排列組合和排列組合計(jì)算公式

1、排列組合公式/排列組合計(jì)算公式排列P和順序有關(guān)組合C不牽涉到順序的問題排列分順序，組合不分例如把5本不同的書分給3個(gè)人,有幾種分法."排列"把5本書分給3個(gè)人，有幾種分法"組合"1 .排列及計(jì)算公式從n個(gè)不同元素中，任取m(mcn)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列；從n個(gè)不同元素中取出m(mcn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!(規(guī)定0!=1).2 .組合及計(jì)算公式從n個(gè)不同元素中，任取m

2、(mcn)個(gè)元素弁成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合；從n個(gè)不同元素中取出m(mcn)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)c(n,m)表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3 .其他排列與組合公式從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素的循環(huán)排列數(shù)=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n個(gè)元素被分成k類，每類的個(gè)數(shù)分別是n1,n2,.nk這n個(gè)元素的全排列數(shù)為n!/(n1!*n2!*.*nk!).k類元素，每類的個(gè)數(shù)無限，從中取出m個(gè)元素的組合數(shù)為c(m+k-1,m).排列(Pnm(n為下標(biāo)，

3、m為上標(biāo))Pnm=n<(n-1).(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是階乘符號(hào))；Pnn(兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo))=n!;0!=1；Pn1(n為下標(biāo)1為上標(biāo))=n組合(Cnm(n為下標(biāo)，m為上標(biāo))Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n!/m!(n-m)!；Cnn(兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo))=1;Cn1(n為下標(biāo)1為上標(biāo))二n；Cnm=Cnn-m2008-07-0813:30川P；=ML1)rI+D=；5j)!c：=公式P是指排列，從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列。公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè)，不進(jìn)行排列。N-元素的總個(gè)數(shù)R參與選擇的元素個(gè)數(shù)!-階乘，如9!=9*8*7*6*5*4*

4、3*2*1從N倒數(shù)r個(gè)，表達(dá)式應(yīng)該為n*(n-1)*(n-2).(n-r+1);因?yàn)閺膎到(n-r+1)個(gè)數(shù)為n(n-r+1)=r舉例:Q1:有從1到9共計(jì)9個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問，可以組成多少個(gè)三位數(shù)？A1:123和213是兩個(gè)不同的排列數(shù)。即對(duì)排列順序有要求的，既屬于“排列P'計(jì)算范疇。上問題中，任何一個(gè)號(hào)碼只能用一次，顯然不會(huì)出現(xiàn)988,997之類的組合，我們可以這么看，百位數(shù)有9種可能，十位數(shù)則應(yīng)該有9-1種可能，個(gè)位數(shù)則應(yīng)該只有9-1-1種可能，最終共有9*8*7個(gè)三位數(shù)。計(jì)算公式=P（3,9）=9*8*7,（從9倒數(shù)3個(gè)的乘積）Q2:有從1到9共計(jì)9個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問，如果三個(gè)一組，代

5、表“三國(guó)聯(lián)盟”，可以組合成多少個(gè)“三國(guó)聯(lián)盟”？A2:213組合和312組合，代表同一個(gè)組合，只要有三個(gè)號(hào)碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合C'計(jì)算范疇。上問題中，將所有的包括排列數(shù)的個(gè)數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個(gè)數(shù)即為最終組合數(shù)C（3,9）=9*8*7/3*2*1排列、組合的概念和公式典型例題分析例1設(shè)有3名學(xué)生和4個(gè)課外小組.（1）每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組；（2）每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加.各有多少種不同方法？解(1)由于每名學(xué)生都可以參加4個(gè)課外小組中的任何一個(gè)，而不限制每個(gè)課外小組的人數(shù)，因此共有種不同方法.(2)由于每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外

6、小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加，因此共有種不同方法.點(diǎn)評(píng)由于要讓3名學(xué)生逐個(gè)選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進(jìn)行計(jì)算.例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少種？解依題意，符合要求的排法可分為第一個(gè)排、中的某一個(gè)，共3類，每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出：符合題意的不同排法共有9種.點(diǎn)評(píng)按照分“類”的思路，本題應(yīng)用了加法原理.為把握不同排法的規(guī)律，“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計(jì)數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)模型.例3判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并計(jì)算出結(jié)果.(1)高三年級(jí)學(xué)生會(huì)有11人：每?jī)扇嘶ネㄒ环庑?，共通了多少封信？每?jī)扇嘶?/p>

7、握了一次手，共握了多少次手？(2)高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外小組共10人：從中選一名正組長(zhǎng)和一名副組長(zhǎng)，共有多少種不同的選法？從中選2名參加省數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有多少種不同的選法？(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八個(gè)質(zhì)數(shù)：從中任取兩個(gè)數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？從中任取兩個(gè)求它的積，可以得到多少個(gè)不同的積?(4)有8盆花：從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？分析(1)由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)是排列；由于每?jī)扇嘶ノ找淮问?，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無關(guān)，所以是組合問題.其

8、他類似分析.(1)是排列問題，共用了封信；是組合問題，共需握手(次).(2)是排列問題，共有(種)不同的選法；是組合問題，共有種不同的選法.(3)是排列問題，共有種不同的商；是組合問題，共有種不同的積.(4)是排列問題，共有種不同的選法；是組合問題，共有種不同的選法.例4證明.證明左式右式.等式成立.點(diǎn)評(píng)這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)，可使變形過程得以簡(jiǎn)化.例5化簡(jiǎn).解法一原式解法二原式點(diǎn)評(píng)解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，都使變形過程得以簡(jiǎn)化.例6解方程：(1);(2).解(1)原方程解得.(2)原方程可變?yōu)?/p>

9、;，原方程可化為.即，解得第六章排列組合、二項(xiàng)式定理一、考綱要求1 .掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個(gè)原理分析解決一些簡(jiǎn)單的問題.2 .理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的問題.3,掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和論證一些簡(jiǎn)單問題.二、知識(shí)結(jié)構(gòu)三、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示（一）加法原理乘法原理說明加法原理、乘法原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)，掌握此兩原理為處理排歹I、組合中有關(guān)問題提供了理論根據(jù).例15位高中畢業(yè)生，準(zhǔn)備報(bào)考3所高等院校，每人報(bào)且只報(bào)一所，不同的報(bào)名方法共有多少種？解：5個(gè)學(xué)生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報(bào)

10、名，因而每個(gè)學(xué)生都有3種不同的報(bào)名方法，根據(jù)乘法原理，得到不同報(bào)名方法總共有3X3X3X3X3=35（種）（二）排列、排列數(shù)公式說明排列、排列數(shù)公式及解排列的應(yīng)用題，在中學(xué)代數(shù)中較為獨(dú)特，它研究的對(duì)象以及研究問題的方法都和前面掌握的知識(shí)不同，內(nèi)容抽象，解題方法比較靈活，歷屆高考主要考查排列的應(yīng)用題，都是選擇題或填空題考查.例2由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有（）A.60個(gè)B.48個(gè)C.36個(gè)D.24個(gè)解因?yàn)橐笫桥紨?shù)，個(gè)位數(shù)只能是2或4的排法有P"小于50000的五位數(shù)，萬位只能是1、3或2、4中剩下的一個(gè)的排法有P13；在首末兩位數(shù)排定

11、后，中間3個(gè)位數(shù)的排法有P33,得P13P332=36（個(gè)）由此可知此題應(yīng)選C.例3將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種？解：將數(shù)字1填入第2方格，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有3種，即2143,3142,4123;同樣將數(shù)字1填入第3方格，也對(duì)應(yīng)著3種填法；將數(shù)字1填入第4方格，也對(duì)應(yīng)3種填法，因此共有填法為3P13=9（種）.例四例五可能有問題，等思考三）組合、組合數(shù)公式、組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)說明歷屆高考均有這方面的題目出現(xiàn)，主要考查排列組合的應(yīng)用題，且基本上都是由選擇題或填空題考查.例4從4臺(tái)

12、甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少有甲型與乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不同的取法共有（）A.140種B.84種C.70種D.35種解：抽出的3臺(tái)電視機(jī)中甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)的取法有C14-C25種；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)的取法有C24-C15種根據(jù)加法原理可得總的取法有C24C25+C24C15=40+30=70（種）可知此題應(yīng)選C.例5甲、乙、丙、丁四個(gè)公司承包8項(xiàng)工程，甲公司承包3項(xiàng)，乙公司承包1項(xiàng)，丙、丁公司各承包2項(xiàng)，問共有多少種承包方式？解：甲公司從8項(xiàng)工程中選出3項(xiàng)工程的方式C38種；乙公司從甲公司挑選后余下的5項(xiàng)工程中選出1項(xiàng)工程的方式有C15種；丙公司從甲乙兩公司挑選后余下的4項(xiàng)工程中

13、選出2項(xiàng)工程的方式有C24種；丁公司從甲、乙、丙三個(gè)公司挑選后余下的2項(xiàng)工程中選出2項(xiàng)工程的方式有C22種.根據(jù)乘法原理可得承包方式的種數(shù)有C8XC15XC24XC22=X1=1680(種).(四)二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開式的性質(zhì)說明二項(xiàng)式定理揭示了二項(xiàng)式的正整數(shù)次窯的展開法則，在數(shù)學(xué)中它是常用的基礎(chǔ)知識(shí)，從1985年至1998年歷屆高考均有這方面的題目出現(xiàn)，主要考查二項(xiàng)展開式中通項(xiàng)公式等，題型主要為選擇題或填空題.例6在(x-)10的展開式中，x6的系數(shù)是()A.-27C610B.27C410C.-9C610D.9C410解設(shè)(x-)10的展開式中第丫+1項(xiàng)含x6,因T+1=C10x10r(-廠

14、，10-丫=6,丫=4于是展開式中第5項(xiàng)含x6,第5項(xiàng)系數(shù)是C410(-)4=9C410故此題應(yīng)選D.例7(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)+(x-1)s的展開式中的x2的系數(shù)等于解：此題可視為首項(xiàng)為x-1,公比為-(x-1)的等比數(shù)列的前5項(xiàng)的和，則其和為在(x-1)6中含x3的項(xiàng)是C36x3(-1)3=-20x3,因此展開式中x2的系數(shù)是-20.(五)綜合例題賞析例8若(2x+)4=ao+a1x+a2x2+a3x3+a4x,貝Ll(ao+a2+a4)2-(a1+33)2的值為()A.1B.-1C.0D.2解：A.例92名醫(yī)生和4名護(hù)士被分配到2所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名

15、醫(yī)生和2名護(hù)士，不同的分配方法共有()A.6種B.12種C.18種D.24種解分醫(yī)生的方法有邑=2種，分護(hù)士方法有C24=6種，所以共有6X2=12種不同的分配方法。應(yīng)選B.例10從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不同取法共有().A.140種B.84種C.70種D.35種解：取出的3臺(tái)電視機(jī)中，甲型電視機(jī)分為恰有一臺(tái)和恰有二臺(tái)兩種情形./C24-+C25C14=5X6+10X4=70.應(yīng)選C.例11某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當(dāng)選的不同選法有（）A.27種B.48種C.21種D.24種解：分恰有1名女生和恰有

16、2名女生代表兩類：.-C13-C17+C23=3X7+3=24,應(yīng)選D.例12由數(shù)學(xué)0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）.A.210個(gè)B.300個(gè)C.464個(gè)D.600個(gè)解：先考慮可組成無限制條件的六位數(shù)有多少個(gè)？應(yīng)有P15P55=600個(gè).由對(duì)稱性，個(gè)位數(shù)小于十位數(shù)的六位數(shù)和個(gè)位數(shù)大于十位數(shù)的六位數(shù)各占一半.有X600=300個(gè)符合題設(shè)的六位數(shù).應(yīng)選B.例13以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有（）.B.64個(gè)A.70個(gè)C.58個(gè)D.52個(gè)解：如圖，正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，任取4個(gè)的組合數(shù)為C48=70個(gè).其中共面四點(diǎn)分3類：構(gòu)成側(cè)面的有6組；構(gòu)成垂直

17、底面的對(duì)角面的有2組；形如（ADBG）的有4組.二能形成四面體的有70-6-2-4=58（組）應(yīng)選C.例14如果把兩條異面直線看成“一對(duì)"，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有（）.A.12對(duì)B.24對(duì)C.36對(duì)D.48對(duì)解：設(shè)正六棱錐為0-ABCDEF.任取一側(cè)棱0A（C6）則0A與BGCDDEEF均形成異面直線對(duì).共有C6X4=24對(duì)異面直線.應(yīng)選B.例15正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共個(gè)（以數(shù)字作答）.解：7點(diǎn)中任取3個(gè)則有C37=35組.其中三點(diǎn)共線的有3組（正六邊形有3條直徑）.二三角形個(gè)數(shù)為35-3=32個(gè).例16設(shè)含有10個(gè)元素的集

18、合的全部子集數(shù)為S,其中由3個(gè)元素組成的子集數(shù)為T,則的值為。解10個(gè)元素的集合的全部子集數(shù)有:s=i0+Ci0+C2i0+Ci0+Ci0+Ci0+di0+Ci0+Ci0+di0+C0i0=210=1024其中，含3個(gè)元素的子集數(shù)有T=C3i0=120故=例17例17在50件產(chǎn)品n中有4件是次品，從中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共_種（用數(shù)字作答）.解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.C34C246+C4C146=4186（種）例18有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有（）.A.1260種B.2025種C.2520種D.5040種解：先從10人中選2個(gè)承擔(dān)任務(wù)甲（CM。）再?gòu)氖Ｓ?人中選1人承擔(dān)任務(wù)乙（C18）又從剩余7人中選1人承擔(dān)任務(wù)乙（C17）.有C210-C18C17=2520（種）.應(yīng)選C.例19集合1,2,3子集總共有（).A.7個(gè)B.8個(gè)C.6個(gè)D.5個(gè)解三個(gè)元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一個(gè)，由一個(gè)元素組成的子集數(shù)C13,由二個(gè)元素組成的子集數(shù)C23O由3個(gè)元素組成的子集數(shù)C33O由加法原理