隨機過程及其統(tǒng)計描述

1、.1第12章隨機過程及其統(tǒng)計描述教材：盛驟等概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第四版).2目錄(一) 隨機過程的分布函數(shù)族12.1 隨機過程的概念12.2 隨機過程的統(tǒng)計描述12.3 泊松過程及維納過程(二) 隨機過程的數(shù)字特征(三) 二維隨機過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征正態(tài)隨機過程的概念正態(tài)隨機過程的概念.312.1 隨機過程的概念隨機過程的概念對熱噪聲電壓的重復(fù)觀測對熱噪聲電壓的重復(fù)觀測一個實例：熱噪聲電壓一個實例：熱噪聲電壓在一段時間內(nèi)對熱噪聲電壓進(jìn)行觀測是隨機試驗。觀測結(jié)果將得到某種形式的v-t函數(shù)圖象，可能是 中的任意一個。12( ),( ),( ),kv tvv tt在相同條件下，獨立、重復(fù)的觀測，所

2、有可能的結(jié)果構(gòu)成一個函數(shù)族：12( ),( )( ,)kv ttv tv在給定的時刻 觀測熱噪聲電壓V, 它是一個隨機變量，其取值是中的任意一個。12( ),( ), ( ),jjkjtv tv tvjt.4(2)在一段時間內(nèi)，其樣本空間在隨時間變化，其分布也隨時間變化(1)在某一時刻tj，電壓V是一個隨機變量，有其樣本空間：12( ),( ), ( ),jjkjtv tv tv理論上任意時刻V的取值都有一個分布熱噪聲電壓現(xiàn)象的特點熱噪聲電壓現(xiàn)象的特點研究對象是隨時間演化的隨機現(xiàn)象(動力學(xué))。對這種現(xiàn)象的研究，需要用一族隨機變量：12 ( ),( )(),kVVtV tt隨機過程的研究對象隨機

3、過程的研究對象12.1 隨機過程的概念隨機過程的概念.5設(shè) 是一無限實數(shù)集，我們把依賴于參數(shù) 的一族(無限多個)隨機變量稱為隨機過程，記為tTT( ),X t tT這里對每一個給定的 是一個隨機變量，T 叫做參數(shù)集., ( )t X t隨機過程的概念隨機過程的概念參數(shù)參數(shù)t 通常就是時間變量；也可以不是時間，但可以當(dāng)作時間變量看待通常就是時間變量；也可以不是時間，但可以當(dāng)作時間變量看待12.1 隨機過程的概念隨機過程的概念.6隨機過程相關(guān)概念隨機過程相關(guān)概念( ),X t tT隨機過程隨機過程：( )X t稱為 時刻過程的過程的狀態(tài)狀態(tài)(隨機的)t(1)對于一切 所有可能取值的全體稱為隨機過程

4、的狀態(tài)空間狀態(tài)空間.,( )tT X t(3)t時刻對X進(jìn)行一次觀測，得到 (實數(shù))，就說t時刻過程處于狀態(tài)過程處于狀態(tài)( )X txx(2)對隨機過程 在T上進(jìn)行一次全程觀測上進(jìn)行一次全程觀測，( ),X t tT( ),x ttT得到函數(shù) ，稱為隨機過程的一個樣本函數(shù)或樣本曲線樣本函數(shù)或樣本曲線。(4)熱噪聲電壓熱噪聲電壓可用隨機過程 來描述. ( ),0V t t 狀態(tài)空間為(,) 觀測得到的電壓-時間函數(shù) 是該隨機過程的一個樣本函數(shù).( ),0kv t t 12.1 隨機過程的概念隨機過程的概念.7隨機過程舉例隨機過程舉例拋擲一枚硬幣的試驗，樣本空間是S=H,T, 現(xiàn)借此定義隨機過程：

5、cos,( )tX tt，當(dāng)出現(xiàn)H,當(dāng)出現(xiàn)T,(,)t 樣本曲線樣本曲線參數(shù)集,()T 狀態(tài)空間(,) 樣本函數(shù)族cos , t t)()(txtXiiptcost2/12/1t時刻的分布律無論是在某時刻t進(jìn)行觀測還是全程連續(xù)觀測，結(jié)果都有投幣試驗決定.12.1 隨機過程的概念隨機過程的概念.8隨機過程舉例隨機過程舉例拋擲一枚硬幣的試驗，樣本空間是S=H,T, 現(xiàn)借此定義隨機過程：cos,( )tX tt，當(dāng)出現(xiàn)H,當(dāng)出現(xiàn)T,(,)t 可將此隨機過程改寫為tYtYtX)1 (cos)(THY出現(xiàn)出現(xiàn) , 0 , 1其中,),(t,X對Y和t的依賴，決定了X是一個隨機過程. 確定了Y之后，即可確

6、定任意時刻和全程的觀測結(jié)果.任意時刻下，觀測目的是X取什么值；全程的情況下，觀測目的是X(t)的函數(shù)形式.12.1 隨機過程的概念隨機過程的概念.9隨機過程舉例隨機過程舉例樣本曲線樣本曲線（只畫出兩條）狀態(tài)空間：(, )a a考慮：cos( ),(,)tX tta 式中 是正常數(shù)， 是 上服從均勻分布的隨機變量。, a(0,2 )隨機相位正弦波當(dāng) 在 內(nèi)隨機的取一個值 ，可得樣本函數(shù)：(0,2 )i)cos()(iitatx12.1 隨機過程的概念隨機過程的概念.10在測量運動目標(biāo)的距離時，存在隨機誤差，以 表示在時刻t的測量誤差，則 是一個隨機過程。狀態(tài)空間( ) t( ),0t t(,)

7、以X(t)表示在時間間隔(0, t內(nèi)，120急救電話臺接到的呼叫次數(shù)。( ),0X t t 是一個隨機過程，其狀態(tài)空間為0,1,2,考慮拋擲一顆骰子的試驗.(1)設(shè) 是第n次(n1)拋擲的點數(shù)，對于n=1,2,的不同值， 是不同的隨機變量，因而 構(gòu)成一隨機過程(稱伯努利過程或伯努利稱伯努利過程或伯努利隨機序列隨機序列)。狀態(tài)空間1,2,3,4,5,6nXnX1,nXn (2)設(shè) 是前n次(n1)拋擲中出現(xiàn)的最大點數(shù)， 也是一隨機過程。狀態(tài)空間1,2,3,4,5,6nY1,nY n 隨機過程舉例隨機過程舉例12.1 隨機過程的概念隨機過程的概念.11隨機過程的分類隨機過程的分類連續(xù)型隨機過程：任

8、意時刻的狀態(tài)是連續(xù)型隨機變量；離散型隨機過程：任意時刻的狀態(tài)是離散型隨機變量.連續(xù)參數(shù)隨機過程: 參數(shù)集T是區(qū)間;離散參數(shù)隨機過程或稱隨機序列：參數(shù)集是離散的.按狀態(tài)或參數(shù)的離散與否進(jìn)行分類按狀態(tài)或參數(shù)的離散與否進(jìn)行分類也可以按不同時刻的狀態(tài)之間的統(tǒng)計依賴關(guān)系進(jìn)行也可以按不同時刻的狀態(tài)之間的統(tǒng)計依賴關(guān)系進(jìn)行分類分類12.1 隨機過程的概念隨機過程的概念.1212.2 隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的統(tǒng)計描述給定隨機過程 , 對于每一個固定的 ，隨機變量 的分布函數(shù)一般與t有關(guān)，記為( ),X t tTtT( )X t( , )( ),XFx tP Xxxt R稱為隨機過程 的一維分布函數(shù), 而 稱

9、為一維分布函數(shù)族。( ),X t tT( , ),XFx t tT(一) 隨機過程的分布函數(shù)族隨機過程的分布函數(shù)族一維分布函數(shù)族概念一維分布函數(shù)族概念由隨機過程 的n個不同時刻的隨機變量構(gòu)成的n維隨機變量( ),X t tT12( ),( ),() ),nXX ttX t，其分布函數(shù)為12121122( ,; ,( ), ) ( ),( )Xnnnnx xx t ttP X tFX txxX tx,1,2,iinx R1212( ,; , ,), Xnnix xx t tttTF稱為n維分布函數(shù)族n n維分布函數(shù)族概念維分布函數(shù)族概念.13(二) 隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征 是隨機過

10、程的所有樣本函數(shù)在時刻所有樣本函數(shù)在時刻 t 的函數(shù)值的平均值的函數(shù)值的平均值，通常稱這種平均為集平均或統(tǒng)計平均。( )Xt集平均集平均(統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均)給定隨機過程 ，固定 ， 是一個隨機變量， t 時刻的均值(數(shù)學(xué)期望)，記為( ),X t tTtT( )X t( )( )XtE X t稱 為隨機過程 的均值函數(shù)。( )Xt( ),X t tT均值函數(shù)均值函數(shù)均值函數(shù) 表示了隨機過程在各個時刻的擺動中心.( )Xt12.2 隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的統(tǒng)計描述.14方差函數(shù)方差函數(shù)22( )( )Var( )( )( ) XXXtDtX ttEX t標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)2( )( )XX

11、tt表示t時刻X(t)取值偏離對于均值 的平均偏離程度。( )Xt均方值函數(shù)均方值函數(shù))()(22tXEtX(二) 隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征12.2 隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的統(tǒng)計描述.15(自自)相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)121212( , )( , )( )( )XXXt tRt tE X t X tR相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)用以描述隨機過程自身相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)用以描述隨機過程自身在在兩個不同時刻的狀態(tài)之間的統(tǒng)計依賴關(guān)系。兩個不同時刻的狀態(tài)之間的統(tǒng)計依賴關(guān)系。(二) 隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征12.2 隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的統(tǒng)計描述( (自自) )協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)1

12、21212( ,)( ,)Cov( ),( )XXXt tCt tX tX tC1122( )( )( )( )XXEX ttX tt)()()()(2121tXEtXEtXtXE.16數(shù)字特征之間的關(guān)系數(shù)字特征之間的關(guān)系可見，均值函數(shù)均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)可被看作是最主要的兩個最主要的兩個數(shù)字特征數(shù)字特征。刻畫了隨機過程的主要統(tǒng)計特性主要統(tǒng)計特性。二階矩過程的概念二階矩過程的概念如果對每一個 ，隨機過程 的二階矩 都存在，則稱它為二階矩過程。tT( ),X t tT2( )E Xt121212,( )()()XXXXttCtRttt22( , )( )( , )( )XXXXt tRtC

13、t tt),()(2ttRtXX二階矩過程的相關(guān)函數(shù)總存在。(只要證明相關(guān)函數(shù)是收斂的即可)(二) 隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征12.2 隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的統(tǒng)計描述22)()()(XEXEXD.17設(shè)A, B是兩個隨機變量. 試求隨機過程 的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù). 如果A, B是相互獨立的，且 AN(0,1), BU(0,2), 問 的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)又是怎樣的？( ),(,)tX tAtB ( )X t221 212()t tBE AABtABt22(0,1)( )0,( )1,()( )1( )NE AD AE ADAAE AA,B相互獨立()( ) ( )0E AB

14、E A E B解：根據(jù)均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)的定義、利用期望的性質(zhì)，可得()( )( )(XE AtBtE AE Bt均值函數(shù)121212()( )( )(,)XRtE X t X tE AttB AtB自相關(guān)函數(shù)( )1Xt121 24( , )3Xt tt tR于是，)()()()(221221BEABEttAEtt3/4)()(, 3/1)(, 1)()2 , 0(22BEBDBEBDBEUB(二) 隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征12.2 隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的統(tǒng)計描述.182200cos() ( )cos()02adtdatf1/(2 ), 02 ;0, ( )f其他解： 的

15、概率密度利用隨機變量函數(shù)期望的計算方法可得( )( ) cos()cos()XtE X tE ataEt均值函數(shù)(二) 隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征12.2 隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的統(tǒng)計描述求隨機相位正弦波：的均值函數(shù)，方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù). )2 , 0( ),( ),cos()(UttatX.19221212102( , )( )( )cos()cos() ( )Xt tE X t X ttfRatd221022122021221cos()cos()cos (2 cos()4cos()22)tattdattdattt自相關(guān)函數(shù)222( )( , )( )2XXXatt tRt方

16、差函數(shù)(二) 隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征12.2 隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的統(tǒng)計描述.20若隨機過程 的每一個有限維分布都是正態(tài)分布，亦即對任意整數(shù)n1及任意 , 服從n維正態(tài)分布，則該隨機過程稱為正態(tài)隨機過程.( ),X ttT12, ,ntTtt 21( ),( ),)()ntX tX tX正態(tài)隨機過程的概念正態(tài)隨機過程的概念設(shè) ，其中A, B是相互獨立，且都服從正態(tài)分布 的隨機變量， 是實常數(shù). 試證明 是正態(tài)過程. 并求它的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù). cossin,(,( )tBt tTX tA 2(0,)N( )X t是A,B的線性組合，解：對任意 itTcoss)in(ii

17、iXtBttA故 也服從正態(tài)分布.( )iX t故X(t)是正態(tài)過程。(二) 隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征12.2 隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的統(tǒng)計描述對任意的n, 根據(jù)n維正態(tài)分布的性質(zhì)(第4章)可知21( ),( ),)()ntX tX tX服從n維正態(tài)分布。(因為因為 的任意線性組合仍是的任意線性組合仍是A,B的線性組合，仍服從一維正態(tài)分布的線性組合，仍服從一維正態(tài)分布)(),.,(),(21ntXtXtX.21由題意可知：( )( )()0E AE BE AB( )cossincos( )sin( )0XtE AtBttE AtE B同理22()E B222()( ) ( )(

18、 ),E AD AE AD A1212(),( )XRt tE X t X t1212()sincossincos()tBttAABtE2212121222121212()(sinsincoscossin() ()sinsincoscoscos()ttttttEE AEABttttBtt(二) 隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征12.2 隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的統(tǒng)計描述.22(三) 二維隨機過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征二維隨機過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征設(shè)X(t), Y(t)是依賴于同一參數(shù) 的隨機過程，對于不同的 ， tTtT是不同的二維隨機變量，則( ), ( )X t Y t( ), (

19、),X t Y ttT稱為二維隨機過程。二維隨機過程的概念二維隨機過程的概念給定二維隨機過程 ，( ), ( ),X t Y ttT1212, , ; , ,nmtt t ttt是T中任意兩組實數(shù)，n+m維隨機變量1212,( ); (), ( ),( ), (),( ),)nmX tY tY tY tX tX t的分布函數(shù)12121212( ,; ,; , ;,)nnmmx t ttyF x xtytyt,1,2, ;1,2,ijyinxjmR其中稱為此二維隨機過程的n+m維分布函數(shù)(或隨機過程X(t)與Y(t)的n+m維聯(lián)合分布函數(shù).)二維隨機過程的二維隨機過程的n+mn+m維分布函數(shù)的概

20、念維分布函數(shù)的概念12.2 隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的統(tǒng)計描述.2312( ),( ),() ),nXX ttX t21( ( ), ( )() ),mYttY tY若與相互獨立則，隨機過程X(t)與Y(t)相互獨立. (m+n維分布函數(shù)可分離變量)兩隨機過程相互獨立的概念兩隨機過程相互獨立的概念互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)1212,( ) ( )()XYtE X t Y tRt互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)121122,( )( ) ( )()( ) XYXYtEX tttY ttC1212(),( )( )XYXYttRtt不相關(guān)的判據(jù)不相關(guān)的判據(jù)若對任意 ，恒有12,t tT12,()0XYtCt則

21、稱隨機過程X(t)與Y(t)是不相關(guān)的。(三) 二維隨機過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征二維隨機過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征12.2 隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的統(tǒng)計描述仍指的是線性不相關(guān).24三個隨機過程的和三個隨機過程的和( )( )( )( )W tX tY tZ t( )( )(WXYZtttt均值函數(shù)均值函數(shù)自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)1212( , )( )( )WRt tE W t W t111222121212121212121212( )( )( )( )( )( )()()() ()()() ()(),),(,XXXYXZYXYYYZZXZYZZtttEX tY tZ tX tY tZ tRt

22、RtRtRtRtRtRtRtttttttRt(三) 二維隨機過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征二維隨機過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征12.2 隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的統(tǒng)計描述.2512.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程增量的概念增量的概念給定二階矩過程 ，我們稱隨機變量 為隨機過程 在區(qū)間 上的增量。( ),0X t t ( )( ),0X tX sst( )X t( , s t獨立增量過程的概念獨立增量過程的概念獨立增量過程的概念獨立增量過程的概念如果對任意選定的正整數(shù)n和任意選定的0120nttttn個增量：21101( )( ),( )(,),( )()nnX tX tX tX tX tX

23、t相互獨立，則稱 為獨立增量過程。( ),0X t t 齊次的齊次的(或稱時齊的或稱時齊的)獨立增量過程的概念獨立增量過程的概念對任意實數(shù)h, 若增量 與 具有相同的分布，則稱增量具有平穩(wěn)性平穩(wěn)性。這樣的獨立增量過程稱為稱為齊次的或時齊的齊次的或時齊的。()()X thX sh( )( )X tX sts只依賴于時間差即在互不重疊的區(qū)間上，狀態(tài)的增量是相互獨立的。在互不重疊的區(qū)間上，狀態(tài)的增量是相互獨立的。.2612.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程獨立增量過程的協(xié)方差函數(shù)獨立增量過程的協(xié)方差函數(shù)( )( )( )( )( )( )Y tY sX tX sE X tX s令( )( )

24、( )( )XY tX tE X tX tt，則有如下結(jié)論：若X(t)是獨立增量過程，且X(0)=0, 則X(t)的協(xié)方差函數(shù)為() (,) ( )XCsE Y s Y tt ( )(0) ( )( )( )E Y sYY tY sY s ( )( )0YE Y tt22( )( ) ( ) ( )(YYXD tE Y tE YDttt(1)(0)0X(0)0Y若則(2)X(t)是獨立增量過程Y(t)也是獨立增量過程(3)0st構(gòu)造增量假設(shè))()()()()()0()()()0()()()()0()(22sDsYEsYEsYtYEYsYEsYYsYEsYtYYsYEX.27獨立增量過程的協(xié)方差

25、函數(shù)獨立增量過程的協(xié)方差函數(shù)() ( ) ( )(min,)XXCsE Y s Y tDstt令( )( )( )( )XY tX tE X tX tt( )( )( )( )( )( )Y tY sX tX sE X tX s，則有如下結(jié)論： ( )( )0YE Y tt22( )( ) ( ) ( )(YYXD tE Y tE YDttt(1)(0)0X(0)0Y若則(2)X(t)是獨立增量過程Y(t)也是獨立增量過程(3)若X(t)是獨立增量過程，且X(0)=0, 則X(t)的協(xié)方差函數(shù)為12.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程.28( (一一) ) 泊松過程泊松過程時間軸上的隨機

26、質(zhì)點流時間軸上的隨機質(zhì)點流隨著時間推移，遲早會重復(fù)出現(xiàn)的事件可以在時間軸上記事0tt1t2tit表示 時刻該事件發(fā)生了一次it例如：120電話臺接到呼叫電話煙花制造廠發(fā)生火災(zāi)相鄰兩次發(fā)生的時間間隔 是隨機的。1nntt時間軸上的許多質(zhì)點構(gòu)成隨機質(zhì)點流。12.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程.29計數(shù)過程的概念計數(shù)過程的概念考察時間軸上的隨機質(zhì)點流，以 表示在時間間隔 內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)。( ,0)N t t (0, t 是一個狀態(tài)取非負(fù)整數(shù)、時間連續(xù)的隨機過程(即離散離散型的、連續(xù)參數(shù)的隨機過程型的、連續(xù)參數(shù)的隨機過程)，稱為計數(shù)過程計數(shù)過程。( ),0N t t 計數(shù)過程的一個典型的樣本

27、函數(shù)( (一一) ) 泊松過程泊松過程12.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程.30泊松過程的概念泊松過程的概念泊松過程是滿足一定條件的計數(shù)過程。泊松過程是滿足一定條件的計數(shù)過程。000( , )(, 0( )N tN tNttt t記00,() ()0, ,2,1kP tPtttkkN是在 時間間隔0(,t t內(nèi)出現(xiàn) k 個質(zhì)點的概率。0,()kP t t(1) 在互不重疊的區(qū)間上的增量具有獨立性(即N(t)是獨立增量過程)t(2) 對充分小的 有1()( ,)Ptot ttt 其中其中 稱為稱為過程過程N(t)的強度的強度。0t(3) 對充分小的 有2,)()(jjP t tott(

28、4) N(0)=0則 稱為強度為 的泊松過程。( ),0N t t 質(zhì)點流(即質(zhì)點出現(xiàn)的隨機時刻 )稱為強度為 的泊松流。12, ,t t 若N(t)滿足如下條件：(, t tt在 間隔內(nèi)出現(xiàn)2個或2個以上質(zhì)點的概率與出現(xiàn)一個質(zhì)點的概率相比是很小的，可以忽略不計。( (一一) ) 泊松過程泊松過程12.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程.31增量增量 的分布律的分布律0,()N t t只與時間差 有關(guān)，故泊松過程是齊次的獨立增量過程。0tt利用以上條件(1)(4), 可推導(dǎo)出(見課本):0000( , )(),dP t tPtdtt 初條件000,()1P t t,0010()(),(

29、, ), 1kkkdP t tPtPdttktt 初條件00,()0kP t t，00t 令 ，就得到N(t)的分布律。,.2 , 1 , 0 ),(),(00kkttNPttPk是參數(shù)為 的泊松分布。0()tt0()000()() (),!kt tkP tPtttttkkNe00,1,2,ttk泊松過程增量的分布律泊松過程增量的分布律求解( (一一) ) 泊松過程泊松過程12.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程.32泊松過程概念的另一種等價表述泊松過程概念的另一種等價表述(1) 它是獨立增量過程若計數(shù)過程 滿足下列三個條件( ),0N t t (2) 對任意 ，增量00tt000()(

30、 )(,)( ()tttN tN tN t (3) N(0)=0則稱 是一強度為 的泊松過程。 ( ),0N t t 參數(shù)為 的泊松分布)(0tt ( (一一) ) 泊松過程泊松過程12.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程.33泊松過程的數(shù)字特征泊松過程的數(shù)字特征根據(jù)泊松分布的數(shù)字特征可知000( )()Var( )()(E N tN tN ttNtt已知增量增量000()( )(,)( ()tttN tN tN t 取 , 利用N(0)=000t 泊松過程的均值函數(shù)均值函數(shù)( )( )NtE N tt( )Var ( )NDtN tt方差函數(shù)方差函數(shù)( )/E N tt即在時間軸上，即

31、在時間軸上，單位時間間隔單位時間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)目的平均值數(shù)目的平均值(平均密度平均密度)協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)()(min,min , , )NNCsDsttts前述獨立增量過程的協(xié)方差函數(shù)2( , )( , )( )( )min , NNNNs tCs tsttRsst相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)( (一一) ) 泊松過程泊松過程12.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程.34非齊次泊松過程非齊次泊松過程強度 是時間t的函數(shù)：( ) t0000( , )(),dP t tPtdtt 初條件000,()1P t t0010()(),( , ), 1kkkdP t tPtPdttktt 初

32、條件00,()0kP t t，同理可得出微分方程( ) t非齊次泊松過程增量的分布律非齊次泊松過程增量的分布律00( )00()(),!tttkdtkP tP N tdttekk 均值函數(shù)均值函數(shù)0( )( )ttdE N 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)min , max , 00( , )( )( )1s ts tNs tddR ( (一一) ) 泊松過程泊松過程12.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程.35等待時間和點間間距的概念等待時間和點間間距的概念泊松過程 的泊松流： ( ),0N t t 2,n1ttt令初始時刻00t 記000,iiWWt t11 2,iiiTWiW，：等待時間iW：點間

33、間距iT從開始到第i個質(zhì)點出現(xiàn)的等待時間。0tt1t2tit泊松流的一個樣本：( (一一) ) 泊松過程泊松過程12.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程.36等待時間等待時間 的分布的分布iW( )11( )( )iiWiFtP WtP WtP N tPtiiN 000 ( ) ()(),!|ttkP NkP N ttttkek( ),()0!itikWktFetkt分布函數(shù)分布函數(shù)( )00,iWFtt概率密度概率密度111( )(1()!(1 !)!)iik kkkiWttWk iidFttttedtkkfeit1( ,)iiW11(1,)W1( )tWfte,即 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。1W1/因為，根據(jù) 分布的概念，可知)!1()(ii( (一一) ) 泊松過程泊松過程12.3 泊松過