高等教育出版社,袁德美主編的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題一的答案

1、1.31.3 寫出下列隨機(jī)事件的樣本空間寫出下列隨機(jī)事件的樣本空間12,3,4,12 40t t 2(1,1),(1,2),(1,6),(2,1),(2,2)(2,6),(6,6) 31,2, (1)(1)擲一顆均勻的骰子兩次擲一顆均勻的骰子兩次, ,觀察前后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和觀察前后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和(2)(2)擲一顆均勻的骰子兩次擲一顆均勻的骰子兩次, ,觀察前后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察前后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(3)(3)連續(xù)拋一枚硬幣直到正面出現(xiàn)為止的試驗(yàn)次數(shù)連續(xù)拋一枚硬幣直到正面出現(xiàn)為止的試驗(yàn)次數(shù)(4)(4)某城市一天的用電量某城市一天的用電量(5)(5)深成指數(shù)在未來一段時(shí)間內(nèi)漲跌的點(diǎn)數(shù)深成指數(shù)

2、在未來一段時(shí)間內(nèi)漲跌的點(diǎn)數(shù)5,0 xaxaa 其中是漲或跌的最大幅度C1.41.4 試問下列命題是否成立試問下列命題是否成立? ?若正確給出其證明若正確給出其證明, ,若錯(cuò)誤若錯(cuò)誤舉一個(gè)反例舉一個(gè)反例. .(1),ACBCAB若則( () )AB1.41.4 試問下列命題是否成立試問下列命題是否成立? ?若正確給出其證明若正確給出其證明, ,若錯(cuò)誤若錯(cuò)誤舉一個(gè)反例舉一個(gè)反例. .(2)()ABBA( () )()()ABBABB證明證明()()ABBBAB1.41.4 試問下列命題是否成立試問下列命題是否成立? ?若正確給出其證明若正確給出其證明, ,若錯(cuò)誤若錯(cuò)誤舉一個(gè)反例舉一個(gè)反例. .(3

3、)()ABBA( () )()()ABBABB證明證明()()ABBBAB1.41.4 試問下列命題是否成立試問下列命題是否成立? ?若正確給出其證明若正確給出其證明, ,若錯(cuò)誤若錯(cuò)誤舉一個(gè)反例舉一個(gè)反例. .(4),ABCABC若且則()(),BC 假設(shè)證明證明( (反證法反證法) )BC則至少 一個(gè)BC則且CA又AAB,AB 即與已知矛盾BC 1.41.4 試問下列命題是否成立試問下列命題是否成立? ?若正確給出其證明若正確給出其證明, ,若錯(cuò)誤若錯(cuò)誤舉一個(gè)反例舉一個(gè)反例. .(5),ABAB若 與 互不相容 則 與 互不相容( () ) BA1.51.5 設(shè)設(shè)A A、B B、C C為某隨

4、機(jī)試驗(yàn)中的三個(gè)事件為某隨機(jī)試驗(yàn)中的三個(gè)事件, ,試表示下列試表示下列事件事件(1):(2):(3):(4):ABCABCABCABC、 都發(fā)生,但 不發(fā)生、 中至少有一個(gè)發(fā)生,且 不發(fā)生、 、 恰有兩個(gè)發(fā)生、 、 中最多有一個(gè)發(fā)生ABCABBCAC()AB C ABCABCABC( (即對(duì)立事件至少有兩個(gè)發(fā)生即對(duì)立事件至少有兩個(gè)發(fā)生) )1.81.8 設(shè)設(shè)A A與與B B互不相容互不相容, ,且且P(A)=0.2,P(A+B)=0.6,P(A)=0.2,P(A+B)=0.6,求求P(B)P(B)解解AA與與B B互不相容互不相容P(AB)=0P(AB)=0又又P(A+B)=P(A)+P(B)-

5、P(AB)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(B)=P(A+B)-P(A)P(B)=P(A+B)-P(A)=0.6-0.2=0.6-0.2=0.4=0.41.91.90.5解解1 0.70.2 ( )0.7, ()0.2,()P AP A BP A B設(shè)求1()P A B 1 ( )()P AP AB ()()P ABP AB1.101.10 設(shè)設(shè)A,BA,B是任意兩事件是任意兩事件, ,將下列四個(gè)數(shù)將下列四個(gè)數(shù)P(A),P(AB), P(A),P(AB), P(AB),P(A)+P(B)P(AB),P(A)+P(B)按由小到大的順序排列起來按由小到大的順序排列起來解解P(AB)P

6、(A)P(AB)P(AB)P(A)P(AB)又又P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)P(A)+P(B)P(AB)P(A)+P(B)P(AB)P(A)P(AB)P(A)+P(B)P(AB)P(A)P(AB)P(A)+P(B)()ABAA B1.111.11 試問下列命題是否成立試問下列命題是否成立? ?若正確給出其證明若正確給出其證明. .(1)(1)若若P(AB)=P(A)+P(B),P(AB)=P(A)+P(B),則則A A與與B B互不相容互不相容()( )( )()P ABP AP BP AB解解( )( )P AP B()0P

7、AB AB 即AB與 互不相容( () )1.111.11 試問下列命題是否成立試問下列命題是否成立? ?若正確給出其證明若正確給出其證明. .(2)(2)若若P(A)+P(B)P(A)+P(B)1,1,則則A A與與B B相容相容()( )( )()P ABP AP BP AB解解1()P AB11()1P AB ()0P AB()()()0P AB 即AA與與B B相容相容AB 1.111.11 試問下列命題是否成立試問下列命題是否成立? ?若正確給出其證明若正確給出其證明. .(3)(3)若若P(A)=1,P(B)=1,P(A)=1,P(B)=1,則則P(AB)=1P(AB)=1( )(

8、)P AP AB解解AAB1( )()1P AP AB ()1P AB()()1.111.11 試問下列命題是否成立試問下列命題是否成立? ?若正確給出其證明若正確給出其證明. .(4)(4)若若P(A)=1,P(B)=1,P(A)=1,P(B)=1,則則P(AB)=1P(AB)=1()( )( )()P ABP AP BP AB解解1 1 1 1()()由由(3),P(AB)=1(3),P(AB)=1 00P ABCP AB 解解 問題歸結(jié)于求問題歸結(jié)于求 .P ABC 1.141.14 設(shè)設(shè) 11,33P AP B 1,3P C 0,P AB 0,P AC 1,4P BC 個(gè)發(fā)生的概率個(gè)發(fā)

9、生的概率求事件求事件A A，B B，C C中至少有一中至少有一 0,P ABC 由概率的加法公式得所求概率為由概率的加法公式得所求概率為 P ABCP AP BP C( )( )( ) ()()()P ABP ACP BC11113000.33344 ()P ABC 1.151.15 某城市中共發(fā)行三種報(bào)紙某城市中共發(fā)行三種報(bào)紙: :甲、乙、丙甲、乙、丙. .在這在這個(gè)城市的居民中個(gè)城市的居民中, ,訂甲報(bào)的有訂甲報(bào)的有4545, ,訂乙報(bào)的有訂乙報(bào)的有3535, ,訂訂丙報(bào)的有丙報(bào)的有3030, ,同時(shí)訂甲、乙兩報(bào)的有同時(shí)訂甲、乙兩報(bào)的有1010, ,同時(shí)訂甲、同時(shí)訂甲、丙兩報(bào)的有丙兩報(bào)的有

10、8 8, ,同時(shí)訂乙、丙兩報(bào)的有同時(shí)訂乙、丙兩報(bào)的有5 5, ,同時(shí)訂三同時(shí)訂三種報(bào)紙的有種報(bào)紙的有3 3, ,求下列事件的概率求下列事件的概率. .(1)(1)至少訂一種報(bào)紙至少訂一種報(bào)紙;(2);(2)不訂任何報(bào)紙不訂任何報(bào)紙;(3);(3)只訂一種報(bào)只訂一種報(bào)紙紙;(4);(4)正好訂兩種報(bào)紙正好訂兩種報(bào)紙. .0.1,()0.08,()0.050.03P ABP ACP BCP ABC解解 令令A(yù)=A=訂甲報(bào)訂甲報(bào) ，B=B=訂乙報(bào)訂乙報(bào),C=C=訂丙報(bào)訂丙報(bào) ，則，則 0.45,0.35,0.3.P AP BP C 0.1,()0.08,()0.05,0.03P ABP ACP BC

11、P ABC 0.45,0.35,0.3.P AP BP C (1)P ABC( )( )( ) ()()()P AP BP CP ABP ACP BCP ABC0.450.350.30.1 0.080.050.030.9(2)P ABCP ABC1 P ABC1 0.9 0.10.1,()0.08,()0.05,0.03P ABP ACP BCP ABC 0.45,0.35,0.3.P AP BP C (3)P ABCABCABCP ABCP ABCP ABC其中P ABCP ABC1 P ABC 而P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC 而P ABP BAP BP A

12、BP ABCP BCAP BCP ABC0.30.230.20.73P ABCABCABC0.1,()0.08,()0.05,0.03P ABP ACP BCP ABC 0.45,0.35,0.3.P AP BP C P ABCP BCAP BCP ABC(4)P ABCABCABCP ABCP ABCP ABC0.070.050.020.141.161.16 把把1010本書隨機(jī)地放在書架上本書隨機(jī)地放在書架上, ,求其中指定的求其中指定的3 3本書本書放在一起的概率放在一起的概率. .1153!8!10!P 解解所求概率為所求概率為1.181.18 某公司生產(chǎn)的某公司生產(chǎn)的1515件產(chǎn)品中

13、件產(chǎn)品中, ,有有1212件是正品件是正品,3,3件是件是次品次品. .現(xiàn)將它們隨機(jī)地分裝在現(xiàn)將它們隨機(jī)地分裝在3 3個(gè)箱中個(gè)箱中, ,每箱每箱5 5件件, ,求求3 3件件次品被分在同一箱中的概率次品被分在同一箱中的概率. .6912512105515103CCPCC 解解所求概率為所求概率為12!32!5!5!15!5!5!5!P 或或1.201.20 將三封信隨機(jī)地投入四個(gè)郵箱將三封信隨機(jī)地投入四個(gè)郵箱, ,求恰有三個(gè)郵箱求恰有三個(gè)郵箱, ,其中各有一封信的概率其中各有一封信的概率. .383433!4CP 解解所求概率為所求概率為1.221.22 一個(gè)班級(jí)中有一個(gè)班級(jí)中有8 8名男生和

14、名男生和7 7名女生名女生, ,現(xiàn)隨機(jī)地選出現(xiàn)隨機(jī)地選出3 3名學(xué)生參加比賽名學(xué)生參加比賽, ,求選出的學(xué)生中求選出的學(xué)生中, ,男生數(shù)多于女生數(shù)男生數(shù)多于女生數(shù)的概率的概率3665213878315CCCPC 解解所求概率為所求概率為1.29設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%60%、30%30%、10%10%，從中隨意取出一件，結(jié)果不是三等品，求取到的是一從中隨意取出一件，結(jié)果不是三等品，求取到的是一等品的概率等品的概率. .解解13133()()()P A AP A AP A0.61 0.113()1()P AP A23130.6()0.9P A AA Ai

15、= =取到的是取到的是i等品等品i=1=1，2 2，3.3.則所求概率為則所求概率為解法二解法二( (用條件概率的本來含義用條件概率的本來含義) )231.30袋中有袋中有2 2個(gè)紅球個(gè)紅球,2,2個(gè)黑球與個(gè)黑球與3 3個(gè)白球個(gè)白球, ,現(xiàn)從袋中任意現(xiàn)從袋中任意取出兩個(gè)球取出兩個(gè)球, ,以以X,Y分別表示所取出的兩個(gè)球中紅球與分別表示所取出的兩個(gè)球中紅球與白球的個(gè)數(shù)白球的個(gè)數(shù), ,求求P(X=1|Y=0).解解112224(10)CCP XYC23此題即為求取到此題即為求取到0 0個(gè)白球事件發(fā)生的條件下個(gè)白球事件發(fā)生的條件下, ,取到取到1 1個(gè)紅球的概率個(gè)紅球的概率. .(用條件概率的本來含

16、義用條件概率的本來含義)即為求在即為求在2 2紅紅2 2黑四個(gè)球中黑四個(gè)球中, ,取到取到1 1紅紅1 1黑的概率黑的概率. .1.31已知已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8,求求P(AB).解解()( )( )()P ABP AP BP AB( )( )( )()P AP BP AP B A0.50.60.5 0.80.71.35袋中裝有袋中裝有1 1個(gè)白球個(gè)白球,1,1個(gè)黑球個(gè)黑球. .從中任取從中任取1 1個(gè)個(gè), ,若取出若取出白球白球, ,則試驗(yàn)停止則試驗(yàn)停止; ;若取出黑球若取出黑球, ,則把取出黑球放回的同則把取出黑球放回的同時(shí)時(shí), ,再加入再加入1 1個(gè)

17、黑球個(gè)黑球, ,如此下去如此下去, ,直到取出白球?yàn)橹怪钡饺〕霭浊驗(yàn)橹? .問試問試驗(yàn)恰好在第驗(yàn)恰好在第3 3次取球后結(jié)束的概率是多少次取球后結(jié)束的概率是多少? ?解解123()P A A A121234121312() () ()P A P A A P A A A112設(shè)設(shè)A Ai= =第第i次取到白球次取到白球i=1=1，2 2，3.3.則所求概率為則所求概率為1.36袋中裝有袋中裝有5050個(gè)乒乓球個(gè)乒乓球, ,其中其中2020個(gè)是黃球個(gè)是黃球,30,30個(gè)是白個(gè)是白球球, ,今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球, ,取后不放回取后不放回, ,求第二個(gè)人取得黃

18、球的概率求第二個(gè)人取得黃球的概率. .解解2()P A2019302050495049121121() ()() ()P A P A AP A P A A25設(shè)設(shè)A Ai= =第第i個(gè)個(gè)人取到黃球人取到黃球i=1=1，2.2.則所求概率為則所求概率為1.37有兩個(gè)口袋有兩個(gè)口袋, ,甲袋中裝有甲袋中裝有2 2個(gè)白球個(gè)白球,1,1個(gè)黑球個(gè)黑球, ,乙袋中乙袋中裝有裝有1 1個(gè)白球個(gè)白球,2,2個(gè)黑球個(gè)黑球. .今從甲袋中任取一個(gè)球放入乙今從甲袋中任取一個(gè)球放入乙袋袋, ,再從乙袋中取出一個(gè)球再從乙袋中取出一個(gè)球, ,求最后取出那個(gè)球恰好為求最后取出那個(gè)球恰好為白球的概率白球的概率. .解解2()

19、P A22113434121121() ()() ()P A P A AP A P A A512設(shè)設(shè)A Ai= =第第i袋中袋中取到白球取到白球i=1=1，2.2.則所求概率為則所求概率為給甲乙分別編號(hào)給甲乙分別編號(hào)1,21,21.38某人決定將一筆錢投資于房地產(chǎn)、股票和期貨之某人決定將一筆錢投資于房地產(chǎn)、股票和期貨之一一, ,他選擇這三種投資渠道的概率依次為他選擇這三種投資渠道的概率依次為1/2,1/41/2,1/4和和1/4.1/4.據(jù)有關(guān)信息顯示據(jù)有關(guān)信息顯示, ,現(xiàn)階段這三種投資渠道虧本的概率分現(xiàn)階段這三種投資渠道虧本的概率分別為別為1/8,1/41/8,1/4和和1/8.1/8.問他

20、投資虧本的概率是多少問他投資虧本的概率是多少? ?解解( )P B111111284448112233() ()() ()() ()P A P B AP A P B AP A P B A532設(shè)設(shè)A Ai= =進(jìn)行第進(jìn)行第i項(xiàng)投資項(xiàng)投資i=1,2,3.=1,2,3.則所求概率為則所求概率為給給投資于房地產(chǎn)、股票和期貨投資于房地產(chǎn)、股票和期貨分別編號(hào)分別編號(hào)1,2,31,2,3B B= =投資虧本投資虧本1.41有朋友自遠(yuǎn)方來訪有朋友自遠(yuǎn)方來訪, ,他乘火車、輪船、汽車和飛機(jī)來的概率他乘火車、輪船、汽車和飛機(jī)來的概率分別是分別是0.3,0.2,0.1,0.4.0.3,0.2,0.1,0.4.如果

21、他乘火車、輪船和汽車來的話如果他乘火車、輪船和汽車來的話, ,遲遲到的概率分別是到的概率分別是1/41/4、1/31/3和和1/12,1/12,而乘飛機(jī)來不會(huì)遲到而乘飛機(jī)來不會(huì)遲到. .結(jié)果他結(jié)果他遲到了遲到了, ,試問他是乘火車來的概率是多少試問他是乘火車來的概率是多少? ?解解1()P A B10.341110.30.20.10.4 043121141() ()() ()iiiP A P B AP A P B A0.5設(shè)設(shè)A Ai= =乘第乘第i種交通工具種交通工具i=1,2,3,4.=1,2,3,4.則所求概率為則所求概率為給給乘火車、輪船、汽車和飛機(jī)乘火車、輪船、汽車和飛機(jī)分別編號(hào)分別

22、編號(hào)1,2,3,41,2,3,4B B= =遲到遲到1.42據(jù)統(tǒng)計(jì)據(jù)統(tǒng)計(jì), ,某地區(qū)癌癥患者占人口總數(shù)的某地區(qū)癌癥患者占人口總數(shù)的5.5.根據(jù)以根據(jù)以往的臨床記錄往的臨床記錄, ,癌癥患者對(duì)某種試驗(yàn)呈陽性反應(yīng)的概率癌癥患者對(duì)某種試驗(yàn)呈陽性反應(yīng)的概率為為0.95,0.95,非癌癥患者對(duì)這種試驗(yàn)呈陽性反應(yīng)的概率為非癌癥患者對(duì)這種試驗(yàn)呈陽性反應(yīng)的概率為0.01.0.01.若某人對(duì)這種試驗(yàn)呈陽性反應(yīng)若某人對(duì)這種試驗(yàn)呈陽性反應(yīng), ,求此人患有癌癥求此人患有癌癥的概率的概率. .解解()P A B0.005 0.950.005 0.950.995 0.01( ) ()( ) ()( ) ()P A P B

23、 AP A P B AP A P B A95294B B= =呈陽性反應(yīng)呈陽性反應(yīng)則所求概率為則所求概率為設(shè)設(shè)A A=癌癥患者癌癥患者 解解()( )( )( ) ()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC( )( )( ),P AP BP CABC 23 ( )3( )P AP A1.47設(shè)兩兩獨(dú)立的三個(gè)事件設(shè)兩兩獨(dú)立的三個(gè)事件A、B、C滿足條件滿足條件ABC= P(A)=P(B)=P(C) ,P(ABC)= ,求求P(A)12916又又A A、B B、C C兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立91613( )44P A或( (舍去舍去) )1( )4P A1.481.48

24、甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一目標(biāo)甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一目標(biāo)各射擊一次，他們擊中的概率分別為各射擊一次，他們擊中的概率分別為0.7,0.80.7,0.8和和0.90.9，問目標(biāo)被擊中的概率是多少，問目標(biāo)被擊中的概率是多少? ? 解解 設(shè)設(shè)A=A=甲射中目標(biāo)甲射中目標(biāo) ，B=B=乙射中目標(biāo)乙射中目標(biāo) ，C=C=丙射中目標(biāo)丙射中目標(biāo) 則所求概率為則所求概率為 11P ABCP ABCP ABC 110.3 0.2 0.10.994.P A P B P C 解解 在任一時(shí)刻，考察一名售貨員是否使在任一時(shí)刻，考察一名售貨員是否使為成功，為成功，否則視為失敗，從而每次試驗(yàn)成功的否則視為失敗，從而每次試驗(yàn)成功的用臺(tái)用臺(tái)秤相當(dāng)于作一次試驗(yàn)，如果使用臺(tái)秤則視秤相當(dāng)于作一次試驗(yàn)，如果使用臺(tái)秤則視概率為概率為15/6015/60 =1=14 41.491.49 店內(nèi)有店內(nèi)有4 4名售貨員，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)每名售名售貨員，根據(jù)