高中物理中變力做功問(wèn)題的積分解法-文檔資料

1、高中物理中變力做功問(wèn)題的積分解法一、引言在高中物理中， 有時(shí)會(huì)碰到一些變力做功的問(wèn)題， 這些問(wèn)題 通常不能按一般的恒力做功的方法進(jìn)行求解， 但可以利用微積分 法巧妙地進(jìn)行解決。用積分解決物理問(wèn)題， 一般都要先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。 如下 圖1所示，設(shè)有方向指向ox軸正方向的變力f (x)，當(dāng)某物體 在該力作用下從點(diǎn)x+Ax移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，可以認(rèn)為力所做的功為 f ( x) x,當(dāng)把Ax看做無(wú)窮小量時(shí)dx時(shí)，就得到功的 微分形式為dw=f (x) dx，而物體在變力作用f (x)下，從點(diǎn)a 移動(dòng)到點(diǎn)b時(shí)，變力f (x)所做的功可以表示為：二、變力做功的幾種情況(一)水池抽水做功問(wèn)題 這類(lèi)問(wèn)題常常容易犯錯(cuò)

2、，很多人常用恒力做功的方法分析， 即用水的重力與水深之積求所做之功。 但仔細(xì)分析， 這種方法明 顯是錯(cuò)誤的， 如果我們將水垂直分成為很多微分層， 則每個(gè)微分 層的水移動(dòng)的距離應(yīng)該是不相等的， 因此不能采用常用的恒力做 功的方法進(jìn)行計(jì)算， 但可以采用微分法進(jìn)行計(jì)算。 下面講一個(gè)簡(jiǎn) 單的例子。要把其抽到蓄水池口所做的功可表示為：因此，根據(jù)積分公式，將蓄水池中 30 米深的水全部抽出池口需要做的總功為：因此，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題， 我們不能按常用恒力做功方式進(jìn)行求 解，必須換一種方式，利用微分方法求解較簡(jiǎn)便。同時(shí)，我們可 以將此類(lèi)問(wèn)題進(jìn)一步推廣到求水中取物所做的功， 其原理基本類(lèi) 似，方法類(lèi)似。（二）彈簧壓

3、縮或伸長(zhǎng)做功問(wèn)題彈簧在壓縮或伸長(zhǎng)的過(guò)程中， 其彈力會(huì)連續(xù)不斷地變化， 因 此，如何求彈簧壓縮或伸長(zhǎng)所做的功， 這就需要用到變力做功的 積分法？例2:如果10N（牛）的力可以使彈簧伸長(zhǎng) 20cm求在彈性 范圍內(nèi)使該彈簧伸長(zhǎng)30cm所要做的功是多少？我們可以進(jìn)一步推廣， 在彈性范圍內(nèi)， 彈簧從平衡位置壓縮或拉伸a長(zhǎng)（單位：m所需要做的功為：另外，我們還可以將此類(lèi)問(wèn)題推廣到非均勻電場(chǎng)做功的計(jì) 算，即求變電場(chǎng)對(duì)處在其中的帶電粒子移動(dòng)距離所做的功。 其公 式可以總結(jié)如下：（1）假設(shè)在一帶電量為+Q的點(diǎn)電荷（選其坐標(biāo)為 ox軸原 點(diǎn)）的電場(chǎng)中有一點(diǎn)電荷+q在該電場(chǎng)中從坐標(biāo)a處移動(dòng)到b處。 其電場(chǎng)所做的功可

4、以表示為：（ 2）若將上述點(diǎn)電荷 +q 從坐標(biāo) a 處移動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處，則其 電場(chǎng)所做的功可以表示為：三）氣體壓縮或膨脹做功問(wèn)題封閉容器（或氣缸）中的氣體膨脹或壓縮時(shí)，隨著氣體壓強(qiáng) 的連續(xù)變化， 從而使得作用在活塞上的壓力也必將不斷變化， 為 了平衡活塞， 在壓縮氣體時(shí)要一個(gè)外加壓力推動(dòng)活塞對(duì)容器 （或 氣缸）內(nèi)氣體做功，或在氣體膨脹時(shí)將推動(dòng)活塞來(lái)做功，那么， 如何求所做的功呢？這是一個(gè)典型的變動(dòng)做功的問(wèn)題， 我們可以 借助積分法進(jìn)行求解。解：在正圓柱氣缸的氣體（見(jiàn)圖 3），根據(jù)波義耳定律，若 溫度不變時(shí)，則PV=C（常數(shù)），P表示壓強(qiáng)，V表示缸內(nèi)氣體體 積，由題意得：設(shè)正圓柱氣缸內(nèi)的蒸汽被壓縮的長(zhǎng)度表示為 x（ m，那么因此，要使蒸汽的體積減小一半，需要做的功為： 我們可以進(jìn)一步進(jìn)行推廣， 若將氣體從坐標(biāo) a 點(diǎn)壓縮到坐標(biāo) b 點(diǎn)，其所做的功為：三、結(jié)語(yǔ) 運(yùn)用定積分解決變力做功問(wèn)題