統(tǒng)計學常用分布及其分位數(shù)

1、§ 1.4 常用的分布及其分位數(shù).卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正態(tài)分布所導生的分布，它們與正態(tài)分布一起，是試驗統(tǒng)計中常用的分布。當X1、X2Xn相互獨立且都服從N(0,1)時，Z氣Xi2的i分布稱為自由度等于n的？2分布，記作Z”12(n),它的分布密度P(z0其他,式中的n=20-Hen-1u2e-udu,稱為Gamma®數(shù)，且1=1,切3。z2分布是非對稱分布，具有可加性，即當Y與Z相互獨立，且Y,2(n),Z72(m),則Y+Z，2(n+m)。證明:先令Xi、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互獨立且都服從N(0,1),再根據(jù)22分布的定義以及上

2、述隨機變量的相互獨立性，令Y=X12+X2+X>Z=X3+Xn+2+X"Y+Z=x2+x2+X2+Xn+Xn+2+x2+m，即可得到Y(jié)+Z72(n+m)ot分布若X與Y相互獨立，且_XN(0,1),Y12(n),則Z=x/的分布稱為自由度n等于n的t分布，記作Zt(n),它的分布密度P-4伍4一呼P-9)In；20請注意：t分布的分布密度也是偶函數(shù)，且當n>30時，t分布與標準正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線幾乎重疊為一。這時，t分布的分布函數(shù)值查N(0,1)的分布函數(shù)值表便可以得到。F分布若X與Y相互獨立，且X，2(n),Y72(m),則z=X/Y的分布稱為第一自由度等于

3、n、第二自由度等于nmm的F分布，記作ZF(n,m),它的分布密度p(z)=nm7彳nmn2m2-2工m.220,-1z2nm(mnz)2z0其他。請注意：F分布也是非對稱分布，它的分布密度與自由度的次序有關(guān)，當ZF(n,m)時，工F(m,n)。Zt分布與F分布的關(guān)系若Xt(n),則Y=X2F(1,n)。J"1(2、n+1證：X-t(n),X的分布密度p(x)=2/1+A-7而也卜J、2)Y=X2的分布函數(shù)Fy(y)=PY<y=PX2<y。當yw0時，F(xiàn)y(y)=0,Py(y)=0;當y>0時，F(xiàn)Y(y)=P-<X<Vy=.P(x)dx=2戶p(x)dx

4、,nn1.Y=X2的分布密度n2-1PY(y/丁.上2(ny)2與第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=X2F（1,n）o為應用方便起見，以上三個分布的分布函數(shù)值都可以從各自的函數(shù)值表中查由。但是，解應用問題時，通常是查分位數(shù)表。有關(guān)分位數(shù)的概念如下：4.常用分布的分位數(shù)1）分位數(shù)的定義分位數(shù)或臨界值與隨機變量的分布函數(shù)有關(guān)，根據(jù)應用的需要，有三種不同的稱呼，即a分位數(shù)、上側(cè)a分位數(shù)與雙側(cè)a分位數(shù)，它們的定義如下：當隨機變量X的分布函數(shù)為F（x）,實數(shù)a滿足0<a<1時，a分位數(shù)是使PX<Xa=F（X口）=a的數(shù)Xa,上側(cè)a分位數(shù)是使PX>入

5、=1-F（入）=a的數(shù)人,雙側(cè)a分位數(shù)是使PX<入1=F（入1）=0.5a的數(shù)人1、使PX>入2=1-F（入2）=0.5民的數(shù)人2。因為1-F（入戶a,F（入）=1-a,所以上側(cè)a分位數(shù)人就是1-a分位數(shù)X1-%；F（入1）=0.5民，1-F（入2）=0.5a,所以雙側(cè)a分位數(shù)入1就是0.5a分位數(shù)X0.5ot,雙側(cè)a分位數(shù)入2就是1-0.5a分位數(shù)x1-0.5a。2）標準正態(tài)分布的a分位數(shù)記作Ua,0.5a分位數(shù)記作U0.5a,1-0.5a分位數(shù)記作U1-0.5P(x)P(x)J£Ox當XN(0,1)時，PX<Ua=F0,i(Ua)=*PX<U0.5a=F0

6、,1(U0.5a)=0.5&,PX<U1-0.5a=F0,i(u1-0.5a)=10.5a。根據(jù)標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性，當a=0.5時，Ua=0;當a<0.5時，U.<0Oua=-U1-a。如果在標準正態(tài)分布的分布函數(shù)值表中沒有負的分位數(shù)，則先查由U1.a,然后得到U=-U1.a。論述如下：當XN(0,1)時，PX<Ua=F0,1(Ua)=a,PX<U1-=F0,1(U1-a)=1。，PX>U1-a=1-F0,1(U1-J=。，故根據(jù)標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性，Ua=-U1.a。例如，U0.10=-U0.90=-1.282,U0.05=-U0

7、.95=-1.645,u0.01=-U0.99=-2.326,U0.025=-U0.975=-1.960,u0.005=-u0.995=-2.576o又因為P|X|<Ui.0.5a=1-0,所以標準正態(tài)分布的雙側(cè)。分位數(shù)分別是U1-0.5a和Ui-0.5標準正態(tài)分布常用的上側(cè)a分位數(shù)有：a=0.10,u0.90=1.282;a=0.05,u0.95=1.645;a=0.01,u0.99=2.326;a=0.025,u0.975=1.960;a=0.005,u0.995=2.576。3)卡平方分布的a分位數(shù)記作？2a(n)?！惫?a(n)>0,當X,2(n)時，PX<e2a(n

8、)=a例如，220.005=0.21,220.025=0.48,/20.05(4)=0.71,720.95(4)=9.49,220.975(4)=11.1,220.995(4)=14.9。4)t分布的民分位數(shù)記作上(n)當Xt(n)時，PX<tq(n)=a,且與標準正態(tài)分布相類似，根據(jù)t分布密度曲線的對稱性，也有ta(n)=-11-a(n),論述同Ua=-U1.a。例如，t0.95(4)=2.132,t0,975(4)=2.776,t0.995(4)=4.604,t0,005(4)=-4.604,t0.025(4)=-2.776,t0,05(4)=-2.132。另外，當n>30時，

9、在比較簡略的表中查不到ta(n),可用ua作為ta(n)的近似值。5)F分布的民分位數(shù)記作八(n,m)口(n,m)>0,當XF(n,m)時，PX<F陋(n,m)=a。另外，當a較小時，在表中查不由Fa(n,m),須先查一1Fi-a(m,n),再求Fa(n,m)=-；。論述如下:Fi.(m,n)當XF(m,n)時,PX<F1,(m,n)=1-a,P1>1=1-a,P1<1=民,XF1-：(m,n)XF1-：(m,n)又根據(jù)F分布的定義，工F(n,m),P<Fa(n,m)=a,XX1因此Fa(n,m)=-oF(m,n)例如，F(xiàn)0.95(3,4)=6.59,F0,

10、975(3,4)=9.98,F0.99(3,4)=16.7,F0.95(4,3)=9.12,F0.975(4,3)=15.1,F0.99(4,3)=28.7,F0.01(3,4)=71：，F(xiàn)0.025(3,4)=I，F(xiàn)0.05(3,4)=T1；。28.715.19.12【課內(nèi)練習】.求分位數(shù)n0.05(8),120,95(12).求分位數(shù)t0.05(8),t0.95(12)。.求分位數(shù)F0.05(7,5),F0.95(10,12)。.由u0.975=1.960寫生有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)。.由t0.95(4)=2.132寫生有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)。.若X”(4),PX<0.711=0.05,PX<9.49=0.95,試寫由有關(guān)的分位數(shù)。.若XF(5,3),PX<9.01=0.95,YF(3,5),Y<5.41=0.95,試寫由有關(guān)的分位數(shù)。.設(shè)X1、X2、X10相互獨立且都服從N(0,0.09)分布，試求PZXi2>1.44o習題答案：1.2.73,21.0。2.-1.860,1.782。3.工，3.37。4.1.960為上側(cè)0.025分位數(shù)，-1.960與1.9604.88為雙側(cè)0.05分位數(shù)。5.2.1