高等數(shù)學(xué)-第8章

1、高等數(shù)學(xué) 課程相關(guān) 教材及相關(guān)輔導(dǎo)用書(shū) 高等數(shù)學(xué)第一版，肖筱南主編,林建華等編著, 北京大學(xué)出版社2010.8. 高等數(shù)學(xué)精品課程下冊(cè)第一版，林建華等編著,廈門(mén)大學(xué)出版社,2006.7.高等數(shù)學(xué)第七版,同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編，高等教育出版社,2014.7.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解（同濟(jì)第七版上下合訂本）同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編 高等教育出版社,2014.8. 第八章 空間解析幾何與向量代數(shù) 8.1 向量代數(shù) 8.2 數(shù)量積 向量積 混合積 8.3 空間曲面及其方程 8.4 空間曲線及其方程 8.5 平面及其平面及其方程方程 8.6 空間直線及其方程 8.7 綜合例題回顧回顧： 212212212

2、21zzyyxxMM 向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積向量的向量積向量的向量積向量的混合積向量的混合積（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（注意共線、共面的條件）（注意共線、共面的條件）數(shù)量積、向量積、混合積 cos|baba (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角) sin|bac (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角)一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面三、柱面四、錐面五、二次曲面水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關(guān)關(guān)系

3、系：（1 1） 曲面曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程；上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程；（2 2）不在曲面）不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程；上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形曲面的實(shí)例：xyzo ),(zyxP旋轉(zhuǎn)曲面： 一平面曲線C繞同一平面上的定直線L旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。曲線C稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，直線L稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸。 , 0,22 zyxf表表示示yoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞 z 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程. 方程同

4、同理理：yoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyf同同理理：xoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zxf繞繞z 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zyxf同同理理：xoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zxf繞繞x 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zyxf定義三、柱面觀察柱面的形成過(guò)程:平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面.CL這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.CL從

5、柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征：（其他類(lèi)推）（其他類(lèi)推）實(shí)實(shí) 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸zpzx22 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y【結(jié)論結(jié)論】柱面的方程是柱面的方程是 x，y，z 的二元方程，且與的二元方程，且與其準(zhǔn)線方程相同其準(zhǔn)線方程相同. . 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點(diǎn)都滿足曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲線C

6、可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點(diǎn)特點(diǎn)：8.4、空間曲線及其方程 )()()(tzztyytxx 當(dāng)當(dāng)給給定定1tt 時(shí)時(shí)，就就得得到到曲曲線線上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)),(111zyx，隨隨著著參參數(shù)數(shù)的的變變化化可可得得到到曲曲線線上上的的全全部部點(diǎn)點(diǎn).空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH曲線關(guān)于曲線關(guān)于 的的投影柱面投影柱面xoy設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的投影柱面的特

7、征特征：三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影類(lèi)似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影類(lèi)似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲線投影曲線,yoz面上的面上的投影曲線投影曲線,xoz 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在 面上的面上的投影曲線投影曲線xoy第五節(jié)一、平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角平面及其方程 第八八章 四四、點(diǎn)到平面的距離、點(diǎn)到平面的距離 zyxo0Mn一、平面的點(diǎn)法式方程),(0000zyxM設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn)設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn)且垂直于非零向且垂直于非零向

8、0)()()(000 zzCyyBxxAM稱稱式式為平面為平面 的的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程, ,求該平面求該平面 的的方程方程. .,),( zyxM任取點(diǎn)任取點(diǎn)),(000zzyyxx 法向量法向量. .量量, ),(CBAn nMM 000 nMM MM0則有則有 故故的的為平面為平面稱稱 nkji 例1.求過(guò)三點(diǎn),1 M又又)1,9,14( 0)4()1(9)2(14 zyx015914 zyx即即1M2M3M解解: 取該平面取該平面 的法向量為的法向量為),2,3,1(),4,1,2(21 MM)3,2,0(3M的平面的平面 的方程的方程. 利用點(diǎn)法式得平面利用點(diǎn)法式得平面 的方程的方程

9、3 46 2 31 nn3121MMMM 此平面的此平面的三點(diǎn)式方程三點(diǎn)式方程也可寫(xiě)成也可寫(xiě)成 0132643 412 zyx0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情況一般情況 : 過(guò)過(guò)三點(diǎn)三點(diǎn))3,2,1(),( kzyxMkkkk的的平面方程平面方程為為說(shuō)明:練習(xí)：特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的此式稱為平面的截距式方程截距式方程. . ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1 czbyax時(shí)時(shí), ,)0,( cbabcax)( cay)( 0 bazabcbzaacybcx 平面方程為平面方程為 Pozy

10、xRQ分析分析: :利用三點(diǎn)式利用三點(diǎn)式 按第一行展開(kāi)得按第一行展開(kāi)得 即即0 ax yza b0a 0c二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減以上兩式相減 , 得平面的得平面的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程此方程稱為此方程稱為平面的一般平面的一般0 DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù)任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則則0)()()(000 zzCyyBxxA0000 DzCyBxA顯然方程顯然方程與此點(diǎn)法式方程等價(jià)與此點(diǎn)法式方程等價(jià), , )0(222 CBA),(CBAn 的平面的平面, , 因此方程因此方程的圖形是的圖形是法向量為法向量為 方程方程. .特殊情形 當(dāng)當(dāng) D =

11、0 時(shí)時(shí), A x + B y + C z = 0 表示表示 通過(guò)原點(diǎn)通過(guò)原點(diǎn)的平面的平面; 當(dāng)當(dāng) A = 0 時(shí)時(shí), B y + C z + D = 0 的法向量的法向量平面平面平行于平行于 x 軸軸; A x+C z+D = 0 表示表示 A x+B y+D = 0 表示表示 C z + D = 0 表示表示 A x + D =0 表示表示 B y + D =0 表示表示0 DCzByAx)0(222 CBA平行于平行于 y 軸軸的平面的平面;平行于平行于 z 軸軸的平面的平面;平行于平行于 xoy 面面 的平面的平面;平行于平行于 yoz 面面 的平面；的平面；平行于平行于 zox 面面

12、 的平面的平面.,), 0(iCBn 例2. 求通過(guò) x 軸和點(diǎn)( 4, 3, 1) 的平面方程.解解: 因平面通過(guò)因平面通過(guò) x 軸軸 ,0 DA故故設(shè)所求平面方程為設(shè)所求平面方程為0 zCyB代入已知點(diǎn)代入已知點(diǎn)) 1,3,4( 得得BC3 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn), ,得所求平面方程得所求平面方程03 zy例例當(dāng)平面不與任何坐當(dāng)平面不與任何坐標(biāo)面平行，且不過(guò)標(biāo)面平行，且不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，才有截距原點(diǎn)時(shí)，才有截距式方程。式方程。三、兩平面的夾角設(shè)平面設(shè)平面1的法向量為的法向量為 平面平面2的法向量為的法向量為則兩平面夾角則兩平面夾角 的余弦為的余弦為 cos 即即212121CCBBAA 222222CBA 2

13、12121CBA 兩平面法向量的夾角兩平面法向量的夾角( (常為銳角常為銳角) )稱為稱為兩平面的夾角兩平面的夾角. .1 2 2n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 2特別有下列結(jié)論：21)1( 0212121 CCBBAA21/)2( 212121CCBBAA ),(:),(:2222211111CBAnCBAn 1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n因此有因此有例4. 一平面通過(guò)兩點(diǎn)垂直于平面垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程求其方程 .解解: 設(shè)所求平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為,020 CBA

14、即即CA2 的法向量的法向量,0 CBACCAB )()0(0)1()1()1(2 CzCyCxC約去約去C , 得得0)1()1()1(2 zyx即即02 zyx0)1()1()1( zCyBxA)1,1,1(1M, )1,1,0(2 M和和則所求平面則所求平面故故,),(CBAn 方程為方程為 n21MMn 且且外一點(diǎn)外一點(diǎn), ,求求),(0000zyxP0 DzCyBxA例5. 設(shè)222101010)()()(CBAzzCyyBxxA 222000CBADzCyBxAd 0111 DzCyBxA解解: :平面法向量為平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點(diǎn)在平面上取一點(diǎn)是平面是平面到平面的距離到平面的距離d .0P, ,則則P0 到平面的距離為到平面的距離為01PrjPPdn nnPP 010P1Pnd, ),(CBAn (點(diǎn)到平面的距離公式點(diǎn)到平面的距離公式)內(nèi)容小結(jié)1.平面基本方程平面基本方程:一般式一般式點(diǎn)法式點(diǎn)法式截距式截距式0 DCzByAx)0(222 CBA1 czbyax三點(diǎn)式三點(diǎn)式0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()