2020屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)導(dǎo)航4.3定積分及微積分基本原理

1、4.3定積分及微積分基本原理【考綱要求】1、了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念2、了解微積分基本定理的含義.【基礎(chǔ)知識(shí)】1、曲邊梯形的定義我們把由直線xa,xb(ab),y0和曲線yf(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形。2、曲邊梯形的面積的求法分割一近似代替(以直代曲)一求和一取極限3、定積分的概念一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點(diǎn)a=x0<xi<x2<L<xi-1<xi<L<xn=b、,_b-a將區(qū)間a,b等分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長度為Dx(Dx=),在每個(gè)小區(qū)間nx，xi上任取一點(diǎn)xi(i=1,2,L,n),

2、作和式：nn&f(xi)x-f(i)i1i1n如果Dx無限接近于0(亦即n)時(shí)，上述和式Sn無限趨近于常數(shù)S,那么稱b該常數(shù)S為函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分。記為：Sf(x)dx,a其中是積分號(hào)，b是積分上限，a是積分下限，f(x)是被積函數(shù)，x是積分變量，a,b是積分區(qū)間，f(x)dx是被積式。b說明：(1)定積分f(x)dx是一個(gè)常數(shù)，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，也可以是ab零，即Sn無限趨近的常數(shù)S(n時(shí))記為af(x)dx,而不是Sn.(2)用定義求定積分的一般方法是：分割：n等分區(qū)間a,b；近似代替：取點(diǎn)nbabnbaixi1，x；求和：f(i);取極限：f(x)dxli

3、mfii1nani1n4 .定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：bb性質(zhì)1kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))(定積分的線性性質(zhì))；aabbb性質(zhì)2f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx(定積分的線性性質(zhì))；aaabcb性質(zhì)3f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)(定積分對積分區(qū)間的可加aac性)5 .定積分的幾何意義(1)從幾何上看，如果在區(qū)間a,b上函數(shù)f(x)連續(xù)且，值有f(x)0,那么定積分bfxdx表示由直線xa,xb(ab),y0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形(如圖a中的陰影部分)的面積。(2)從幾何上看，如果在區(qū)間a,b上函數(shù)

4、f(x)連續(xù)且，值有f(x)0,那么定積分bfxdx表示由直線xa,xb(ab),y0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形(如圖a中的陰影部分)的面積的相反數(shù)。(3)從幾何上看，如果在區(qū)間a,b上函數(shù)f(x)連續(xù)，且函數(shù)yf(x)的圖像有一部分在x軸上方，有一部分在x軸下方，那么定積分fxdx表示x軸上方的曲邊梯形的面a積減去下方的曲邊梯形的面積。b(4)圖中陰影部分的面積S=f1(x)f2(x)dxa6、微積分基本定理一般地，如果f(x)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，并且F1(x)f(x),那么bf(x)dxF(b)F(a),這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫牛頓-萊布尼茨公式。為a了方便，我們常把

5、F(b)F(a)記成F(x)；,即：f(x)dxF(x)：F(b)F(a)。1計(jì)算定積分的關(guān)鍵是找到滿足F(x)f(x)的函數(shù)F(x)。7、公式，一1(1) (cx) c，、,、1(2) (sinx)cosx，、/、1.(3) (cosx)sinx(6)x、(e )mn1、1n(4)(x)mx(n1)(5)(aInx)n18、定積分的簡單應(yīng)用(1)在幾何中的運(yùn)用：計(jì)算圖形的面積方法：畫圖一定域一分割面積(2)在物理中的應(yīng)用：bsV(t)dta一用定積分表小面積一計(jì)算bWF(x)dxa9、求定積分的方法(1)數(shù)形結(jié)合利用面積求(2)利用微積分基本原理求【例題精講】x-1,x<0,例1設(shè)f(

6、x)=2求1f(x)dx.x+6,x>0.-1解：1f(x)dx=0f(x)dx+1f(x)dx-1-10=0(x1)dx+1(x2+6)dx-101cC1CA=(2xx)|-1+(§x+6x)|01 129=-(2+1)+3+6=3.f' (x)=2x2.例2設(shè)y=f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且(1)求y=f(x)的表達(dá)式；(2)求y=f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積.解：(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(aw0),貝Uf'(x)=2ax+b.又f'(x)=2x2,所以a=1,b=-2,即f(x)=x22x+c.又方

7、程f(x)=0有兩個(gè)相等實(shí)根，所以A=44c=0,即c=1.2故f(x)=x2x+1.(2)依題意，所求面積為12_13211S=(x2x+1)dx=(gxx+x)|0=3.04.3定積分的概念及微積分基本原理強(qiáng)化訓(xùn)練【基礎(chǔ)精練】61.已知f(x)為偶函數(shù)且6f(x)dx=8,則f(x)dx等于2則0 f(x)d等于A.0B.4C.8D.16x2,xC0,2 .設(shè)f(x)=2-x,xe1,A.-B.-C.45小存在3 .如圖，函數(shù)y=-x2+2x+1與y=1相交形成一個(gè)閉合圖形(圖中的陰影部分)，則該閉合圖形的面積是(4A.1B.3C.'34. 一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)速度與時(shí)間的關(guān)系為v(t)=

8、t2t+2,質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，則此物體在時(shí)間內(nèi)的位移為17A.至14B.TC.137D.1115.若1N的力能使彈簧伸長1 cm,現(xiàn)在要使彈簧伸長10 cm,則需要花費(fèi)的功為(A. 0.05 J.0.25 J D6戶：.右y=0(sint + cost sin t )d t ,則y的最大值是則點(diǎn)P的坐標(biāo)號(hào)dx的值A(chǔ).17.已知函數(shù)y=x2與y=kx(k>0)的圖象所圍成的陰影部分8 .如圖，設(shè)點(diǎn)P從原點(diǎn)沿曲線y=x2向點(diǎn)A(2,4)移動(dòng)，記直線OP曲線y=x2及直線x=2所圍成的面積分別記為S,S2,若S=S2,匐如L001020304050641(#)9 .一輛汽車的速度一時(shí)間曲線如圖所

9、示，則該汽車在這一分鐘內(nèi)行駛的路程為米.110 .若f(x)是一次函數(shù)，且f(x)dx=5,0是.11 .計(jì)算以下定積分：(1)2(2x21)dx;1x(3) 3(sinxsin2x)dx；o12 .如圖，y=x2向點(diǎn)A(2,4)移動(dòng)，記直線OP曲線y=x2及直線x=2所圍成的面積分別記為S,G,若S=S,求點(diǎn)P的坐標(biāo).13 .已知f(x)為二次函數(shù)，且f(-1)=2,f'(0)=0,1f(x)dx=-2.0(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在-1,1上的最大值與最小值.【拓展提高】1.設(shè)f(x)=；|x2-a2|dx.(1)當(dāng)0wawi與a>1時(shí)，分別求f(a)；(2)

10、當(dāng)a>o時(shí)，求f(a)的最小值.【基礎(chǔ)精練參考答案】1 .D解析：原式=f(x)dx+f(x)dx,60原函數(shù)為偶函數(shù)，在y軸兩側(cè)的圖象對稱，.對應(yīng)的面積相等，即8X2=16.2 .C【解析】數(shù)形結(jié)合21f(x)dx=22.xdx+1(2-x)dx3.B解析:(2x12、2x)(4222)函數(shù)y=x2+2x+1面積等于(一x2+2x+11)dx=04.D【解析】s=與y=1的兩個(gè)交點(diǎn)為（0,1）和（2,1）,所以閉合圖形的(-x2+2x)dx=：.32171(tT+2)dt=(3t2t+2t)|1=k5.B【解析】設(shè)力F=kx（k是比例系數(shù)），當(dāng)F=1N時(shí)，x=0.01mi可解得k=10

11、0N/m,貝UF=100X,所以W=0.1100xdx=50x20.10=0.5J.6.B【解析】y=1 . c 、，t +2sin2 t)dt(sint+costsint)dt=(sin0=cosx4cos2x+-=cosx一!(2cos2x-1)+-=442cos2xcosx+2k再由0k3 4 口k6=3求得 k=2.=2(cosx+1)2+2<2.3 .2【解析】直線方程與拋物線方程聯(lián)立先求出積分區(qū)間為,2kx2x3(kx-x)dx=(-2y)169)【解析】設(shè)直線OP的方程為y=kx,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),o2r(kxx)dx=(xkx)dxx即(2kx2$3)x=(3x3-

12、1kx2)解得1kx2-3x31-2k-(1x3-1kx2),3'32''解得k=4,即直線OP的方程為y=4x,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,().33399.900米【解析】據(jù)題意，v與t的函數(shù)關(guān)系式如下:321，0<t<20,v=v(t)=''50-1,20Wt<40,10,40WtW60.所以該汽車在這一分鐘內(nèi)所行駛的路程為60s= 0 v(t)dt =20 2-tdt +0 24020 (50 t)dt +6010dt40-3t2=4t 020+ (50 t 1t 2)40十2010t4020=900米.10.4+3ln2【解析】:”

13、*)是一次函數(shù),.設(shè)f(x)=ax+b(aw0),，12(ax+b)dx=5得(axbx)1xf(x)dx=0ax2+17bx)dx=,即(-ax3+1bx2)32117117解得2于是1_a+_b=,3a26,b=3,1.f(x)=4x+3,4x+3dx=x21(4+|)dxx=(4 x+ 31n x)2=8+31n24=4+31n2.11.【解析】116一一ln2314一一In2.3312(2)2(Vx+jx)dx=1(x+x+2)dx=(2x2+lnx+2x)9=(+ln3+6)(2+ln2+4)=ln3+9.2231一(3) 3(sinxsin2x)dx=(cosx+2cos2x)1

14、1.24)11一( 1+2)= 4.c=2 ab=01- 1解析】(1)04 0時(shí).f(a)= f |j'a |dr=儲(chǔ)!:f )+ £a 0 或 a1 i a I s12 .【解析】設(shè)直線OP的方程為y=kx,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則x(kxx2)dx=2(x2kx)dx,0x1 .213x13122即(2kx3x)|0=(3x2kx)|x,解得2kx2-3x3=8-2k-(1x3-2kx2),解得k=g,即直線OP的方程為y=1x,33所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(號(hào),爭.13 .【解析】(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(aw。),則f'(x)=2ax+b.ab+c=2由f(1)=2,f'(0)=0,得b=0.f(x)=ax2+(2a).又1f(x)dx=1ax2+(2a)dx001 312=3ax+(2a)x|0=2-3a=-2.a=6,，c=4.從而f(x)=6x24.2 2)-.f(x)=6x2-4,xC1,1,所以當(dāng)x=0時(shí)，f(x)min=-4；當(dāng)x=±1時(shí)，f(x)max=2.【拓展提高參考答案】4a3