[推薦學(xué)習(xí)]高中數(shù)學(xué)第一章解三角形.正弦定理和余弦定理..余弦定理課堂探究學(xué)案新人教B必

1、生活的色彩就是學(xué)習(xí)1.1.2余弦定理課堂探究一、三角形中的四類(lèi)根本問(wèn)題剖析：解三角形的問(wèn)題可以分為以下四類(lèi)：(1)三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形此種情況的根本解法是先由正弦定理求出另一條邊所對(duì)的角，用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，再用正弦定理求出第三邊，注意判斷解的個(gè)數(shù)(2)三角形的兩角和任一邊，解三角形此種情況的根本解法是假設(shè)所給邊是角的對(duì)邊時(shí)，可由正弦定理求另一邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，再由正弦定理求第三邊假設(shè)所給邊不是角的對(duì)邊時(shí)，先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角，再由正弦定理求另外兩邊(3)兩邊和它們的夾角，解三角形此種情況的根本解法是先用余弦定理求第三邊，再用正弦定

2、理或余弦定理求另一角，最后用三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角(4)三角形的三邊，解三角形此種情況的根本解法是先用余弦定理求出一個(gè)角，再用正弦定理或余弦定理求出另一個(gè)角，最后用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角二、教材中的“？在ABC中，令c，b，a，你能通過(guò)計(jì)算|a|2a·a證明余弦定理嗎？剖析：如下圖，|a|2a·aa2·()·()2·2|cos Ab2c22bccos A，即a2b2c22bccos A同理可證b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C知識(shí)拓展：除了向量法和幾何法來(lái)證明余弦定理外，我們還可以用坐標(biāo)法或正弦定理來(lái)解決(1)

3、(坐標(biāo)法)如下圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線(xiàn)為x軸建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系，那么點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A(0，0)，B(ccos A，csin A)，C(b，0)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得a=|BC|=，a2=c2cos2A-2bccos A+b2+c2sin2A，即a2=b2+c2-2bccos A同理可得b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C(2)(用正弦定理證明)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，b2c22bccos A4R2(sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos A)4R2sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos(BC)

4、4R2(sin2Bsin2C2sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos Bcos C)4R2sin2B(1sin2C)sin2C(1sin2B)2sin B sin Ccos Bcos C4R2(sin2Bcos2C2sin Bsin Ccos Bcos Csin2Ccos2B)4R2sin2(BC)4R2sin2Aa2同理可證b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C題型一用余弦定理解三角形【例1】 在ABC中：(1)a1，b1，C120°，求c；(2)a3，b4，c，求最大角；(3)abc12，求A，B，C分析：(1)直接利用余弦定理即可；(2)在三角形中

5、，大邊對(duì)大角；(3)可設(shè)三邊為x，x，2x解：(1)由余弦定理，得c2a2b22abcos C12122×1×1×3，c(2)顯然C最大cos C，C120°(3)由于abc12，可設(shè)ax，bx，c2x由余弦定理，得cos A，A30°同理cos B，cos C0，B60°，C90°反思：(1)本例為余弦定理的最根本應(yīng)用，要在此根底上熟練地掌握余弦定理的結(jié)構(gòu)特征(2)對(duì)于第(3)小題，根據(jù)條件，設(shè)出三邊長(zhǎng)，由余弦定理求出A，進(jìn)而求出其余兩角另外也可由邊長(zhǎng)關(guān)系，判斷出C為直角，再求角題型二判斷三角形的形狀【例2】 在ABC中，

6、(abc)(bca)3bc，且sin A2sin B·cos C，試確定ABC的形狀分析：利用余弦定理先求出A60°，再根據(jù)三角變換公式求得BC解：(abc)(bca)3bc，a2b2c2bc而a2b2c22bccos A，2cos A1cos AA60°又sin Asin(BC)sin Bcos Ccos B sin C，sin A2sin B·cos C，sin Bcos Ccos Bsin C0，即sin(BC)0，BC又BC120°，ABC60°故ABC為等邊三角形反思：(1)判斷三角形的形狀是看該三角形是否為某特殊的三角形(

7、如銳角、直角、鈍角、等腰、等邊三角形等)(2)對(duì)于給出條件是邊角關(guān)系混合在一起的問(wèn)題，一般地，應(yīng)運(yùn)用正弦定理和余弦定理，要么統(tǒng)一為邊的關(guān)系，要么統(tǒng)一為角的關(guān)系再利用三角形的有關(guān)知識(shí)、三角恒等變形方法、代數(shù)恒等變形方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化、化簡(jiǎn)，從而得出結(jié)論(3)常見(jiàn)結(jié)論：設(shè)a，b，c分別是ABC的角A，B，C的對(duì)邊，假設(shè)a2b2c2，那么C90°；假設(shè)a2b2>c2，那么C<90°；假設(shè)a2b2<c2，那么C>90°；假設(shè)sin 2Asin 2B，那么AB或AB題型三三角形的面積公式的應(yīng)用【例3】 在ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且求：(

8、1)B的大?。?2)假設(shè)b，ac4，求ABC的面積分析：先由余弦定理求出B，再結(jié)合條件列方程求出ac，利用面積公式求出ABC的面積解：(1)，整理，得a2c2b2ac，cos B，從而B(niǎo)120°(2)由(1)得a2c2ac13又ac4，a2c22ac16由，得ac3，SABCacsin B×3×sin 120°反思：求三角形的面積，要充分挖掘題目中的條件，轉(zhuǎn)化為求兩邊及夾角的正弦問(wèn)題，要注意方程思想在解題中的應(yīng)用題型四正、余弦定理的綜合應(yīng)用【例4】 (2021·課標(biāo)全國(guó)高考，理17)如圖，在ABC中，ABC90°，AB，BC1，P為A

9、BC內(nèi)一點(diǎn)，BPC90°(1)假設(shè)PB，求PA；(2)假設(shè)APB150°，求tanPBA分析：(1)在PBA中，利用余弦定理求得PA；(2)在PBA中，再利用正弦定理列出與PBA和APB有關(guān)的方程即可解：(1)由得PBC60°，所以PBA30°在PBA中，由余弦定理得PA232××cos 30°故PA(2)設(shè)PBA，由得PBsin 在PBA中，由正弦定理得，化簡(jiǎn)得cos 4sin 所以tan ，即tanPBA反思：正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用關(guān)鍵要明確的邊和角及所求，正弦定理尤其在邊角轉(zhuǎn)化方面功能顯著余弦定理的使用要注意選

10、擇好“第三邊，這樣才能列出有效的方程，再者要熟練掌握三角變換公式，這在解三角形中經(jīng)常用到題型五易錯(cuò)辨析【例5】 在銳角ABC中，b1，c2，那么a的取值范圍是()A1<a<3 B1<a< C<a< D不確定錯(cuò)解：由三角形的性質(zhì)，知cb<a，得a>1又A為銳角，從而cos A>0，得0<a<所以1<a<應(yīng)選B錯(cuò)因分析：上述解法無(wú)視了三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，即ABC180°，cos A>0只能推出A為銳角，而不能推出ABC一定為銳角三角形，因?yàn)锳BC180°，所以當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí)，不僅cos A>0，還必須滿(mǎn)足cos B>0，cos C>0正解：由三角形的性質(zhì)，知cb<a，得a>1又由cos A>0，得0<a<由cos B>0，得aR由cos C>0，得a>綜上，知<a<答案：C【例6】 在ABC中，a2，b2，C15°，求A錯(cuò)解：由余弦定理，得c2a2b22abcos C482×2×2×84，所以c又由正弦定理，得sin A因?yàn)?°<A<180