正余弦定理及其應(yīng)用

1、正余弦定理及其應(yīng)用1 斜三角形中各元素間的關(guān)系：在厶ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示 A、B、C的對邊。(1)三角形內(nèi)角和：A+ B + C = n。2)正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。a bsin Asin B2R。 (R為外接圓半徑)sin C(3)余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的 余弦的積的兩倍。a2= b2 + c2 2bccosA; b2= c2 + a2 2cacosB; c2= a2+ b2 2abcosC。3 三角形的面積公式：hb、hc分別表示a、b、c上的高);1 11() =(2)A =aha

2、= bhb= chc ( ha、2 221 1 1absi nC= bcsi nA= acs inB;2 2 2abcsin Asin Bsin C正弦定理2R ( R為外接圓半徑);c2 = a2+b2 2bccosC,在厶 ABC 中，A B sin A sin B4解三角形：由三角形的六個元素(即三條邊和三個內(nèi)角)中的三個元素(其中至少 有一個是邊)求其他未知元素的問題叫做解三角形.解斜三角形的主要依據(jù)是：設(shè)厶ABC的三邊為(1)角與角關(guān)系：a、b、c,對應(yīng)的三個角為 A、B、C。 A+B+C = n;(2)邊與邊關(guān)系：a + b > c, b + c > a, c + a

3、> b, a b < c, b c < a, c a >(3)邊與角關(guān)系:它們的變形形式有：2 2 2sin A ab c aa - 2R sinA, cosA sin B b2bc余弦定理b2 = a2+ c2 2accosB, a2 = b2+c2 2bccosA;5.三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的 特點。(1 )角的變換因為在 ABC 中，A+B+C= n,所以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= cosC; tan(A+B)= A B CABCtanC。sin cos , cos si

4、n ；2 2 22(2 )三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。面積公式=S = 2呱=(3)在厶ABC中，熟記并會證明：/ A，/ B ,Z C成等差數(shù)列的充分必要條件是/ B=60 ° ; ABC是正三角形的充分必要條件是/A，/ B，/ C成等差數(shù)列且a, b, c成等比數(shù)列。例 1 . (1 )在 ABC中，已知 a 2 3 , c 6 ' 2 , B 60°，求 b 及 A; 解析：(1)： b2 a2 c2 2accosB= (2.3)2 ( .6 2)2 2 2 3 (、6 .2) cos 45°=12 ( .62)2 4 3(

5、、3 1)=8 b 2 2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:解法cos A2bc(2.2)2 ( 6 -.2 )2 (2.3)22 22 G/6 >/2)12， A 60°解法二訓(xùn)B壽前45°,又 .62 > 2.4 1.4 3.8,2.3 < 2 1.8 3.6, a v c，即 0° v A v 90°, A 60°ABC<2例 2 在 ABC 中，si nA cos A , AC 2 , AB 3,求 tan A 的值和 2的面積。 解法一：先解三角方程，求出角A的值。 . 2sin A cos A .

6、2 cos(A 45 ),21cos(A 45 ).2又 0 A 180 , A 45o 60o, A 105°tan A tan(4丘 60o)2 431 V3V2 <6 si nA sin105 si n(4560 ) sin 45 cos60 cos45 sin604Sabc 2ac ABsinA 12 3 糸 2 6）。解法二：由si nA cosA計算它的對偶關(guān)系式 si nA cosA的值。sin A cosA(sin A cosA)22sin AcosA180 ,si nA 0, cosA 0.(sin A"、2cosA)1 2sin AcosA -2s

7、in AcosA 62+得sin A、.2 -.6o4cos A從而 tan AcosA2 .6例3.在AABC中，角B、C所對的邊是a,c,且 a2+c2-b2冷ac(1)(2)予 2A C求 sin2 2若b=2，求 ABC面積的最大值.+cos2B的值;17解:1：a2+c2 b2=2ac/ cosB=2 2a c2acb2(2 分).sifl2cos2B 11 cos (A+C)+2cos2B 11+cosB+2cos2B 11= 11+4 田2 x 屆1(2)由 cosB= 得:4sin B=4/ b=2.a2+c2=ac+42ac (當(dāng)且僅當(dāng)a2=c2=3 時取“=”號)10分.S

8、ABC =11ac sinB w 一 x22故：AABC面積的最大值為12分例4 . ABC中，A , BC 3,則厶ABC的周長為(D )3A.4、3sin(B-)3B.4,3sin(B -)3C.6sin( B)3D.6sin( B ) 33 6AC 3解析：在 ABC中，由正弦定理得：上匕3 ,化簡得AC=2.、3sinB,sin B J32ABsin (B 3)，化簡得 AB=2、. 3sin(23B),所以三角形的周長為：- - 23+AC+AB=3+ 2 . 3sinB + 2、3sin(B)32=3+ 3-. 3 sinB 3cosB 6sin( B )3.。故選 D。6tanC

9、3tantanC 的2 2 2A例5在 ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求tan 2值。解析：因為A、B、C成等差數(shù)列，又 A+ B+ C = 180°，所以A+ C = 120°,A cacr從而=60 ，故tan. 3 .由兩角和的正切公式，2 2+ A * C tan tan 2 2 A* C1 tan tan 2 2所以 tanA tanC 33tantan|,tan tanC 3 ta nAta nC 3。2 2 2 2例6在厶ABC中，內(nèi)角 A, B, C對邊的邊長分別是 a, b, c ,已知c 2 , C -.3(i)若 ABC的面積等于.3，求a, b

10、 ;(n)若si nC sin(B A) 2s巾2人，求厶ABC的面積.本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)公式等基礎(chǔ)知識， 考查綜合應(yīng)用三角函數(shù)有關(guān)知識的能力滿分12 分.又因為 ABC的面積等于 J3，所以丄absi nC J3，得ab 4 . 分2a2 b2 ab 4聯(lián)立方程組'解得a 2, b 2 .分ab 4,(n)由題意得 sin(B A) sin(B A) 4si n AcosA,即 sin BcosA 2sin AcosA, 8分當(dāng) cosA 0 時，A , B - , a 遼,b,2633當(dāng)cosA 0時，得si nB 2si nA，由正弦定理得 b 2a ,2

11、2“、心abab42、34、3聯(lián)立萬程組'解得a2, bb 2a,33所以 ABC的面積S1absin C2品12分23練習(xí)：1在 ABC中，若2cosBsinA= $"6則厶ABC的形狀一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosB = sin （ A+ B） + sin （A B）又t 2sinAcosB= sinC,sin （A B） = 0 ,. A= B點評：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑。2.在 ABC中，如果Iga lgc=lgsinB= lg 2，并且B為銳角，則厶ABC的形狀是（ D ）A 等邊三角形C.等腰三角形B 直角三角形D 等腰直角三角形3. (06 四川文，18)已知 A、B、C 是 ABC 三內(nèi)角，向量 m ( 1. 3) n (cosA,si nA),且m.n 1, (I)求角A; (n) 若 一 血2*3,求tanC。cos B sin Bir解析：（I）： mcosA,sin A1，即，3sin A cosA 1 ,4312 si nAcosAsin A 0 A，二 A，A 。663(n)由題知1 2sin BcosB cos B sin B20，二 cosB 0 tan B tanB 20 ； tan B2 或