【侯亞君版本《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》】1-3章習(xí)題解答

1、1 .寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間S.一枚硬幣擲兩次，觀察朝上一面的圖案.向藍(lán)筐投球直到投中為止，記錄投籃的總次數(shù).公交車五分鐘一輛，隨機(jī)到車站候車，記錄候車時(shí)間.解 S = ie正，正反，反正，反反；樣本空間為 S2 =1,2,3，；樣本空間為S - It 0 -t _5"2 .設(shè)A, B,C表示三個(gè)事件，試用A, B, C表示下列事件.A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生；A, B,C至少有一個(gè)發(fā)生；A, B,C都發(fā)生；(4) A, B,C都不發(fā)生；A, B,C不都發(fā)生；A, B,C至少有兩個(gè)發(fā)生；A, B,C中最多有一個(gè)發(fā)生.解 ABC; Au B = C ; ABC; ABC; ABC ；

2、 (6) ABu BCuCA; ABuBCuCA或 ABu BC l> CA.3 .設(shè)A, B,C是三個(gè)事件，計(jì)算下列各題.若P(A) =0.4, P(B) =0.25,P(A B) =0.25，求B發(fā)生，但A不發(fā)生的概率.若P(A-B) =0.2,P(B) =0.6,求A, B都不發(fā)生的概率.若P(A=B) =0.7,P(B) =0.3,求A發(fā)生，但B不發(fā)生的概率.若 P(A) = P(B) =P(C) =0.25,P( AB) = P(BC) =0,P(AC) = 0.125，求 A, B,C 至少有一個(gè)發(fā)生的概率；A, B,C都不發(fā)生的概率；C發(fā)生，A, B都不發(fā)生的概率.111若

3、P(A) = ,P(B| A) = ,P(A| B)=,求A, B至少發(fā)生一個(gè)的概率. 432若 P(AB) =0.2, P(B| A) =0.5, P(B | A) =0.6，分別求事件 A,B 的概率.解 P(A_B) =P(A) P(AB)= P(AB) =0.15, B發(fā)生，但A不發(fā)生的概率:P(BA) =P(B) -P(AB) =0.1 ; P(AB) =1 -P(B) P(A-B) =0.2; P(AuB) =P(A) +P(B) -P(AB) , A 發(fā)生但 B 不發(fā)生的概率：P(A-B) = 0.4 ;P(AB)=0= P(ABC)=0, A, B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率:P(

4、A 一 B C) = P(A) P(B) P(C) -P(AB) - P(BC) - P(AC) P(ABC) = 0.625A, B,C 都不發(fā)生的概率：P(ABC) =1 P(A= BuC) =0.375;C發(fā)生，A, B都不發(fā)生的概率：P(CAB) =P(C) -P(AC 一 BC) =P(C) -P(AC) -P(BC) P(ABC) = 0.125 ；心P(AB)1 P(B|A)P(AB)=-,P(A)12，八-、一、1A, B 至少發(fā)生一個(gè)的概率：P(Au B) = P(A)十 P(B) P(AB)=;3P(A) -P(AB) P(B | A)P(A) =0.4,P(A)4.從0,

5、1,2，,9這十個(gè)數(shù)字中任意選出三個(gè)不同的數(shù)字，試求下列事件的概率.三個(gè)數(shù)字中不含 0和5；三個(gè)數(shù)字中不含 0或5;三個(gè)數(shù)字中含 0但不含5.解 設(shè)事件 A, B分別表示三個(gè)數(shù)字中不含 0和5,則三個(gè)數(shù)字中不含 0和5的概率：C3 C3-C；14C13015'P(AB) *C10715，三個(gè)數(shù)字中不含0或的概率:P(A - B) = P(A) P(B) - P(AB);三個(gè)數(shù)字中含 0但不含5的概率：P(AB) = P(B) P(AB)=C93 - C837C13)- 305.把3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中，求有球最多的杯子中球數(shù)是1,2,3的概率各是多少.解 設(shè)事件A,B,C分別表示有

6、球最多的杯子中球數(shù)是1,2,3 ,則有球最多的杯子中球數(shù)是1A434的概率是：P(A) = 3 =；有球最多的杯子中球數(shù)是3的概率是：P(C)=438431一；有球16一 . .一 .、一_ _9最多的杯子中球數(shù)是 2的概率是：P(B) =1 P(A) P(C) = ；96.12個(gè)球中有4個(gè)是白色，8個(gè)是紅色.現(xiàn)從這12個(gè)球中隨機(jī)地取出兩個(gè)，求下列事件的概率.取到兩個(gè)白球；取到兩個(gè)紅球；取到一個(gè)白球，一個(gè)紅球.C2解 取到兩個(gè)白球的概率：P( A)= =C1221一;11C214取到兩個(gè)紅球的概率：P(B) = = = 22 C1；33C1C1取到一個(gè)白球，一個(gè)紅球的概率：P(C)=-y8C2

7、216O337.有50件產(chǎn)品，已知其中有4件次品，從中隨機(jī)取5件，求(結(jié)果保留三位小數(shù))恰有一件是次品的概率；沒有次品的概率;至少有一件是次品的概率C1C4C解 恰有一件是次品的概率:P(A) = CC46 定 0.308 ；C50沒有次品的概率：P(B)C5苫定0.647；C50至少有一件是次品的概率:P(B)=1 P(B)=0.353。8.從1,2,9這九個(gè)數(shù)字中，有放回地取三次，每次取一個(gè)，試求下列事件的概率(結(jié)果保留三位小數(shù)).三個(gè)數(shù)字全不同三個(gè)數(shù)字沒有偶數(shù)6；三個(gè)數(shù)字中最大數(shù)字為三個(gè)數(shù)字形成一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)數(shù)列三個(gè)數(shù)字之乘積能被10整除.解 三個(gè)數(shù)字全不同的概率:A3 P(A) V =0

8、.691 ； 93三個(gè)數(shù)字沒有偶數(shù)的概率:P(B) =53 : 0.171;9363-53三個(gè)數(shù)字中最大數(shù)字的概率：P(C)= 3 =0.125;2C3三個(gè)數(shù)字形成一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)數(shù)列的概率：P(D) = =0.230 ;9三個(gè)數(shù)字之乘積能被10整除的概率：P(E) =13_ 28 (C4 3! 4 3) (4 3) 1一93156729= 0.2149 .擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點(diǎn)的概率解 設(shè)事件A, B分別表示兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7,兩顆骰子中有一顆為1點(diǎn)，則所求概率:10 . n個(gè)人排成一排，已知甲排在乙的前面，求甲乙相鄰的概率解 設(shè)事件A, B分別表示甲排在乙的

9、前面，甲乙相鄰，則所求概率：P(B A)=P(AB)P(A)(n -1!)/n! 21/2 n11.已知在10件產(chǎn)品中有2件是次品，在其中取兩次，每次任取一件，作不放回抽樣 ，求下 列事件的概率.兩件都是正品；兩件都是次品；一件是正品，一件是次品；第二次取出的是次品.解 兩件都是正品的概率:2845;C；P(A)C10.C21兩件都是次品的概率：p(B)= 一 ；Cio 45一件是正品，一件是次品的概率：P(C)=c2c816Cw -45'設(shè)事件 A,A2分別表示第一，二次取出的是次品，由全概率公式，8 2 2 11P(A2)=P(A)P(A2 A)+P(A)P(A2 A) =103+

10、歷9 =5.12.袋中有5個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中取3次，每次取1個(gè)球.如果作不放回抽樣，求前2次取到紅球，后1次取到白球的概率；如果取到紅球，將紅球拿出，放回2個(gè)白球，否則不放回，求前2次取到紅球，后1次取到白 球的概率.解 設(shè)事件A，i =1,2,3表示第i次取出紅球，前 2次取到紅球，后1次取到白球的概率:544 10P(AA2A3)=P(A)P(A2 A)P(A3AA2) =98 =63定 0.1587；前2次取到紅球，后1次取到白球的概率:13. 8支步槍中有5支已校準(zhǔn)過,3支未校準(zhǔn).一名射手用校準(zhǔn)過的槍射擊時(shí)，中靶的概率為0.8;用未校準(zhǔn)的槍射擊時(shí)，中靶的概率為0.3.現(xiàn)從8支步槍中

11、任取一支，求擊中靶子的概率；若 已知中靶了，求所使用的槍是校準(zhǔn)過的概率解 設(shè)事件A表示擊中靶子，事件 B表示校準(zhǔn)過步槍，則P(A B) =0.8,P(A B)=0.3,53P(B)=5,P(B)=3, 88BA)、”40495349P(A) =-0.80.3 =-888014 .現(xiàn)有6盒粉筆，其中的3盒，每盒有3只白粉筆,6只紅粉筆，記作第一類；另外2盒，每盒 有3只白粉筆,3只紅粉筆，記作第二類；還有1盒，盒內(nèi)有3只白粉筆，沒有紅粉筆，記作第三類. 現(xiàn)在從這6盒中彳J取1只粉筆，求取到紅粉筆的概率；如果知道取到了紅粉筆，求紅粉筆取自第一 類的概率.解 設(shè)事件A表示取到紅粉筆，事件 Bi，i

12、=1,2,3表示在第i類取出的，則P(A)=3 6 2 3 1 06 9 6 6127； P(B A)工2315 .若事件A, B,C相互獨(dú)立，證明：C與AB相互獨(dú)立；C與A= B相互獨(dú)立；A與BC相互獨(dú)立.證明： P(C(AB) =P(CAB) = P(C)P(A)P(B) =P(C)P(AB), C 與 AB 相互獨(dú)立； P(C(A B)=P(CA CB)=P(AC) P(BC) - P(ABC)= P(C) 1P(A) +P(B) P(AB)=P(C)P(A，j B) , C 與 Au B 相互獨(dú)立； P(A(B -C) =P(ABC) =P(AB) -P(ABC) =P(AB)(1 -

13、P(C)= P(A)P(B)P(C) = P(A)P(BC) = P(A)P(BC), A 與 B C 相互獨(dú)立.16 .若事件 A, B相互獨(dú)立，P(A)=0.5,P(Au B) =0.8，計(jì)算： P(AB); P(A B).解 P( A_. B) = P( A) P( B)- R A) R E)P( B P(AB) =P(A)P(B)=0.2; P(A= B) =1 P(AB)=1 P(A)P(B) = 0.7.17 .證明：若事件A的概率P(A) =0,則A與任意事件獨(dú)立；若事件A的概率0 < P (A K 1則事件A, B相互獨(dú)立的充分必要條件是P(B | A) =P(B| A)

14、.證明 設(shè)B是任一事件，則 ABUAn P(AB) = 0,得P(AB) = P(A)P(B) , A與任 意事件獨(dú)立；必要性：若事件 A, B相互獨(dú)立，則P(AB) = P(A)P(B),有P(B|A) = P(AB) =P(B), P(B| A) = P(AB)= P(B),因此，P(B | A) -P(B| A)P(A)P(A)充分性：若 P(B | A) = P(B| A),則 P(AB) _ P(B) P(AB) = P(AB) = P(A)P(B), P(A) 1 - P(A)因此，事件A,B相互獨(dú)立。111、，18 .三個(gè)人獨(dú)立地去破譯一份密碼，他們譯出的概率分別為 一，一，一.

15、問能譯出此密碼的概率5 3 4解設(shè)事件A，i =1,2,3表示第i個(gè)人獨(dú)立地破譯了密碼，則能譯出此密碼的概率：19 .當(dāng)危險(xiǎn)情況發(fā)生時(shí)，自動(dòng)報(bào)警器的電路即自動(dòng)閉合而發(fā)出警報(bào)，我們可以用兩個(gè)或多個(gè)報(bào)警器并聯(lián)，以增加可靠性.當(dāng)危險(xiǎn)情況發(fā)生時(shí)，這些并聯(lián)中的任何一個(gè)報(bào)警器電路閉合，就能發(fā)出警報(bào)，已知當(dāng)危險(xiǎn)情況發(fā)生時(shí)，每一警報(bào)器能閉合電路的概率為0.96.試求：如果兩個(gè)警報(bào)器并聯(lián)，則報(bào)警器的可靠性是多少 ？若想使報(bào)警器的可靠性達(dá)到0.999 9,則需要用多少個(gè)報(bào)警器并聯(lián)？解 設(shè)事件A,i =1,2，,n表示第i個(gè)自動(dòng)報(bào)警器能閉合電路兩個(gè)警報(bào)器并聯(lián)，則報(bào)警器的可靠性是：P(A = A2) =1 -P(A1

16、) P(A2) = 0.9984 ；nn _ P(一 A)=1e.I P(A) =1-0.04n _0.9999= n=3.i 1i 1若想使報(bào)警器的可靠性達(dá)到0.999 9,則至少需要3個(gè)報(bào)警器并聯(lián)20 .設(shè)甲盒子中裝有3只藍(lán)球,2只綠球,2只白球；乙盒子中裝有 2只藍(lán)球,3只綠球,4只白球.獨(dú)立地分別在兩只盒子中各取一只球.求至少有一只藍(lán)球的概率；求有一只藍(lán)球一只白球的概率；已知至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一只白球的概率3 2 32 5解 至少有一只監(jiān)球的概率：P(A) = 十 = 7 9 7 9 934 2 2 16有一只藍(lán)球一只白球的概率：P(B)；79 79 6316已知至少有一只藍(lán)

17、球，則有一只藍(lán)球一只白球的概率:P(B勺背。356分鐘，問在同21 .一大樓裝有5臺(tái)同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在一小時(shí)內(nèi)平均每個(gè)設(shè)備使用 一時(shí)刻,恰有2臺(tái)設(shè)備被使用的概率是多少至少有2臺(tái)設(shè)備被使用的概率是多少1 o 9 q解 恰有2臺(tái)設(shè)備被使用的概率：B(2) =C；(記)2(布)3 =0.0729；至少有2臺(tái)設(shè)備被使用的概率：1 _F5(0)+F5(1) = 0.08146。習(xí)題二1.將一枚硬幣連拋三次，觀察正、反面出現(xiàn)的情況，記X為正面出現(xiàn)的次數(shù)，求X的分布律.,、1 31PX =0=(R -球 28,、一1 1 1 2PX =1 =C32(2)一 一 _ 2 1 2 1PX =2=C3(

18、2) 23:一，838，PX =3=(1)3=i 282 .有4個(gè)小球和兩個(gè)杯子，將小球隨機(jī)地放入杯子中，隨機(jī)變量X表示有小球的杯子數(shù)，求X的分布律.一 一 2一 解 PX =1 = =0.125, PX =2 =0.875,23 .一袋中裝有5只球,編號(hào)為1,2,3,4,5.在袋中同時(shí)取3只，隨機(jī)變量 X表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，求X的分布律.21一一 .C5一一一 一解 PX =33 =0.1, PX =4 = W =0.3, PX =5 =0.6.C5C54 . 一球隊(duì)要經(jīng)過四輪比賽才能出線.設(shè)球隊(duì)每輪被淘汰的概率為p = 0.5 ,記X表示球隊(duì)結(jié)束比賽時(shí)的比賽次數(shù)，求X的分布律.解

19、 PX =1 =0.5, PX =2 =0.5 =0.25, PX =3 = 0.5 , PX =4 = 0.125.5 .進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為，失敗的概率為將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律(此時(shí)稱X服從參數(shù)為p的幾何分布).將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求Y的分布律(此時(shí)稱Y服從參數(shù)為r, p的負(fù)二項(xiàng)分布分布或巴斯卡分布).-k4解(1) PX =k= pq ,k=1,2, ；r 1 r k _r PY =k =Ck：pq，k =r,r 1,6.設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律為求A的值及概率 P1 <X <

20、;3.一 二 2 k1解 AZ (-) =1= A =,327 .一大批電子元件有10%已損壞，若從這批元件中隨機(jī)選取20只來組成一個(gè)線路，問這線路能正常工作的概率是多少？解 設(shè)隨機(jī)變量X表示線路中電子元件損壞的個(gè)數(shù)，則 X B(20,0.1),線路能正常工作20的概率：PX=0=(0.9) =0.12158。8 .某高速公路每周發(fā)生的汽車事故數(shù)服從參數(shù)為3泊松分布，(1)求每周事故數(shù)超過 4個(gè)的概率；(2)求每周事故數(shù)不超過 3個(gè)的概率.解 設(shè)隨機(jī)變量 X表示事故數(shù)，則 XP(3) , (1)每周事故數(shù)超過 4個(gè)的概率：4PX >4 =1 -Z PX =i =0.1847 ,i W3(

21、2)每周事故數(shù)不超過 3個(gè)的概率：PX <3 P X =i = 0.6472。9 .某城市在長度為t (單位：小時(shí))的時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)為0.5t的泊松分布，且與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無關(guān)，求下列事件的概率：(1)某天中午12時(shí)至下午15時(shí)發(fā)生火災(zāi)；(2)某天中午12時(shí)至下午16時(shí)至少發(fā)生兩次火災(zāi).解 (1) X P(1.5),中午12時(shí)至下午15時(shí)發(fā)生火災(zāi)的概率：(2) XP(2),中午12時(shí)至下午16時(shí)至少發(fā)生兩次火災(zāi)的概率：10. 一工廠有20臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器在某日發(fā)生故障的概率是0. 05,每臺(tái)機(jī)器是否發(fā)生故障相互獨(dú)立。(1)用二項(xiàng)分布計(jì)算其中有2臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障的概率；(

22、2)用泊松分布近似計(jì)算 2臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障的概率。解 設(shè)隨機(jī)變量 X表示機(jī)器發(fā)生故障的個(gè)數(shù)，則 X B(20,0.05) , (1)有2臺(tái)機(jī)器發(fā)生故.,2218障的概率：Ptx =2；=C20(0.05) (0.95) =0.1887.1(2)用泊松分布近似計(jì)算 2臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障的概率：Px=2fc： e =0.1839.211 .若一年中某類保險(xiǎn)者里面每個(gè)人死亡的概率等于0.005 ,現(xiàn)有10000個(gè)人參加這類人壽保險(xiǎn),試求在未來一年中在這些保險(xiǎn)者里面，有40個(gè)人死亡的概率；死亡人數(shù)不超過70個(gè)的概率.解 設(shè)隨機(jī)變量 X表示死亡人數(shù)，則 X B(10000,0.005),40409960(1)

23、有 40 個(gè)人死亡的概率 pX =40 = C10000(0.005) (0.995)0.0214；70 kk10000 _k(2)死亡人數(shù)不超過70 個(gè)的率 pXE70二£ C10000(0.005) (0.995) 也 0.997k=012.設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為0240.040.320.64求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)0, x <00.04,0 <x <2F (x)二0.36, 2Mx :二 31, x-313.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度IVi -x2, -1 <x <1 f(x)=n、0,其他求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x).0,x <-1。x<

24、; -1解 F (x) = < f h -x2dx,-1 < x < 1 = Vi -x2 + arcsinx + -, -1 < x < 11 二二二21,x - 11,x -114.已知隨機(jī)變量 X的概率密度f (x)=0 :二 x ：二 10,其他(1)確定常數(shù)c;(2)求分布函數(shù)F(x)；(3)求概率 PX & 0.5和 PX=0.5.111 c -dx =1= c =一 ；0 - x20,x<0L /、x 1. C,F(x)dx,0 < x ： 1°2.x1, x _10,x ： 0=« Vx,0 W x<1

25、；1, x >1PX < 0.5 PX <0.5 =F(0.5) = , P X=0.5=0.215.設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度 (1)確定常數(shù)A;(2)求分布函數(shù)F(x)(3)求概率 P(0.5 <X <1).12一解(1) o xdx (A -x)dx =1= A =2 ；F(x)=0, x 二 0xxdx, 0 - x 10，1 xoxdx，！ (2 - x)dx, 1 m x : 21, x -22x,0 < x <1=22-+ 2x-1, 21, x>2 P(0.5 X <1) =F(1)-F(0.5)16.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分

26、布函數(shù)為 F (x) = A+B arctanx.求:(1)常數(shù) A, B；(2)隨機(jī)變量 X的概率密度f (x).丘 小F(二)T解')=F(-二)=。31A B =12nA - - B =02A4，B1；JI12- 二(1 X ).11.(2) f(x) = F (x) =( arctanx)=2 二17 .設(shè)隨機(jī)變量X在2, 5 上服從均勻分布，現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少有兩次 觀測(cè)值大于3的概率.2解 隨機(jī)變量X在2, 5 上服從均勻分布，px a3 = ;3、一、，.一一 一. 2、設(shè)隨機(jī)變量Y表示三次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于3的次數(shù)，則Y B(3,1)2 2 2 12 3

27、20至少有兩次觀測(cè)值大于 3的概率：PY至2 = C3 ()一十(一)=03 332718 .設(shè)某類日光燈管的使用壽命X (小時(shí))服從參數(shù)為1/2000的指數(shù)分布,(1)任取一只這種燈管，求能正常使用1000小時(shí)以上的概率;(2)有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000小時(shí)以上，求還能使用 1000小時(shí)以上的概率. 一.二 1解(1) px >1000= e1000 20001X2000,dx = e122 % 0.607;r1 px>200。 PX A2000X 之 1000= Vpx >1000e12e1-2= e 0.607(這是指數(shù)分布的重要性質(zhì)：無記憶性”).19 .從

28、某地乘車往火車站有兩條路線可走，第一條路線穿過市區(qū)，路程較短，但交通擁擠，所需時(shí)間XN(50,100)；第二條路線走環(huán)線，路程較遠(yuǎn)，但意外阻塞少，所需時(shí)間YN(60,16).若有70分鐘時(shí)間可用，問應(yīng)走哪條路線？若只有65分鐘時(shí)間可用，問又應(yīng)走哪條路線?.7050解 P(X E7O)=6(0 ) =6(2) =0.9772,P(Y < 70)=中(70-60) = ：，(2.5) -0.9938,4若有70分鐘時(shí)間可用，走線路一趕到的概率是0.9772,走線路二趕到的概率是 0.9938,應(yīng)走第二條路線.65 5 5010= (1.5) = 0.9332,65-60 P(Y E65)=9

29、() =6(1.25)=0.8944,4若只有65分鐘時(shí)間可用，走線路一趕到的概率是0.9332,走線路二趕到的概率是0.8944,應(yīng)走第一條路線2x20 .設(shè)X U (1,2 ),求Y =e的概率密度fy(y).2x -1 dx 124解 y=e =x= lny,=,e <y<e；2 dy 2y21 .設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度 求隨機(jī)變量Y = 2X +1的概率密度fY(y).y -1 dx1 . 一斛 y =2x+1= x=, =,1<y<3;2 dy222.設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度(1)求隨機(jī)變量 Y =eX的概率密度fy( y)；(2)求概率 P(1 <Y

30、<2).= x=lny/=ly>1；dy yln y 11fy(y)=e= ) ,y"y y2 1(2) P(1<Y E2) = 2 dy =0.5. 1 y23.設(shè)隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立，且服從同一分布，X的分布律為PX = 0 = P X = 1 )= 1/2,求:Z = max X, Y 的分布律.解習(xí)題三1 .設(shè)隨機(jī)變量 X在1,2, 3, 4四個(gè)整數(shù)中等可能地取一個(gè)值，另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1X中等可能取一整數(shù)值。試求(X,Y)的分布律.解(X,Y)的分布律:11/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/162.若

31、甲袋中有3個(gè)黑球2個(gè)白球，乙袋中有 2個(gè)黑球8個(gè)白球?，F(xiàn)拋擲一枚均勻硬幣，若 出現(xiàn)正面則從甲袋中任取一球，若出現(xiàn)反面則從乙袋中任取一球，設(shè)求：(1) (X,Y)的聯(lián)合分布律；(2)判斷X與Y是否彳虹：._,_1 84解 (1) p(x =0,Y =0) =P(X =0)P(Y =0 X =0)=一，(X,Y)聯(lián)合分布律:210 10X0104/102/1011/103/1041 33一2 2) P(X =0,丫=0)= 。P(X =0)P(Y=0)=X 與Y 不獨(dú)立.1025 103 .將一枚均勻硬幣拋擲三次，以 X表示在3次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以 Y表示在3次中出現(xiàn) 正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之

32、差的絕對(duì)值 求：(1) (X,Y)的聯(lián)合分布律;(2)判斷X與Y是否獨(dú)立.解 Y =|X (3X) =|2X 3 , Y 的取值有 1 和 3.P(X =0,Y =0) =P(X =0,X =2X =2) = 0 ,1P(X =0,Y =3) =P(X =0,X =05X =3) = P(X =0) = ,8(X,Y)的聯(lián)合分布律：4.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為84 32求：(1)常數(shù) A、B、C ；(2) (X,Y)的概率密度f(x, y);邊緣分布函數(shù)Fx(x), Fy(y).F(gy)=A(B+)(C+)=1/2,解(1)F(0, q)=AB(C1")=0, A =

33、1/n2,B = C =HTF50) = A(B_y=0c2F(x, y) = f(x,y), ex 一 y1f(X, y) = 2-22二(1 x )(1 y )LL1 二(3) Fx(x)=F(x,二)二二(萬 arctanx)，F(xiàn)yO = F(二，y)arctany).5.設(shè)二維隨機(jī)變量 X,Y的聯(lián)合概率密度為求:常數(shù)k;(2)概率 P X < 1,Y <3;概率P X +Y < 4.24一 1(1) k dx (6 -x-y)dy=1= k= ,0281133PX ：1,Y 二3=8 0dx 2(6-x-y)dy =33/8,124f2PX Y ：4=-0dx2 (6

34、-x-y)dy = -.836.設(shè)二維隨機(jī)變量 X,Y的聯(lián)合概率密度f(x, y)Je4x4y),x>0,y >0 。，其它求：(1)隨機(jī)變量 X和Y的邊緣概率密度 fX (x)和fY (y)；(2)概率 P(X <Y).%尸 Yx y)re dy,x 0fX x)：=700,x<0-xe ,x 00, x < 0 ,f -beefYy =04x -y)dx, y 00,y M0-ye ,y 00,y -0 P(X :二Y)=l0 dxe-(x4y)dy =0.57.設(shè)二維隨機(jī)變量X ,Y的聯(lián)合概率密度求：(1)隨機(jī)變量 X和Y的邊緣概率密度 fX (x), fY

35、 (y)；(2)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立是否獨(dú)立?6e fX(x)= 02x3y)dy,x 00,x<02ex 0，0,x < 0fY(y)(2x 3y)I ! 6e dx, y 00,y<03e，y,y 00,y <0(2) f (x, y) = fX (x) fY (y) , X 與 Y 獨(dú)立。8.設(shè)隨機(jī)變量 X ,Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x, y) ne-y,0 <x < y0,其他求:邊緣密度函數(shù)fX(x), fY(y)；概率P (X +Y <1);(3) X,Y是否獨(dú)立？-xe ,x 00,x<00,x < 011二/2P(X Y _

36、1) = o2dx x e dy = 1 e -2ef(x, y) = fX(x) fy(y) , X,Y 不獨(dú)立.9.甲乙兩艘輪船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘輪船的碼頭停泊，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)的時(shí)刻是等可能的。如果甲船的停泊時(shí)間是一小時(shí)，乙船的停泊時(shí)間是兩小時(shí)，求它們中的任何一艘都 不需要等候碼頭空出的概率(結(jié)果保留使三位小數(shù)解 設(shè)甲船到達(dá)的時(shí)刻是 X ,乙船到達(dá)的時(shí)刻是 Y ,則X ,Y獨(dú)立同分布均勻分布U (0, 24),任何一艘都不需要等候碼頭空出D： X -Y >1,Y -X >2 ,任何一艘都不需要等候碼頭空出的概率:pQx,y) d)= D1222 12322dxdy =222 定0.879。24224210 . 一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在812時(shí)，他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在79時(shí)，設(shè)他們兩人到達(dá)的時(shí)間相互獨(dú)立。求他們到達(dá)辦公室的時(shí)間相差不超過5分鐘的概率.解 設(shè)負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間是X ,秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間是Y ,則X,Y獨(dú)立，X U (8, 12),Y U (7,9M門到達(dá)辦公室的時(shí)