常微分方程試題及答案

1、常微分方程模擬試題一、填空題（每小題3分，本題共15分）1 .一階微分方程的通解的圖像是2維空間上的一族曲線.2 .二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y1（x）,y2（x）為方程的基本解組充分必要條件是3 .方程y*_2y'+y=0的基本解組是.4 .一個(gè)不可延展解的存在在區(qū)間一定是區(qū)間.5 .方程曳=J1-y2的常數(shù)解是.dx二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）16,方程”=*=+丫滿足初值問(wèn)題解存在且唯一定理?xiàng)l件的區(qū)域是（）.dx（A）上半平面（B）xoy平面（C）下半平面（D）除y軸外的全平面7 .方程dy=Jy+1（）奇解.dx（A）有一個(gè)（B）有兩個(gè)（C）無(wú)（D）有無(wú)數(shù)個(gè)dy

2、8 .f（y）連續(xù)可微是保證方程-=f（y）解存在且唯一的（）條件.dx（A）必要（B）充分（C）充分必要（D）必要非充分9 .二階線性非齊次微分方程的所有解（）.（A）構(gòu)成一個(gè)2維線性空間（B）構(gòu)成一個(gè)3維線性空間（C）不能構(gòu)成一個(gè)線性空間（D）構(gòu)成一個(gè)無(wú)限維線性空間210 .方程dy=3y3過(guò)點(diǎn)（0,0）有（B）.dx（A）無(wú)數(shù)個(gè)解（B）只有一個(gè)解（C）只有兩個(gè)解（D）只有三個(gè)解三、計(jì)算題（每小題6分，本題共30分）求下列方程的通解或通積分：11.曳二ylnydx12.dxdyx13.14.15.曳二yxydx22xydx(x2-y)dy=03y二xy2(y)四、計(jì)算題（每小題10分，本題

3、共20分）16 .求方程y"5y'=-5x2的通解.17 .求下列方程組的通解.二ydtsintdy=-xkdt五、證明題（每小題10分，本題共20分）18.設(shè)f（x）在0,+°0）上連續(xù)，且Jimf（x）=0,求證：方程dyy=f(x)dx的一切解y（x）,均有l(wèi)imy（x）=0.x7二19.在方程y"+p（x）y'+q（x）y=0中，p（x）,q（x）在（-no,+oo）上連續(xù)，求證：若p（x）恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式W（x）是（q,+a）上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).常微分方程模擬試題參考答案一、填空題（每小題3分，本題共15分）1

4、.22.線性無(wú)關(guān)（或：它們的朗斯基行列式不等于零）3-ex,xex4.開5-y=±i二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）6.D7.C8.B9.C10.A三、計(jì)算題（每小題6分，本題共30分）11.解：y=為常數(shù)解當(dāng)y#0,y01時(shí)，分離變量取不定積分，得dy=dxCylny通積分為_xlny=Ce注：y=1包含在常數(shù)解中，當(dāng)c=0時(shí)就是常數(shù)解，因此常數(shù)解可以不專門列出。13.解：方程兩端同乘以y&,得為dy衛(wèi)y二yxdx令y4=z，則_4y工吆=四，代入上式，得dxdx1dzz=x4dx這是一階線形微分方程，對(duì)應(yīng)一階線形齊次方程的通解為-4xz=ce利用常數(shù)變易法可得到

5、一階線形微分方程的通解為z=Ce&x-x4因此原方程通解為工八Ux1yCex4；:M：N一、一，、一14.解：因?yàn)?2x=一，所以原方程是全微分方程.cyex?。▁°,y0）=（0,0）,原方程的通積分為xy22xydx-ydy=C0-0計(jì)算得213xy-y=C3（1分）（3分）（6分）（1分）（3分）（4分）（5分）（6分）（2分）（4分）（6分）15.解：原方程是克萊洛方程，通解為3y=Cx2C四、計(jì)算題（每小題10分，本題共20分）16.解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為片-5人=0,特征根為九i=0,1=5,齊次方程的通解為5xy=C1C2e因?yàn)閛t=0是特征根。所以，設(shè)非

6、齊次方程的特解為2yi（x）=x（AxBx'C）代入原方程，比較系數(shù)確定出112A=,B=,C=3525原方程的通解為5x13122y=C1c2exxx352517.解：齊次方程的特征方程為- Z12=九十1=0- 1九特征根為二i求得特征向量為- 1、因此齊次方程的通解為11cos=C1I-sirl一sint+C2令非齊次方程特解為cos(t)I二sirli-sirtsint“"cos-C1(t),C2(t)滿足cost|-sintsint1(t)co51JC2(t)j,sint0解得cost-C1(t)=,C2(t)=1sint積分，得C1(t)=Insint,C2(t)

7、=t通解為xIcostIsintIcostInsint+tsint=C1+C2+I盤-j-sint-gost-sintInsint+1cost五、證明題(每小題10分，本題共20分)（6分）（1分）（2分）（4分）（6分）（9分）（10分）（1分）（2分）（3分）（4分）（5分）（6分）（8分）（9分）（10分）18 .證明：設(shè)y=y(x)是方程任一解，滿足y(X0)=y0,該解的表達(dá)式為，、V。y(X)=-v;eX，'(sX0)f(s)e-dsX0x-X0e(4分)取極限limy(x)=limXT二x-ey。X_X0X0-limX-)二二(s_X0)f(s)e-dsX_X0e=0+flim一J二0,若f(s)e-X0(sU0)ds:二:(X_X0)(X)eX-0e=0,-H-'(S_X0)右f(s)eds=3-X0(10分)19 .證明：設(shè)y1(x),y2(x)是方程的基本解組，則對(duì)任意xW(q,十g)，它們朗斯基行列式在(q,+如)上有定義，且W(x)#0.又由劉維爾公式X_p(s)ds_W(x)=W(x0)e/°,x0W(q,十如)(5分)X-p