用解三角形解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，(1)要理解題意，整合題目條件，畫出示意圖，建立一個(gè)三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函數(shù)模型中，要確定相應(yīng)參數(shù)和自變量范圍，最后還要檢驗(yàn)問(wèn)題的實(shí)際意義總分值策略1

13、.不要搞錯(cuò)各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混2.在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò).板塊三啟智培優(yōu)·破譯高考數(shù)學(xué)思想系列5函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用2021·永州模擬某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇(1)假設(shè)希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小

14、，那么小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能到達(dá)30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由解題視點(diǎn)(1)利用三角形中的余弦定理，將航行距離表示為時(shí)間t的函數(shù)，將原題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題；(2)注意t的取值范圍解(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為s海里，那么s.故當(dāng)t時(shí)，smin10，v30(海里/小時(shí))即小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇那么v2t2400900t22·20·30t·cos(90°30°)，故v29

15、00.0<v30，900900，即0，解得t.又t時(shí)，v30，故v30時(shí)，t取得最小值，且最小值等于.此時(shí)，在OAB中，有OAOBAB20.故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/小時(shí)答題啟示解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用問(wèn)題有很多是求距離最短、用時(shí)最少、速度最大等最值問(wèn)題，這需要建立有關(guān)量的函數(shù)關(guān)系式，通過(guò)求函數(shù)最值的方法來(lái)解決.函數(shù)思想在解三角形實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，經(jīng)常與正弦定理、余弦定理相結(jié)合，此類問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，能力要求較高，要有一定的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.跟蹤訓(xùn)練2021·鄭州模擬如下圖，一輛汽車從O點(diǎn)出發(fā)沿一條直線公路以50 km/h的

16、速度勻速行駛(圖中的箭頭方向?yàn)槠嚨男旭偡较?汽車開動(dòng)的同時(shí)，在距汽車出發(fā)點(diǎn)O點(diǎn)的距離為5 km，距離公路線的垂直距離為3 km的M點(diǎn)，有一個(gè)人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機(jī)問(wèn)騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，并求追上汽車司機(jī)時(shí)他駕駛摩托車行駛了多少公里？解作MI垂直公路所在的直線于點(diǎn)I，那么MI3, OM5，OI4，cosMOI.設(shè)騎摩托車的人的速度為v km/h，追上汽車的時(shí)間為t h，由余弦定理得(vt)252(50t)22×5×50t×，v22500252900900，當(dāng)t時(shí)，v的最小值為30 km/h，其行駛距離為vt km.故

17、騎摩托車的人至少以30 km/h的速度行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，他駕駛摩托車行駛了 km.板塊四模擬演練·提能增分A級(jí)根底達(dá)標(biāo)1A，B兩地間的距離為10 km，B，C兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得ABC120°，那么A，C兩地間的距離為()A10 km B10 kmC10 km D10 km答案D解析如下圖，由余弦定理可得：AC21004002×10×20×cos120°700，AC10(km)22021·武漢模擬海面上有A，B，C三個(gè)燈塔，AB10 n mile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75

18、6;視角，那么BC()A10 n mile B. n mileC5 n mile D5 n mile答案D解析由題意可知，CAB60°，CBA75°，所以C45°，由正弦定理得，所以BC5.3.如下圖，兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，那么燈塔A與燈塔B的距離為()Aa km B.a kmC.a km D2a km答案B解析在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cosACBa2a22a2cos120°3a2，故|AB|

19、a.42021·臨沂質(zhì)檢在200 m高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底俯角分別為30°、60°，那么塔高為()A. m B. mC. m D. m答案A解析如圖，由可得BAC30°，CAD30°，BCA60°，ACD30°，ADC120°，又AB200，AC.在ACD中，由正弦定理，得，即DC(m)5.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d0.6 km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對(duì)岸的碼頭B.AB1 km，水的流速為2 km/h，假設(shè)客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時(shí)間為6 min，那么客船在靜水中的速度為()A8

20、km/h B6 km/hC2 km/h D10 km/h答案B解析設(shè)AB與河岸線所成的角為，客船在靜水中的速度為v km/h，由題意知，sin，從而cos，所以由余弦定理得22122××2×1×，解得v6.6.如圖，某工程中要將一長(zhǎng)為100 m，傾斜角為75°的斜坡改造成傾斜角為30°的斜坡，并保持坡高不變，那么坡底需加長(zhǎng)_m.答案100解析設(shè)坡底需加長(zhǎng)x m，由正弦定理得，解得x100.7.如圖，為了測(cè)量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形ABCD各邊的長(zhǎng)度(單位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B與D

21、互補(bǔ)，那么AC的長(zhǎng)為_km.答案7解析82522×8×5×cos(D)32522×3×5×cosD，cosD.AC7(km)8.2021·河南調(diào)研如圖，在山底A點(diǎn)處測(cè)得山頂仰角CAB45°，沿傾斜角為30°的斜坡走1000米至S點(diǎn)，又測(cè)得山頂仰角DSB75°，那么山高BC為_米答案1000解析由題圖知BAS45°30°15°，ABS45°(90°DSB)30°，ASB135°，在ABS中，由正弦定理可得，AB1000，BC10

22、00(米)9.2021·山西監(jiān)測(cè)如圖，點(diǎn)A，B，C在同一水平面上，AC4，CB6.現(xiàn)要在點(diǎn)C處搭建一個(gè)觀測(cè)站CD，點(diǎn)D在頂端(1)原方案CD為鉛垂線方向，45°，求CD的長(zhǎng)；(2)搭建完成后，發(fā)現(xiàn)CD與鉛垂線方向有偏差，并測(cè)得30°，53°，求CD2.(結(jié)果精確到1)(此題參考數(shù)據(jù)：sin97°1，cos53°0.6)解(1)CD為鉛垂線方向，點(diǎn)D在頂端，CDAB.又45°，CDAC4.(2)在ABD中，53°30°83°，ABACCB4610，ADB180°83°97

23、76;，由得AD5.在ACD中，CD2AD2AC22AD·ACcos52422×5×4×cos53°17.10.如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(1)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30°方向逃竄問(wèn)：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時(shí)間解設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí)，才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船，那么CD 10t海里，BD10t海里，在ABC中，由余弦定理

24、，有BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC(1)2222(1)×2×cos120°6，解得BC.又，sinABC，ABC45°，故B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，CBD90°30°120°，在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30°，緝私船沿北偏東60°的方向行駛又在BCD中，CBD 120°，BCD30°，D30°，BDBC，即10t，解得t小時(shí)15分鐘緝私船應(yīng)沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘B級(jí)知能提升

25、12021·天津模擬一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A10 海里 B10 海里C20 海里 D20 海里答案A解析如下圖，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30°，ACB45°，根據(jù)正弦定理得，解得BC10(海里)2.某觀察站B在A城的南偏西20°的方向，由A出發(fā)的一條公路的走向是南偏東25°.現(xiàn)在B處測(cè)得此公路上距B處30 k

26、m的C處有一人正沿此公路騎車以40 km/h的速度向A城駛?cè)?，行駛?5 min后到達(dá)D處，此時(shí)測(cè)得B與D之間的距離為8 km，那么此人到達(dá)A城還需要()A40 min B42 min C48 min D60 min答案C解析由題意可知，CD40×10.cosBDC，cosADBcos(BDC)，sinABDsin(ADBBAD).在ABD中，由正弦定理得，AD32，所需時(shí)間t0.8 h，此人還需要0.8 h即48 min到達(dá)A城3.2021·全國(guó)卷如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角MAN60°，C點(diǎn)的仰角CAB45°以及MAC75°；從C點(diǎn)測(cè)得MCA60°，山高BC100 m，那么山高M(jìn)N_m.答案150解析在RtABC中，AC100 m，在MAC中，由正弦定理得，解得MA100 m，在RtMNA中，MNM